Los tres teoremas principales de Brauer

Los teoremas principales de Brauer son tres teoremas de la teoría de la representación de grupos finitos que vinculan los bloques de un grupo finito (en característica p ) con los de sus subgrupos p -locales , es decir, los normalizadores de sus p- subgrupos no triviales.

El segundo y el tercer teorema principal permiten refinar las relaciones de ortogonalidad para caracteres ordinarios , las cuales pueden aplicarse en la teoría de grupos finitos . Actualmente, no se admite una demostración exclusivamente en términos de caracteres ordinarios. Los tres teoremas principales se formulan en términos de la correspondencia de Brauer .

Hay muchas maneras de extender la definición que sigue, pero esta se acerca a los primeros tratamientos de Brauer. Sea G un grupo finito, p un número primo , F un cuerpo de característica p . Sea H un subgrupo de G que contiene

${\displaystyle QC_{G}(Q)}$

para algún p -subgrupo Q de G , y está contenido en el normalizador

${\displaystyle N_{G}(Q)}$,

dónde${\displaystyle C_{G}(Q)}$es el centralizador de Q en G.

El homomorfismo de Brauer (con respecto a H ) es una aplicación lineal del centro del álgebra de grupo de G sobre F al álgebra correspondiente para H. Específicamente, es la restricción a ${\displaystyle Z(FG)}$de la proyección (lineal) desde${\displaystyle FG}$a${\displaystyle FC_{G}(Q)}$cuyo núcleo está generado por los elementos de G externos${\displaystyle C_{G}(Q)}$La imagen de este mapa está contenida en ${\displaystyle Z(FH)}$y resulta que el mapa también es un homomorfismo de anillos .

Dado que se trata de un homomorfismo de anillos, para cualquier bloque B de FG , el homomorfismo de Brauer asigna el elemento identidad de B a un elemento idempotente (posiblemente a 0). Si el idempotente no es cero, puede descomponerse como una suma de idempotentes primitivos (mutuamente ortogonales ) de Z ( FH ). Cada uno de estos idempotentes primitivos es la identidad multiplicativa de algún bloque de FH. Se dice que el bloque b de FH es un correlato de Brauer de B si su elemento identidad aparece en esta descomposición de la imagen de la identidad de B bajo el homomorfismo de Brauer.

El primer teorema principal de Brauer (Brauer 1944 , 1956 , 1970 ) establece que si ${\displaystyle G}$es un grupo finito y${\displaystyle D}$es un${\displaystyle p}$-subgrupo de${\displaystyle G}$, entonces existe una biyección entre el conjunto de bloques (característicos p ) de${\displaystyle G}$con grupo de defectos${\displaystyle D}$y bloques del normalizador${\displaystyle N_{G}(D)}$con grupo de defectos D. Esta biyección surge porque cuando${\displaystyle H=N_{G}(D)}$, cada bloque de G con grupo de defectos D tiene un único bloque correspondiente de Brauer de H , que también tiene grupo de defectos D.

El segundo teorema principal de Brauer (Brauer 1944 , 1959 ) proporciona, para un elemento t cuyo orden es una potencia de un primo p , un criterio para un bloque (característico p ) de ${\displaystyle C_{G}(t)}$para corresponder a un bloque dado de${\displaystyle G}$, a través de números de descomposición generalizados . Estos son los coeficientes que aparecen cuando las restricciones de caracteres ordinarios de${\displaystyle G}$(del bloque dado) a elementos de la forma tu , donde u abarca elementos de orden primo a p en${\displaystyle C_{G}(t)}$, se escriben como combinaciones lineales de los caracteres de Brauer irreducibles de${\displaystyle C_{G}(t)}$. El contenido del teorema es que solo es necesario utilizar caracteres de Brauer de bloques de${\displaystyle C_{G}(t)}$que son los correlatos de Brauer del bloque G elegido .

El tercer teorema principal de Brauer ( Brauer 1964 , teorema 3) establece que cuando Q es un p -subgrupo del grupo finito G , y H es un subgrupo de G que contiene${\displaystyle QC_{G}(Q)}$y contenido en${\displaystyle N_{G}(Q)}$, entonces el bloque principal de H es el único correspondiente de Brauer del bloque principal de G (donde los bloques a los que se hace referencia se calculan en la característica p ).

• La conjetura de Brauer sobre la altura cero
• álgebra de Brauer
• Richard Brauer

• Brauer, R. (1944), "Sobre la aritmética en un anillo de grupo", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 30 (5): 109– 114, Bibcode : 1944PNAS...30..109B , doi : 10.1073/pnas.30.5.109 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 87919 , MR 0010547 , PMC 1078679 , PMID 16578120     
• Brauer, R. (1946), "Sobre bloques de caracteres de grupos de orden finito I", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 32 (6): 182– 186, Bibcode : 1946PNAS...32..182B , doi : 10.1073/pnas.32.6.182 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 87578 , MR 0016418 , PMC 1078910 , PMID 16578199     
• Brauer, R. (1946), "Sobre bloques de caracteres de grupos de orden finito. II", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 32 (8): 215– 219, Bibcode : 1946PNAS...32..215B , doi : 10.1073/pnas.32.8.215 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 87838 , MR 0017280 , PMC 1078924 , PMID 16578207     
• Brauer, R. (1956), "Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung", Mathematische Zeitschrift , 63 : 406– 444, doi : 10.1007/BF01187950 , ISSN 0025-5874 , MR 0075953 , S2CID 186223039   
• Brauer, R. (1959), "Zur Darstellungstheorie der Gruppen endlicher Ordnung. II", Mathematische Zeitschrift , 72 : 25– 46, doi : 10.1007/BF01162934 , ISSN 0025-5874 , MR 0108542 , S2CID 122127627   
• Brauer, R. (1964), "Algunas aplicaciones de la teoría de bloques de caracteres de grupos finitos. I", Journal of Algebra , 1 (2): 152– 167, doi : 10.1016/0021-8693(64)90031-6 , ISSN 0021-8693 , MR 0168662  
• Brauer, R. (1970), "Sobre el primer teorema principal sobre bloques de caracteres de grupos finitos." , Illinois Journal of Mathematics , 14 (2): 183– 187, doi : 10.1215/ijm/1256053174 , ISSN 0019-2082 , MR 0267010  
• Dade, Everett C. (1971), «Teoría de caracteres relativa a grupos simples finitos», en Powell, MB; Higman, Graham (eds.), Grupos simples finitos. Actas de una conferencia didáctica organizada por la London Mathematical Society (un instituto de estudios avanzados de la OTAN), Oxford, septiembre de 1969. Boston, MA: Academic Press , pp. 249–327 , ISBN  978-0-12-563850-0, MR 0360785 Ofrece una demostración detallada de los teoremas principales de Brauer.
• Ellers, H. (2001) [1994], "El primer teorema principal de Brauer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ellers, H. (2001) [1994], "Conjetura de Brauer sobre la altura cero" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ellers, H. (2001) [1994], "El segundo teorema principal de Brauer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Ellers, H. (2001) [1994], "El tercer teorema principal de Brauer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Walter Feit , Teoría de la representación de grupos finitos. Biblioteca Matemática North-Holland, 25. North-Holland Publishing Co., Ámsterdam-Nueva York, 1982. xiv+502 pp. ISBN  0-444-86155-6