Contenido de Minkowski

El contenido de Minkowski (llamado así en honor a Hermann Minkowski ), o medida de frontera , de un conjunto es un concepto básico que utiliza conceptos de geometría y teoría de la medida para generalizar las nociones de longitud de una curva suave en el plano y área de una superficie suave en el espacio , a conjuntos medibles arbitrarios .

Normalmente se aplica a los límites fractales de dominios en el espacio euclidiano , pero también puede utilizarse en el contexto de espacios de medida métrica generales.

Está relacionada con la medida de Hausdorff , aunque es diferente de ella .

Para${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$y cada entero m con${\displaystyle 0\leq m\leq n}$, el contenido superior de Minkowski m -dimensional es

${\displaystyle M^{*m}(A)=\limsup _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (nm)r^{nm}}}}$

y el contenido de Minkowski inferior m -dimensional se define como

${\displaystyle M_{*}^{m}(A)=\liminf _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (nm)r^{nm}}}}$

dónde${\displaystyle \alpha (nm)r^{nm}}$es el volumen de la ( n − m )-bola de radio r y${\displaystyle \mu }$es un${\displaystyle n}$Medida de Lebesgue -dimensional .

Si el contenido de Minkowski m -dimensional superior e inferior de A son iguales, entonces su valor común se llama contenido de Minkowski M ^m ( A ). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• El contenido de Minkowski (generalmente) no es una medida. En particular, el contenido de Minkowski m -dimensional en R ⁿ no es una medida a menos que m  =  0, en cuyo caso es la medida de conteo . De hecho, es evidente que el contenido de Minkowski asigna el mismo valor al conjunto A y a su clausura .
• Si A es un conjunto m - rectificable cerrado en R ⁿ , dado como la imagen de un conjunto acotado de R ^m bajo una función de Lipschitz , entonces el contenido de Minkowski m -dimensional de A existe y es igual a la medida de Hausdorff m- dimensional de A . ^{[ 3 ]}

• desigualdad isoperimétrica gaussiana
• teoría de la medida geométrica
• Desigualdad isoperimétrica en dimensiones superiores
• dimensión de Minkowski-Bouligand

• Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
• Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (1999), La geometría de los dominios en el espacio , Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4097-5, MR 1730695 .