Anillo de soporte

En la teoría de invariantes matemáticos , el anillo de corchetes es el subanillo del anillo de polinomios k [ x ₁₁ ,..., x _dn ] generado por los menores d - por- d de una matriz genérica d -por- n ( x _ij ).

El anillo de corchetes puede considerarse como el anillo de polinomios en la imagen de una grassmanniana bajo la incrustación de Plücker . ^{[ 1 ]}

Para un d ≤ n dado, definimos como variables formales los corchetes [λ ₁ λ ₂ ... λ _d ] con λ tomado de {1,..., n }, sujeto a [λ ₁ λ ₂ ... λ _d ] = − [λ ₂ λ ₁ ... λ _d ] y de manera similar para otras transposiciones . El conjunto Λ( n , d ) de tamaño${\displaystyle {\binom {n}{d}}}$genera un anillo de polinomios K [Λ( n , d )] sobre un cuerpo K . Existe un homomorfismo Φ( n , d ) de K [Λ( n , d )] al anillo de polinomios K [ x _{i , j} ] en nd indeterminadas dado por mapear [λ ₁ λ ₂ ... λ _d ] al determinante de la matriz d × d que consta de las columnas de x _{i , j} indexadas por λ. El anillo de corchetes B ( n , d ) es la imagen de Φ. El núcleo I ( n , d ) de Φ codifica las relaciones o sizigias que existen entre los menores de una matriz genérica n × d . La variedad proyectiva definida por el ideal I es la variedad de Grassmann de dimensión ( n − d ) d cuyos puntos corresponden a subespacios de dimensión d de un espacio de dimensión n . ^{[ 2 ]}

Para realizar cálculos con corchetes es necesario determinar cuándo una expresión se encuentra en el ideal I ( n , d ). Esto se logra mediante una ley de rectificación debida a Young (1928). ^{[ 3 ]}

• Álgebra de paréntesis

• Dieudonné, Jean A.; Carrell , James B. (1970), "Teoría de invariantes, antigua y nueva", Advances in Mathematics , 4 : 1–80 , doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 , ISSN 0001-8708 , MR 0255525 , Zbl 0196.05802   
• Dieudonné, Jean A.; Carrell , James B. (1971), Teoría invariante, antigua y nueva , Boston, MA: Academic Press , doi : 10.1016/0001-8708(70)90015-0 , ISBN 978-0-12-215540-6, MR 0279102 , Zbl 0258.14011  
• Sturmfels, Bernd (2008), Algoritmos en teoría invariante , textos y monografías en computación simbólica (2ª  ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3211774168, Zbl 1154.13003 
• Sturmfels, Bernd ; White, Neil (1990), "Descomposiciones de Stanley del anillo de corchetes" , Mathematica Scandinavica , 67 (2): 183–189 , doi : 10.7146/math.scand.a-12329 , ISSN 0025-5521 , MR 1096453 , Zbl 0727.13005 , archivado del original el 15 de noviembre de 1997.