Coordenadas de Brinkmann

Las coordenadas de Brinkmann son un sistema de coordenadas particular para un espaciotiempo perteneciente a la familia de métricas de onda pp . Reciben su nombre de Hans Brinkmann . En términos de estas coordenadas, el tensor métrico se puede escribir como

${\displaystyle ds^{2}=H(u,x,y)du^{2}+2dudv+dx^{2}+dy^{2}}$.

Tenga en cuenta que${\displaystyle \partial _{v}}$, el campo vectorial de coordenadas dual al campo vectorial de covectores${\displaystyle dv}$es un campo vectorial nulo . De hecho, geométricamente hablando, es una congruencia geodésica nula con escalares ópticos que se desvanecen . Físicamente hablando, sirve como vector de onda que define la dirección de propagación para la onda pp.

El campo vectorial de coordenadas${\displaystyle \partial _{u}}$puede ser espacial, nulo o temporal en un evento dado en el espaciotiempo , dependiendo del signo de${\displaystyle H(u,x,y)}$en ese evento. Los campos vectoriales de coordenadas${\displaystyle \partial _{x},\partial _{y}}$son ambos campos vectoriales de tipo espacial . Cada superficie${\displaystyle u=u_{0},v=v_{0}}$puede considerarse como un frente de onda .

En las discusiones sobre soluciones exactas a la ecuación de campo de Einstein , muchos autores no especifican el rango previsto de las variables de coordenadas .${\displaystyle u,v,x,y}$Aquí deberíamos tomar

${\displaystyle -\infty <v,x,y<\infty ,u_ {0}<u<u_ {1}}$

para contemplar la posibilidad de que la onda pp desarrolle una singularidad de curvatura nula .

• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius y Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7.
• HW Brinkmann (1925). "Espacios de Einstein que se mapean conformemente entre sí". Math. Ann . 18 : 119–145 . doi : 10.1007/BF01208647 . S2CID 121619009 .