espaciotiempo de onda pp

En la relatividad general , los espaciotiempos de onda pp , o simplemente ondas pp , constituyen una importante familia de soluciones exactas de la ecuación de campo de Einstein . El término pp significa ondas de frente plano con propagación paralela , y fue introducido en 1962 por Jürgen Ehlers y Wolfgang Kundt .

Las soluciones de ondas pp modelan la radiación que se mueve a la velocidad de la luz . Esta radiación puede consistir en:

• radiación electromagnética ,
• radiación gravitacional ,
• radiación sin masa asociada con fermiones de Weyl ,
• radiación sin masa asociada con algún tipo hipotético de campo clásico relativista distinto,

o cualquier combinación de estas, siempre y cuando la radiación se mueva en la misma dirección.

Un tipo especial de espaciotiempo de onda pp, los espaciotiempos de onda plana , proporcionan el análogo más general en la relatividad general de las ondas planas que les resultan familiares a los estudiantes de electromagnetismo . En particular, en la relatividad general, debemos tener en cuenta los efectos gravitacionales de la densidad de energía del propio campo electromagnético . Al hacerlo, las ondas planas puramente electromagnéticas proporcionan la generalización directa de las soluciones de onda plana ordinarias en la teoría de Maxwell .

Además, en la relatividad general, las perturbaciones en el propio campo gravitatorio pueden propagarse, a la velocidad de la luz, como «arrugas» en la curvatura del espaciotiempo. Esta radiación gravitatoria es el análogo del campo gravitatorio de la radiación electromagnética. En la relatividad general, el análogo gravitatorio de las ondas planas electromagnéticas son precisamente las soluciones de vacío entre los espaciotiempos de onda plana. Se las denomina ondas planas gravitatorias .

Existen ejemplos físicamente importantes de espaciotiempos de onda pp que no son espaciotiempos de onda plana. En particular, la experiencia física de un observador que pasa zumbando junto a un objeto gravitatorio (como una estrella o un agujero negro) a una velocidad cercana a la de la luz puede modelarse mediante un espaciotiempo de onda pp impulsivo denominado ultraimpulso de Aichelburg-Sexl . El campo gravitatorio de un haz de luz se modela, en la relatividad general, mediante una determinada onda pp axisimétrica .

Un ejemplo de onda pp que se da cuando la gravedad está presente en la materia es el campo gravitatorio que rodea a un fermión de Weyl neutro: el sistema consiste en un campo gravitatorio que es una onda pp, sin radiación electrodinámica, y un espinor sin masa que exhibe simetría axial. En el espaciotiempo de Weyl-Lewis-Papapetrou , existe un conjunto completo de soluciones exactas tanto para la gravedad como para la materia. ^{[ 1 ]}

Las ondas Pp fueron introducidas por Hans Brinkmann en 1925 y han sido redescubiertas en numerosas ocasiones desde entonces, destacando especialmente el descubrimiento por Albert Einstein y Nathan Rosen en 1937. Sin duda, se están realizando más investigaciones al respecto.

Un espaciotiempo de onda pp es cualquier variedad lorentziana cuyo tensor métrico puede describirse, con respecto a las coordenadas de Brinkmann , de la forma

${\displaystyle ds^{2}=H(u,x,y)\,du^{2}+2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}}$

dónde${\displaystyle H}$es cualquier función suave . Esta fue la definición original de Brinkmann, y tiene la virtud de ser fácil de entender.

La definición que ahora es estándar en la literatura es más sofisticada. No hace referencia a ninguna carta de coordenadas, por lo que es una definición independiente de coordenadas . Establece que cualquier variedad lorentziana que admita un campo vectorial nulo covariante constante${\displaystyle k}$se denomina espaciotiempo de onda pp. Es decir, la derivada covariante de${\displaystyle k}$debe desaparecer de forma idéntica:

${\displaystyle \nabla k=0.}$

Esta definición fue introducida por Ehlers y Kundt en 1962. Para relacionar la definición de Brinkmann con esta, tomemos${\displaystyle k=\partial _ {v}}$, el vector de coordenadas ortogonal a las hipersuperficies${\displaystyle v=v_{0}}$. En la notación de gimnasia de índices para ecuaciones tensoriales, la condición en${\displaystyle k}$se puede escribir${\displaystyle k_{a;b}=0}$.

Ninguna de estas definiciones menciona ninguna ecuación de campo; de hecho, son completamente independientes de la física . Las ecuaciones de Einstein en el vacío son muy simples para ondas pp, y de hecho lineales: la métrica${\displaystyle ds^{2}=H(u,x,y)\,du^{2}+2\,du\,dv+dx^{2}+dy^{2}}$obedece estas ecuaciones si y solo si${\displaystyle H_{xx}+H_{yy}=0}$Pero la definición de un espaciotiempo de onda pp no ​​impone esta ecuación, por lo que es puramente matemática y pertenece al estudio de la geometría pseudoriemanniana . En la siguiente sección, abordaremos las interpretaciones físicas de los espaciotiempos de onda pp.

