Grupo de trenzas

Cuando X es el plano, la trenza puede cerrarse , es decir, los extremos correspondientes pueden conectarse en pares para formar un enlace , o sea, una unión posiblemente entrelazada de bucles posiblemente anudados en tres dimensiones. El número de componentes del enlace puede ser cualquiera de 1 a n , dependiendo de la permutación de hebras determinada por el enlace. Un teorema de JW Alexander demuestra que cada enlace puede obtenerse de esta manera como el "cierre" de una trenza. Compárese con los enlaces de cuerda .

Diferentes trenzas pueden dar lugar al mismo enlace, al igual que diferentes diagramas de cruce pueden dar lugar al mismo nudo . En 1935, Andrey Markov Jr. describió dos movimientos en diagramas de trenzas que producen equivalencia en las trenzas cerradas correspondientes. ^{[ 7 ]} Una versión de un solo movimiento del teorema de Markov se publicó en 1997. ^{[ 8 ]}

Vaughan Jones definió originalmente su polinomio como un invariante de trenza y luego demostró que dependía únicamente de la clase de la trenza cerrada.

El teorema de Markov proporciona condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales los cierres de dos trenzas son enlaces equivalentes. ^{[ 9 ]}

El "índice de trenza" es el número mínimo de cuerdas necesarias para formar una representación de trenza cerrada de un enlace. Es igual al número mínimo de círculos de Seifert en cualquier proyección de un nudo. ^{[ 10 ]}

Consideremos las siguientes tres trenzas:

Cada trenza en${\displaystyle B_{4}}$puede escribirse como una composición de varias de estas trenzas y sus inversas. En otras palabras, estas tres trenzas generan el grupo${\displaystyle B_{4}}$Para ver esto, se escanea una trenza arbitraria de izquierda a derecha en busca de cruces. Numerando los hilos comenzando desde arriba, cada vez que se produce un cruce de hilos${\displaystyle i}$y${\displaystyle i+1}$se encuentra,${\displaystyle \sigma _{i}}$o${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$se escribe, dependiendo de si la hebra${\displaystyle i}$se mueve por encima o por debajo de la hebra${\displaystyle i+1}$Al llegar al extremo correcto, la trenza se ha escrito como un producto de la${\displaystyle \sigma _{i}}$y sus inversas.

Está claro que

(i)${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}}$,

mientras que las dos relaciones siguientes no son tan obvias:

(iia)${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}}$,

(iib)${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

(estas relaciones se pueden apreciar mejor dibujando la trenza en un trozo de papel). Se puede demostrar que todas las demás relaciones entre las trenzas${\displaystyle \sigma _{1}}$,${\displaystyle \sigma _{2}}$y${\displaystyle \sigma _{3}}$Estas relaciones y los axiomas del grupo ya se derivan de ellos.

Generalizando este ejemplo a${\displaystyle n}$hebras, el grupo${\displaystyle B_{n}}$puede definirse abstractamente mediante la siguiente presentación :

${\displaystyle B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle ,}$

donde en el primer grupo de relaciones${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$y en el segundo grupo de relaciones${\displaystyle |ij|\geq 2}$. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Esta presentación conduce a generalizaciones de grupos de trenzas llamados grupos de Artin . Las relaciones cúbicas, conocidas como relaciones de trenzas , juegan un papel importante en la teoría de las ecuaciones de Yang-Baxter .

