Grupo Brauer

En matemáticas , el grupo de Brauer de un cuerpo K es un grupo abeliano cuyos elementos son clases de equivalencia de Morita de álgebras simples centrales sobre K , con la adición dada por el producto tensorial de álgebras . Fue definido por el algebrista Richard Brauer .

El grupo de Brauer surgió de los intentos de clasificar las álgebras de división sobre un cuerpo. También puede definirse en términos de la cohomología de Galois . De forma más general, el grupo de Brauer de un esquema se define en términos de álgebras de Azumaya , o equivalentemente utilizando haces proyectivos .

Un álgebra simple central (ASC) sobre un cuerpo K es un álgebra asociativa K de dimensión finita A tal que A es un anillo simple y su centro es igual a K. Cabe destacar que, en general, las ASC no son álgebras de división , aunque pueden utilizarse para clasificarlas.

Por ejemplo, los números complejos C forman un CSA sobre sí mismos, pero no sobre R (el centro es C mismo, por lo tanto demasiado grande para ser un CSA sobre R ). Las álgebras de división de dimensión finita con centro R (lo que significa que la dimensión sobre R es finita) son los números reales y los cuaterniones según un teorema de Frobenius , mientras que cualquier anillo de matrices sobre los reales o los cuaterniones – M( n , R ) o M( n , H ) – es un CSA sobre los reales, pero no un álgebra de división (si n > 1).

Obtenemos una relación de equivalencia en CSAs sobre K mediante el teorema de Artin-Wedderburn ( de hecho, la parte de Wedderburn ), para expresar cualquier CSA como un M( n , D ) para algún álgebra de división D . Si consideramos solo D , es decir, si imponemos una relación de equivalencia que identifique M( m , D ) con M( n , D ) para todos los enteros positivos m y n , obtenemos la relación de equivalencia de Brauer en CSAs sobre K . Los elementos del grupo de Brauer son las clases de equivalencia de Brauer de CSAs sobre K .

Dadas dos álgebras simples centrales A y B , podemos considerar su producto tensorial A ⊗ B como un álgebra K. Resulta que siempre es central simple. Una forma elegante de verlo es mediante una caracterización: un álgebra simple central A sobre K es un álgebra K que se convierte en un anillo de matrices cuando extendemos el cuerpo de escalares a una clausura algebraica de K. Este resultado también muestra que la dimensión de un álgebra simple central A como espacio vectorial K es siempre un cuadrado . El grado de A se define como la raíz cuadrada de su dimensión.

Como resultado, las clases de isomorfismo de CSA sobre K forman un monoide bajo el producto tensorial, compatible con la equivalencia de Brauer, y todas las clases de Brauer son invertibles : la inversa de un álgebra A viene dada por su álgebra opuesta A ^op (el anillo opuesto con la misma acción por K ya que la imagen de K → A está en el centro de A ). Explícitamente, para un CSA A tenemos A ⊗ A ^op = M( n ² , K ) , donde n es el grado de A sobre K.

El grupo de Brauer de cualquier cuerpo es un grupo de torsión . Más detalladamente, definimos el período de un álgebra simple central A sobre K como su orden como elemento del grupo de Brauer. Definimos el índice de A como el grado del álgebra de división que es Brauer equivalente a A. Entonces, el período de A divide al índice de A (y por lo tanto es finito). ^{[ 1 ]}

• En los siguientes casos, toda álgebra de división central de dimensión finita sobre un cuerpo K es K mismo, de modo que el grupo de Brauer Br( K ) es trivial :
  • K es un cuerpo algebraicamente cerrado .
  • K es un cuerpo finito ( teorema de Wedderburn ). ^{[ 2 ]} Equivalentemente, todo anillo de división finito es conmutativo .
  • K es el cuerpo de funciones de una curva algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado ( teorema de Tsen ). ^{[ 3 ]} De manera más general, el grupo de Brauer se anula para cualquier cuerpo C ₁ .
  • K es una extensión algebraica de Q que contiene todas las raíces de la unidad . ^{[ 2 ]}
• El grupo de Brauer Br R de los números reales es el grupo cíclico de orden dos. Hay solo dos álgebras de división real no isomorfas con centro R : R mismo y el álgebra de cuaterniones H . ^{[ 4 ]} Dado que H ⊗ H ≅ M(4, R ) , la clase de H tiene orden dos en el grupo de Brauer.
• Sea K un cuerpo local no arquimediano , lo que significa que K es completo bajo una valuación discreta con cuerpo residual finito. Entonces Br K es isomorfo a Q / Z . ^{[ 5 ]}

