Polinomios de Brahmagupta

La identidad de Brahmagupta dice que, para un entero N dado ^, el producto de dos números de la forma x² ^– Ny² es nuevamente un número de la forma. Más precisamente, tenemos $${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}$$ Esta identidad puede utilizarse para generar infinitas soluciones a la ecuación de Pell . También puede emplearse para generar aproximaciones racionales cada vez mejores a las raíces cuadradas de números enteros arbitrarios.

Si, para un número real arbitrario t , definimos la matriz : $${\displaystyle B(x,y)={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}}$$ Entonces, la identidad de Brahmagupta puede expresarse de la siguiente forma: $${\displaystyle \det B(x_{1},y_{1})\det B(x_{2},y_{2})=\det \!{\bigl (}B(x_{1},y_{1})B(x_{2},y_{2}){\bigr )}}$$ La matriz B ( x , y ) se denomina matriz de Brahmagupta .

Sea B = B ( x , y ) como se indicó anteriormente. Entonces, por inducción, se puede ver que la matriz B ⁿ se puede escribir de la forma $${\displaystyle B^{n}={\begin{bmatrix}x_{n}&y_{n}\\ty_{n}&x_{n}\end{bmatrix}}}$$ Aquí, x _{n e} y n son polinomios en x , y , y t . Estos polinomios se denominan polinomios _de Brahmagupta . Los primeros de estos polinomios se enumeran a continuación:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x_{1}&=x&y_{1}&=y\\x_{2}&=x^{2}+ty^{2}&y_{2}&=2xy\\x_{3}&=x^ {3}+3txy^{2}&y_{3}&=3x^{2}y+ty^{3}\\x_{4}&=x^{4}+6t^{2}x^{2}y^{2}+t^{2}y^{4}\qquad &y_{4}&=4x^{3}y+4txy^{3}\end{alignedat}}}$$

Los polinomios x _{n e} y n satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia _:$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}&=xx_{n}+tyy_{n}\\y_{n+1}&=xy_{n}+yx_{n}\\x_{n+1}&=2xx_{n}-(x^{2}-ty^{2})x_{n-1}\ \y_{n+1}&=2xy_{n}-(x^{2}-ty^{2})y_{n-1}\\x_{2n}&=x_{n}^{2}+ty_{n}^{2}\\y_{2n}&=2x_{n}y_{n}\end{aligned}}}$$

Los valores propios de B ( x , y ) son${\displaystyle x\pm y{\sqrt {t}}}$y los vectores propios correspondientes son${\displaystyle [1,\pm {\sqrt {t}}]^{\rm {T}}.}$Por eso $${\displaystyle B[1,\pm {\sqrt {t}}]^{\rm {T}}=(x\pm y{\sqrt {t}})[1,\pm {\sqrt {t}}]^{\rm {T}}.}$$ Resulta que $${\displaystyle B^{n}[1,\pm {\sqrt {t}}]^{\rm {T}}=(x\pm y{\sqrt {t}})^{n}[1,\pm {\sqrt {t}}]^{\rm {T}}.}$$_Esto da como resultado las siguientes expresiones exactas para x _n e y n : $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&={\tfrac {1}{2}}{\big [}(x+y{\sqrt {t}})^{n}+(xy{\sqrt {t}})^{n}{\big ]}\\y_{n}&={\tfrac {1}{2{\sqrt {t}}}}{\big [}(x+y{\sqrt {t}})^{n}-(xy{\sqrt {t}})^{n}{\big ]}\end{aligned}}}$$

Al expandir las potencias en las expresiones exactas anteriores usando el teorema del binomio y simplificando _, se obtienen las siguientes expresiones para x _{n e} y n : $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=x^{n}+t{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+t^{2}{n \choose 4}x^{n-4}y^{4}+\cdots \\y_{n}&=nx^{n-1}y+t{n \choose 3}x^{n-3}y^{3}+t^{2}{n \choose 5}x^{n-5}y^{5}+\cdots \end{aligned}}}$$

1. Si x = y = 1/2 y t = 5 , entonces, para n > 0 :$${\displaystyle 2y_{n}=F_{n}}$$es la secuencia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...$${\displaystyle 2x_{n}=L_{n}}$$es la secuencia de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...

1. Si establecemos x = y = 1 y t = 2 , entonces:$${\displaystyle x_{n}=1,1,3,7,17,41,99,239,577,\ldots }$$que son los numeradores de las fracciones continuas convergentes a${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. ^{[ 6 ]} Esta es también la secuencia de números de Pell-Lucas medios .$${\displaystyle y_{n}=0,1,2,5,12,29,70,169,408,\ldots }$$que es la secuencia de números de Pell .

x _n e y _n son soluciones polinómicas de la siguiente ecuación diferencial parcial : $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{t}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)U=0}$$