• El grupo de trenzas${\displaystyle B_{1}}$es trivial ,${\displaystyle B_{2}}$es el grupo cíclico infinito${\displaystyle \mathbb {Z} }$, y${\displaystyle B_{3}}$es isomorfo al grupo de nudos del nudo de trébol ; en particular, es un grupo no abeliano infinito .
• El grupo de trenzas de n hebras${\displaystyle B_{n}}$se integra como un subgrupo en el${\displaystyle (n+1)}$-grupo de trenzas de hebras${\displaystyle B_{n+1}}$agregando una hebra extra que no cruza ninguna de las primeras n hebras. La unión creciente de los grupos de trenzas con todas${\displaystyle n\geq 1}$es el grupo de trenzas infinitas${\displaystyle B_{\infty }}$.
• Todos los elementos no identitarios de${\displaystyle B_{n}}$tienen un orden infinito ; es decir,${\displaystyle B_{n}}$es libre de torsión .
• Existe un orden lineal invariante por la izquierda en${\displaystyle B_{n}}$llamada la orden Dehornoy .
• Para${\displaystyle n\geq 3}$,${\displaystyle B_{n}}$contiene un subgrupo isomorfo al grupo libre en dos generadores.
• Hay un homomorfismo${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$definido por σ _i ↦ 1 . Así, por ejemplo, la trenza σ ₂ σ ₃ σ ₁ ⁻¹ σ ₂ σ ₃ se mapea a 1  +  1  −  1  +  1  +  1 = 3 . Este mapeo corresponde a la abelianización del grupo de trenzas. Dado que σ _i ^k ↦ k , entonces σ _i ^k es la identidad si y solo si ${\displaystyle k=0}$Esto demuestra que los generadores tienen orden infinito.

Al olvidar cómo se retuercen y cruzan los hilos, cada trenza de n hilos determina una permutación de n elementos. Esta asignación es sobreyectiva y compatible con la composición, y por lo tanto se convierte en un homomorfismo de grupo sobreyectivo B _n → S _n del grupo de trenzas al grupo simétrico . La imagen de la trenza σ _i ∈ B _n es la transposición s _i = ( i , i +1) ∈ S _n . Estas transposiciones generan el grupo simétrico, satisfacen las relaciones del grupo de trenzas y tienen orden 2. Esto transforma la presentación de Artin del grupo de trenzas en la presentación de Coxeter del grupo simétrico:

${\displaystyle S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }}|i-j|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .}$

El núcleo del homomorfismo B _n → S _n es el subgrupo de B _n llamado grupo de trenza pura sobre n hebras y denotado por P _n . Este puede considerarse como el grupo fundamental del espacio de n -tuplas de puntos distintos del plano euclidiano. En una trenza pura, el principio y el final de cada hebra están en la misma posición. Los grupos de trenza pura se ajustan a una secuencia exacta corta .

${\displaystyle 1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.}$

Esta secuencia se divide y, por lo tanto, los grupos de trenzas puras se realizan como productos semidirectos iterados de grupos libres.

El grupo de trenzas${\displaystyle B_{3}}$es la extensión central universal del grupo modular${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$, con estos situados como retículos dentro del grupo de recubrimiento universal (topológico)

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$.

Además, el grupo modular tiene centro trivial, y por lo tanto el grupo modular es isomorfo al grupo cociente de${\displaystyle B_{3}}$módulo su centro ,${\displaystyle Z(B_{3}),}$y equivalentemente, al grupo de automorfismos internos de${\displaystyle B_{3}}$.

Aquí se muestra una construcción de este isomorfismo . Definir

${\displaystyle a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}}$.

De las relaciones de trenzado se deduce que${\displaystyle a^{2}=b^{3}}$. Denotando este último producto como${\displaystyle c}$, se puede verificar a partir de las relaciones de trenzado que

${\displaystyle \sigma _{1}c\sigma _{1}^{-1}=\sigma _{2}c\sigma _{2}^{-1}=c}$

lo que implica que${\displaystyle c}$está en el centro de${\displaystyle B_{3}}$. Dejar${\displaystyle C}$denotan el subgrupo de${\displaystyle B_{3}}$generado por c , puesto que C  ⊂ Z ( B ₃ )  , es un subgrupo normal y se puede tomar el grupo cociente B ₃ / C . Afirmamos que B ₃ / C ≅ PSL(2, Z ) ; este isomorfismo puede expresarse explícitamente. Las clases laterales σ ₁ C y σ ₂ C se mapean a

${\displaystyle \sigma _{1}C\mapsto R={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}}$

donde L y R son los movimientos estándar a la izquierda y a la derecha en el árbol de Stern-Brocot ; es bien sabido que estos movimientos generan el grupo modular.