Otra interpretación importante del grupo de Brauer de un cuerpo K es que clasifica las variedades proyectivas sobre K que se vuelven isomorfas al espacio proyectivo sobre una clausura algebraica de K. Dicha variedad se llama variedad de Severi-Brauer , y existe una correspondencia biunívoca entre las clases ^de isomorfismo de las variedades de Severi-Brauer de dimensión n − 1 sobre K y las álgebras simples centrales de grado n sobre K. ^{[ 6} ]

^{Por ejemplo, las variedades de} Severi-Brauer de dimensión 1 son exactamente las cónicas suaves en el plano proyectivo sobre K. Para un cuerpo K de característica distinta de 2, toda cónica sobre K es isomorfa a una de la forma ax² + by² = ^z² para algunos elementos no nulos a y b de K. El álgebra simple central correspondiente es el álgebra de cuaterniones ^{[ 7 ] .}

${\displaystyle (a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).}$

La cónica es isomorfa a la línea proyectiva P ¹ sobre K si y solo si el álgebra de cuaterniones correspondiente es isomorfa al álgebra de matrices M(2, K ).

Para un entero positivo n , sea K un cuerpo en el que n es invertible tal que K contiene una raíz primitiva n- ésima de la unidad ζ . Para elementos no nulos a y b de K , el álgebra cíclica asociada es el álgebra simple central de grado n sobre K definida por

${\displaystyle (a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).}$

Las álgebras cíclicas son las álgebras simples centrales mejor comprendidas. (Cuando n no es invertible en K o K no tiene una raíz n-ésima primitiva de la unidad, una construcción similar da el álgebra cíclica ( χ , a ) asociada a una extensión cíclica Z / n χ de K y un elemento no nulo a de K . ^{[ 8 ]} )

El teorema de Merkurjev-Suslin en la teoría K algebraica tiene una fuerte consecuencia sobre el grupo de Brauer. Es decir, para un entero positivo n , sea K un cuerpo en el que n es invertible tal que K contiene una raíz primitiva n- ésima de la unidad. Entonces, el subgrupo del grupo de Brauer de K anulado por n está generado por álgebras cíclicas de grado n . ^{[ 9 ]} De forma equivalente, cualquier álgebra de división de periodo que divide a n es Brauer equivalente a un producto tensorial de álgebras cíclicas de grado n . Incluso para un número primo p , hay ejemplos que muestran que un álgebra de división de periodo p no tiene por qué ser isomorfa a un producto tensorial de álgebras cíclicas de grado p . ^{[ 10 ]}

Es un problema abierto importante (planteado por Albert ) si toda álgebra de división de grado primo sobre un cuerpo es cíclica. Esto es cierto si el grado es 2 o 3, pero el problema está completamente abierto para primos de al menos 5. Los resultados conocidos son solo para clases especiales de cuerpos. Por ejemplo, si K es un cuerpo global o un cuerpo local , entonces un álgebra de división de cualquier grado sobre K es cíclica, según Albert– Brauer – Hasse – Noether . ^{[ 11 ]} Saltman demostró un resultado de "dimensión superior" en la misma dirección : si K es un cuerpo de grado de trascendencia 1 sobre el cuerpo local Q _p , entonces toda álgebra de división de grado primo l ≠ p sobre K es cíclica. ^{[ 12 ]}

Para cualquier álgebra simple central A sobre un cuerpo K , el período de A divide el índice de A , y ambos números tienen los mismos factores primos. ^{[ 13 ]} El problema del índice-período consiste en acotar el índice en función del período, para cuerpos K de interés. Por ejemplo, si A es un álgebra simple central sobre un cuerpo local o global, Albert-Brauer ^- Hasse-Noether demostraron que el índice de A es igual al período de A. ^{[ 11} ]

Para un álgebra simple central A sobre un cuerpo K de grado de trascendencia n sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, se conjetura que ind( A ) divide a per( A ) ^{n −1} . Esto es cierto para n ≤ 2 , siendo el caso n = 2 un avance importante de de Jong , perfeccionado en característica positiva por de  Jong-Starr y Lieblich. ^{[ 14 ]}

El grupo de Brauer desempeña un papel importante en la formulación moderna de la teoría de cuerpos de clases . Si K _v es un cuerpo local no arquimediano, la teoría de cuerpos de clases local proporciona un isomorfismo canónico inv _v  : Br K _v → Q / Z , el invariante de Hasse . ^{[ 2 ]}

El caso de un cuerpo global K (como un cuerpo numérico ) se aborda mediante la teoría de cuerpos de clases globales . Si D es un álgebra simple central sobre K y v es un lugar de K , entonces D ⊗ K _v es un álgebra simple central sobre K _v , la completación de K en v . Esto define un homomorfismo del grupo de Brauer de K en el grupo de Brauer de K _v . Un álgebra simple central D dada se divide para todos los v excepto un número finito de ellos, de modo que la imagen de D bajo casi todos esos homomorfismos es 0. El grupo de Brauer Br K encaja en una sucesión exacta construida por Hasse: ^{[ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Br} K\rightarrow \bigoplus _{v\in S}\operatorname {Br} K_{v}\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

donde S es el conjunto de todos los lugares de K y la flecha derecha es la suma de los invariantes locales; el grupo de Brauer de los números reales se identifica con Z / 2Z . La inyectividad de la flecha izquierda es el contenido del teorema de Albert-Brauer-Hasse-Noether .

