Filtro Sinc

En el procesamiento de señales , un filtro sinc puede referirse tanto a un filtro sinc en el tiempo, cuya respuesta impulsional es una función sinc y cuya respuesta en frecuencia es rectangular, como a un filtro sinc en la frecuencia, cuya respuesta impulsional es rectangular y cuya respuesta en frecuencia es una función sinc. Denominarlos según el dominio en el que se asemejan a un filtro sinc evita confusiones. Si el dominio no está especificado, se suele asumir que se trata de un filtro sinc en el tiempo, o bien, el contexto permite inferir el dominio correcto.

Desde el tiempo

El filtro sinc-in-time es ideal para eliminar todos los componentes de frecuencia por encima de una frecuencia de corte determinada , sin atenuar las frecuencias más bajas, y presenta una respuesta de fase lineal . Por lo tanto, puede considerarse un filtro de pared de ladrillo o un filtro rectangular.

Su respuesta impulsional es una función sinc en el dominio del tiempo :

${\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}$

mientras que su respuesta en frecuencia es una función rectangular :

H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{si }}|f|>B,\\{\frac {1}{2}},&{\text{si }}|f|=B,\\1,&{\text{si }}|f|<B,\end{cases}}

dónde $B$ (que representa su ancho de banda ) es una frecuencia de corte arbitraria.

Su respuesta impulsional viene dada por la transformada inversa de Fourier de su respuesta en frecuencia:

{\begin{aligned}h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{H(f)\}&=\int _{-B}^{B}\exp(2\pi ift)\,df\\&=2B\operatorname {sinc} (2Bt)\end{aligned}}

donde sinc es la función sinc normalizada .

Filtros de pared de ladrillo

Un filtro electrónico idealizado con transmisión total en la banda de paso, atenuación completa en la banda de rechazo y transiciones abruptas se conoce coloquialmente como un "filtro de pared de ladrillo" (en referencia a la forma de la función de transferencia ). El filtro sinc en el tiempo es un filtro paso bajo de pared de ladrillo , a partir del cual se construyen fácilmente filtros paso banda y paso alto de pared de ladrillo .

El filtro paso bajo con corte de pared de ladrillo en la frecuencia B _L tiene respuesta al impulso y función de transferencia dadas por:

h_{LPF}(t)=2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)

H_{LPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).

El filtro paso banda con borde de banda inferior B _L y borde de banda superior B _H es simplemente la diferencia de dos filtros sinc en el tiempo de este tipo (ya que los filtros tienen fase cero, sus respuestas de magnitud se restan directamente): ^{[ 1 ]}

h_{BPF}(t)=2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)-2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)

H_{BPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).

El filtro paso alto con borde de banda inferior B _H es simplemente un filtro transparente menos un filtro sinc en el tiempo, lo que deja claro que la función delta de Dirac es el límite de un filtro sinc en el tiempo estrecho en el tiempo:

h_{HPF}(t)=\delta (t)-2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)

H_{HPF}(f)=1-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right).

Irrealizable

Dado que el filtro sinc-en-tiempo tiene una respuesta impulsional infinita tanto en la dirección positiva como en la negativa del tiempo, no es causal y tiene un retardo infinito (es decir, su soporte compacto en el dominio de la frecuencia hace que su respuesta temporal no tenga soporte compacto, lo que significa que es perpetua) y un orden infinito (es decir, la respuesta no puede expresarse como una ecuación diferencial lineal con una suma finita). Sin embargo, se utiliza en demostraciones conceptuales o pruebas, como el teorema de muestreo y la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Los filtros sinc-in-time deben aproximarse para aplicaciones del mundo real (no abstractas), normalmente mediante el uso de ventanas y el truncamiento de un núcleo de filtro sinc-in-time ideal , pero al hacerlo se reducen sus propiedades ideales. ^{[ 2 ]} Esto se aplica a otros filtros de pared de ladrillo construidos utilizando filtros sinc-in-time.

Estabilidad

El filtro sinc no es estable en el sentido de entrada acotada-salida acotada (BIBO) . Es decir, una entrada acotada puede producir una salida no acotada, ya que la integral del valor absoluto de la función sinc es infinita. Una entrada acotada que produce una salida no acotada es sgn(sinc( t )). Otro ejemplo es sin( $2πBt$ ) u ( t ), una onda sinusoidal que comienza en el tiempo 0, en la frecuencia de corte .

función sinc en el dominio de la frecuencia

Respuesta en frecuencia en dB de filtros de media móvil. Frecuencia representada en relación con la frecuencia de muestreo. $f_{S}$ .