Alternativamente, una presentación común para el grupo modular es

${\displaystyle \langle v,p\,|\,v^{2}=p^{3}=1\rangle }$

dónde

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\qquad p={\begin{bmatrix}0&1\\-1&1\end{bmatrix}}.}$

Al asignar a v y b p se obtiene un homomorfismo de grupo sobreyectivo B ₃ → PSL(2, Z ) .

El centro de B ₃ es igual a C , una consecuencia de los hechos de que c está en el centro, el grupo modular tiene centro trivial y el homomorfismo sobreyectivo anterior tiene núcleo C .

Se puede demostrar que el grupo de trenzas B _n es isomorfo al grupo de clases de mapeo de un disco perforado con n perforaciones. Esto se visualiza más fácilmente imaginando que cada perforación está conectada por una cuerda al borde del disco; cada homomorfismo de mapeo que permuta dos de las perforaciones puede considerarse entonces una homotopía de las cuerdas, es decir, un trenzado de estas cuerdas.

Mediante esta interpretación de grupos de clases de mapeo de trenzas, cada trenza puede clasificarse como periódica, reducible o pseudo-Anosov .

Si se da una trenza y se conecta el primer elemento de la izquierda con el primer elemento de la derecha usando una nueva cuerda, el segundo elemento de la izquierda con el segundo elemento de la derecha, etc. (sin crear ninguna trenza en las nuevas cuerdas), se obtiene un enlace y, a veces, un nudo . El teorema de Alexander en la teoría de trenzas afirma que lo contrario también es cierto: todo nudo y todo enlace surge de esta manera a partir de al menos una trenza; dicha trenza se puede obtener cortando el enlace. Dado que las trenzas se pueden dar concretamente como palabras en los generadores σ _i , este suele ser el método preferido para introducir nudos en programas informáticos.

El problema verbal para las relaciones de trenzas se puede resolver eficientemente y existe una forma normal para los elementos de B _n en términos de los generadores σ ₁ , ..., σ _{n −1} . (En esencia, calcular la forma normal de una trenza es el análogo algebraico de "tirar de los hilos" como se ilustra en nuestro segundo conjunto de imágenes anterior). El sistema de álgebra computacional gratuito GAP puede realizar cálculos en B _n si los elementos se dan en términos de estos generadores. También hay un paquete llamado CHEVIE para GAP3 con soporte especial para grupos de trenzas. El problema verbal también se resuelve eficientemente mediante la representación de Lawrence-Krammer .

Además del problema de la palabra, existen varios problemas computacionales difíciles conocidos que podrían implementar grupos de trenzas; se han sugerido aplicaciones en criptografía . ^{[ 18 ]}

Los elementos del grupo de trenzas B _n pueden representarse de forma más concreta mediante matrices. Una representación clásica de este tipo es la representación de Burau , donde las entradas de la matriz son polinomios de Laurent de una sola variable . Durante mucho tiempo se cuestionó si la representación de Burau era fiel , pero la respuesta resultó ser negativa para n  ≥  5. De forma más general, era un importante problema abierto si los grupos de trenzas eran lineales . En 1990, Ruth Lawrence describió una familia de "representaciones de Lawrence" más generales que dependen de varios parámetros. En 1996, Chetan Nayak y Frank Wilczek postularon que, por analogía con las representaciones proyectivas de SO(3) , las representaciones proyectivas del grupo de trenzas tienen un significado físico para ciertas cuasipartículas en el efecto Hall cuántico fraccionario . ^{[ 19 ]} Alrededor de 2001, Stephen Bigelow y Daan Krammer demostraron independientemente que todos los grupos de trenzas son lineales. Su trabajo utilizó la representación de Lawrence-Krammer de dimensión${\displaystyle n(n-1)/2}$dependiendo de las variables q y t . Al especializar adecuadamente estas variables, el grupo de trenzas${\displaystyle B_{n}}$puede realizarse como un subgrupo del grupo lineal general sobre los números complejos .