Brianchon's theorem

In geometry, Brianchon's theorem is a theorem stating that when a hexagon is circumscribed around a conic section, its principal diagonals (those connecting opposite vertices) meet in a single point. It is named after Charles Julien Brianchon (1783–1864).

Let P₁P₂P₃P₄P₅P₆ be a hexagon formed by six tangent lines of a conic section. Then lines P₁P₄, P₂P₅, P₃P₆ (extended diagonals each connecting opposite vertices) intersect at a single pointB, the Brianchon point.^{[1]:p. 218[2]}

The polar reciprocal and projective dual of this theorem give Pascal's theorem.

As for Pascal's theorem there exist degenerations for Brianchon's theorem, too: Let coincide two neighbored tangents. Their point of intersection becomes a point of the conic. In the diagram three pairs of neighbored tangents coincide. This procedure results in a statement on inellipses of triangles. From a projective point of view the two triangles P₁P₃P₅ and P₂P₄P₆ lie perspectively with center B. That means there exists a central collineation, which maps the one onto the other triangle. But only in special cases this collineation is an affine scaling. For example for a Steiner inellipse, where the Brianchon point is the centroid.

El teorema de Brianchon es válido tanto en el plano afín como en el plano proyectivo real . Sin embargo, su enunciado en el plano afín es, en cierto modo, menos informativo y más complejo que en el plano proyectivo . Consideremos, por ejemplo, cinco rectas tangentes a una parábola . Estas pueden considerarse lados de un hexágono cuyo sexto lado es la recta en el infinito , pero no existe ninguna recta en el infinito en el plano afín. En dos casos, una recta desde un vértice (inexistente) hasta el vértice opuesto sería paralela a una de las cinco rectas tangentes. Por lo tanto, el teorema de Brianchon, enunciado únicamente para el plano afín, tendría que formularse de manera diferente en tal situación.

El dual proyectivo del teorema de Brianchon tiene excepciones en el plano afín, pero no en el plano proyectivo.

El teorema de Brianchon se puede demostrar mediante el concepto de eje radical o reciprocidad. Para demostrarlo, tomemos una longitud arbitraria ( MN ) y llevémosla a lo largo de las tangentes que parten de los puntos de contacto: PL = RJ = QH = MN, etc. Dibujemos círculos a , b , c tangentes a los lados opuestos del hexágono en los puntos ( H , W ) , ( J , V ) y ( L , Y ) , respectivamente. Se observa fácilmente que las líneas concurrentes coinciden con los ejes radicales ab , bc , ca, respectivamente, de los tres círculos tomados en pares. Por lo tanto, O coincide con el centro radical de estos tres círculos.

El teorema adquiere formas particulares en el caso de pentágonos circunscritos, por ejemplo, cuando R y Q tienden a coincidir con F , un caso en el que AFE se transforma en la tangente en F. Luego, tomando una identificación similar de los puntos T , C y U , obtenemos un teorema correspondiente para cuadriláteros.

• Teorema de los siete círculos
• Teorema de Pascal