El hecho de que la suma de todos los invariantes locales de un álgebra simple central sobre K sea cero es una ley de reciprocidad típica . Por ejemplo, al aplicar esto a un álgebra de cuaterniones ( a , b ) sobre Q se obtiene la ley de reciprocidad cuadrática .

Para un cuerpo arbitrario K , el grupo de Brauer se puede expresar en términos de cohomología de Galois de la siguiente manera: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \operatorname {Br} K\cong H^{2}(K,G_{\text{m}}),}$

donde G _m denota el grupo multiplicativo , visto como un grupo algebraico sobre K. Más concretamente, el grupo de cohomología indicado significa H ² (Gal( K s _/ K ) , K _s ^* ) , donde K _s denota una clausura separable de K.

El isomorfismo del grupo de Brauer con un grupo de cohomología de Galois se puede describir de la siguiente manera. El grupo de automorfismos del álgebra de matrices n- × -n es el grupo lineal proyectivo PGL( n ). Dado que todas las álgebras simples centrales sobre K se vuelven isomorfas al álgebra de matrices sobre una clausura separable de ^K , el conjunto de clases de isomorfismo de álgebras simples centrales de grado n sobre K se puede identificar con el conjunto de cohomología de Galois H1 ( K , PGL( n ) ) . La clase de un álgebra simple central en H2 ( K , Gm ₎ es la imagen de su clase en H1 bajo el homomorfismo de ^{frontera .}

${\displaystyle H^{1}(K,\operatorname {PGL} (n))\rightarrow H^{2}(K,G_{\text{m}})}$

asociado a la secuencia exacta corta 1 → G _m → GL( n ) → PGL( n ) → 1 .

El grupo de Brauer fue generalizado de cuerpos a anillos conmutativos por Auslander y Goldman . Grothendieck fue más allá al definir el grupo de Brauer de cualquier esquema .

There are two ways of defining the Brauer group of a scheme X, using either Azumaya algebras over X or projective bundles over X. The second definition involves projective bundles that are locally trivial in the étale topology, not necessarily in the Zariski topology. In particular, a projective bundle is defined to be zero in the Brauer group if and only if it is the projectivization of some vector bundle.

The cohomological Brauer group of a quasi-compact scheme X is defined to be the torsion subgroup of the étale cohomology group H²(X, G_m). (The whole group H²(X, G_m) need not be torsion, although it is torsion for regular, integral, quasi-compact schemesX.^[18]) The Brauer group is always a subgroup of the cohomological Brauer group. Gabber showed that the Brauer group is equal to the cohomological Brauer group for any scheme with an ample line bundle (for example, any quasi-projective scheme over a commutative ring).^[19]

The whole group H²(X, G_m) can be viewed as classifying the gerbes over X with structure group G_m.

For smooth projective varieties over a field, the Brauer group is an important birational invariant. For example, when X is also rationally connected over the complex numbers, the Brauer group of X is isomorphic to the torsion subgroup of the singular cohomology group H³(X, Z), which is therefore a birational invariant. Artin and Mumford used this description of the Brauer group to give the first example of a unirational varietyX over C that is not stably rational (that is, no product of X with a projective space is rational).^[20]

Artin conjectured that every proper scheme over the integers has finite Brauer group.^[21] This is far from known even in the special case of a smooth projective variety X over a finite field. Indeed, the finiteness of the Brauer group for surfaces in that case is equivalent to the Tate conjecture for divisors on X, one of the main problems in the theory of algebraic cycles.^[22]

For a regular integral scheme of dimension 2 which is flat and proper over the ring of integers of a number field, and which has a section, the finiteness of the Brauer group is equivalent to the finiteness of the Tate–Shafarevich group Ш for the Jacobian variety of the general fiber (a curve over a number field).^[23] The finiteness of Ш is a central problem in the arithmetic of elliptic curves and more generally abelian varieties.

Let X be a smooth projective variety over a number field K. The Hasse principle would predict that if X has a rational point over all completions K_v of K, then X has a K-rational point. The Hasse principle holds for some special classes of varieties, but not in general. Manin used the Brauer group of X to define the Brauer–Manin obstruction, which can be applied in many cases to show that X has no K-points even when X has points over all completions of K.