La fórmula de Bretschneider

En geometría , la fórmula de Bretschneider es una expresión matemática para el área de un cuadrilátero general . Funciona tanto para cuadriláteros convexos como cóncavos, sean cíclicos o no.

El matemático alemán Carl Anton Bretschneider descubrió la fórmula en 1842. Ese mismo año, el matemático alemán Karl Georg Christian von Staudt también la dedujo .

La fórmula de Bretschneider se expresa como:

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}$

Aquí, a , b , c y d son los lados del cuadrilátero, s es el semiperímetro y α y γ son dos ángulos opuestos cualesquiera. La fórmula de Bretschneider funciona con cualquier cuadrilátero, sea cíclico o no.

Denotemos el área del cuadrilátero por K. Entonces tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle 2K=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .}$

${\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

La ley de los cosenos implica que

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma,}$

porque ambos lados son iguales al cuadrado de la longitud de la diagonal BD . Esto se puede reescribir como

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

Si añadimos esto a la fórmula anterior para 4 K ^2, obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}4K^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que:${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}}$(una identidad trigonométrica verdadera para todo${\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}$)

Siguiendo los mismos pasos que en la fórmula de Brahmagupta , esto se puede escribir como

${\displaystyle 16K^{2}=(a+b+cd)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

Introducción del semiperímetro

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

lo anterior se convierte en

${\displaystyle 16K^{2}=16(sd)(sc)(sb)(sa)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

${\displaystyle K^{2}=(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

y la fórmula de Bretschneider se obtiene después de tomar la raíz cuadrada de ambos lados:

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

La segunda forma se obtiene utilizando la identidad del coseno del semiángulo.

${\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)={\frac {1+\cos \left(\alpha +\gamma \right)}{2}},}$

flexible

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}.}$

Emmanuel García ha utilizado las fórmulas generalizadas del semiángulo para dar una demostración alternativa. ^{[ 1 ]}

La fórmula de Bretschneider generaliza la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico , que a su vez generaliza la fórmula de Herón para el área de un triángulo .

El ajuste trigonométrico en la fórmula de Bretschneider para la no ciclicidad del cuadrilátero se puede reescribir de forma no trigonométrica en términos de los lados y las diagonales e y f para obtener ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{4}}((ac+bd)^{2}-e^{2}f^{2})}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}\\\end{aligned}}}$

• Ayoub, Ayoub B. (2007). "Generalizaciones de los teoremas de Ptolomeo y Brahmagupta". Matemáticas y Educación Informática . 41 (1). ISSN 0730-8639 . 
• CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( copia en línea, alemán )
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( copia en línea, alemán )

• Weisstein, Eric W. "La fórmula de Bretschneider" . MundoMatemático .
• Fórmula de Bretschneider enproofwiki.org
• Fórmula del área de un cuadrilátero de Bretschneider y fórmula de Brahmagupta en Bocetos de geometría dinámica , bocetos de geometría interactivos.