{\displaystyle f_{S}} — Respuesta en frecuencia en dB de filtros de media móvil. Frecuencia representada en relación con la frecuencia de muestreo. $f_{S}$ .

La implementación más simple de un filtro sinc en frecuencia utiliza una respuesta de impulso rectangular para producir una media móvil simple (específicamente si se divide por el número de muestras), también conocido como filtro de acumulación y descarga (específicamente si simplemente se suma sin una división). Se puede modelar como un filtro de respuesta de impulso finito (FIR) con todos $N$ coeficientes iguales. A veces se utiliza en cascada para producir medias móviles de orden superior (véase Respuesta de impulso finita § Ejemplo de media móvil y filtro integrador-peine en cascada ).

Este filtro se puede utilizar para un submuestreo (también conocido como decimación) rudimentario pero rápido y sencillo por un factor de $N.$ La simplicidad del filtro se ve frustrada por sus mediocres capacidades de paso bajo. La banda de rechazo contiene lóbulos periódicos con altura que disminuye gradualmente entre los nulos en múltiplos de ${\textstyle {\frac {f_{S}}{N}}}$ El primer lóbulo es de -11,3 dB para una media móvil de 4 muestras, o de -12,8 dB para una media móvil de 8 muestras, y de -13,1 dB para una media móvil de 16 muestras. $N$ -filtro de muestra muestreado en $f_{S}$ enmascarará todos los componentes de señal no totalmente atenuados que se encuentren por encima ${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$ a la banda base que abarca desde CC hasta ${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}.}$

Procesamiento de filtro de promedio de grupo $N$ muestras tiene ${\tfrac {N}{2}}$ ceros de transmisión espaciados uniformemente por ${\tfrac {f_{S}}{N}},$ con el cero más bajo en ${\tfrac {f_{S}}{N}}$ y el cero más alto en ${\tfrac {f_{S}}{2}}$ (la frecuencia de Nyquist ). Por encima de la frecuencia de Nyquist, la respuesta en frecuencia se refleja y luego se repite periódicamente por encima de $f_{S}$ para siempre.

La magnitud de la respuesta en frecuencia (representada en estos gráficos) es útil para saber cuánto se atenúan las frecuencias. Aunque la función sinc oscila entre valores negativos y positivos, los valores negativos de la respuesta en frecuencia simplemente corresponden a un desfase de 180 grados .

Se puede utilizar un filtro sinc inverso para la ecualización en el dominio digital (por ejemplo, un filtro FIR ) o en el dominio analógico (por ejemplo, un filtro de amplificador operacional ) para contrarrestar la atenuación no deseada en la banda de frecuencia de interés y proporcionar una respuesta de frecuencia plana. ^{[ 3 ]}

Consulte la función Ventana § Ventana rectangular para la aplicación del núcleo sinc como la función de ventana más simple.

Véase también

Referencias

↑ Mark Owen (2007). Procesamiento práctico de señales . Cambridge University Press. pág. 81. ISBN 978-0-521-85478-8.
↑ Smith, Steven W. (1999). «Filtros Sinc con ventana» (PDF) . Guía del científico e ingeniero para el procesamiento digital de señales (2.ª ed.). California Technical Publishing. págs. 285–296 . ISBN 0-9660176-7-6.
↑ "NOTA DE APLICACIÓN 3853: Técnicas de ecualización para aplanar la respuesta de frecuencia del DAC" . Analog Devices . 2012-08-20. Archivado del original el 2023-09-18 . Consultado el 2024-01-02 .

Enlaces externos

Filtros digitales de pared de ladrillo y desviaciones de fase
Filtros de pared de ladrillo

[1] Mark Owen (2007). Procesamiento práctico de señales . Cambridge University Press. pág. 81. ISBN 978-0-521-85478-8.

[2] Smith, Steven W. (1999). «Filtros Sinc con ventana» (PDF) . Guía del científico e ingeniero para el procesamiento digital de señales (2.ª ed.). California Technical Publishing. págs. 285–296 . ISBN 0-9660176-7-6.

[3] "NOTA DE APLICACIÓN 3853: Técnicas de ecualización para aplanar la respuesta de frecuencia del DAC" . Analog Devices . 2012-08-20. Archivado del original el 2023-09-18 . Consultado el 2024-01-02 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]