Ehlers y Kundt proporcionaron varias caracterizaciones más sin coordenadas, entre ellas:

• Una variedad lorentziana es una onda pp si y solo si admite un subgrupo uniparamétrico de isometrías con órbitas nulas y cuyo tensor de curvatura tiene valores propios nulos.
• Una variedad lorentziana con curvatura no nula es una onda pp (no trivial) si y solo si admite un bivector covariante constante . (En ese caso, este bivector es un bivector nulo).

Es un hecho puramente matemático que el polinomio característico del tensor de Einstein de cualquier espaciotiempo de onda pp se anula idénticamente. De forma equivalente, podemos encontrar una tétrada nula compleja de Newman-Penrose tal que los escalares de Ricci-NP${\displaystyle \Phi _{ij}}$(que describen cualquier materia o campos no gravitacionales que puedan estar presentes en un espaciotiempo) y los escalares de Weyl-NP${\displaystyle \Psi _{i}}$(que describen cualquier campo gravitatorio que pueda estar presente) cada uno tiene solo un componente no nulo. Específicamente, con respecto a la tétrada NP

${\displaystyle {\vec {\ell }}=\partial _{u}-H/2\,\partial _{v}}$

${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _ {v}}$

${\displaystyle {\vec {m}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\left(\partial _{x}+i\,\partial _{y}\right)}$

El único componente no nulo del espinor de Ricci es

${\displaystyle \Phi _{00}={\frac {1}{4}}\,\left(H_{xx}+H_{yy}\right)}$

y el único componente no nulo del espinor de Weyl es

${\displaystyle \Psi _{0}={\frac {1}{4}}\,\left(\left(H_{xx}-H_{yy}\right)+2i\,H_{xy}\right).}$

Esto significa que cualquier espaciotiempo de onda pp puede interpretarse, en el contexto de la relatividad general, como una solución de polvo nulo . Además, el tensor de Weyl siempre tiene el tipo Petrov N , como puede verificarse utilizando el criterio de Bel .

En otras palabras, las ondas pp modelan varios tipos de radiación clásica y sin masa que viajan a la velocidad local de la luz . Esta radiación puede ser gravitacional, electromagnética, de fermiones de Weyl o algún tipo hipotético de radiación sin masa distinto de estos tres, o cualquier combinación de ellos. Toda esta radiación viaja en la misma dirección, y el vector nulo${\displaystyle k=\partial _ {v}}$desempeña el papel de un vector de onda .

Lamentablemente, la terminología relativa a las ondas pp, si bien es bastante estándar, resulta muy confusa y tiende a generar malentendidos.

En cualquier espaciotiempo de onda pp, el campo vectorial covariante constante${\displaystyle k}$siempre tiene escalares ópticos idénticamente nulos . Por lo tanto, las ondas pp pertenecen a la clase de Kundt (la clase de variedades lorentzianas que admiten una congruencia nula con escalares ópticos nulos).

En sentido contrario, las ondas pp incluyen varios casos especiales importantes.

A partir de la forma del espinor de Ricci dada en la sección anterior, es inmediatamente evidente que un espaciotiempo de onda pp (escrito en el diagrama de Brinkmann) es una solución de vacío si y solo si${\displaystyle H}$es una función armónica (con respecto a las coordenadas espaciales)${\displaystyle x,y}$Físicamente, estos representan radiación puramente gravitacional que se propaga a lo largo de los rayos nulos.${\displaystyle \partial _{v}}$.

Ehlers y Kundt y Sippel y Gönner han clasificado los espaciotiempos de onda pp del vacío por su grupo de autometría , o grupo de autoisometrías . Este es siempre un grupo de Lie , y como de costumbre es más fácil clasificar las álgebras de Lie subyacentes de los campos vectoriales de Killing . Resulta que el espaciotiempo de onda pp más general tiene solo un campo vectorial de Killing, la congruencia geodésica nula.${\displaystyle k=\partial _ {v}}$Sin embargo, para diversas formas especiales de${\displaystyle H}$, existen campos vectoriales de eliminación adicionales.

La clase más importante de ondas pp particularmente simétricas son los espaciotiempos de ondas planas , que fueron estudiados por primera vez por Baldwin y Jeffery. Una onda plana es una onda pp en la que${\displaystyle H}$es cuadrática y, por lo tanto, puede transformarse a la forma simple.

${\displaystyle H(u,x,y)=a(u)\,(x^{2}-y^{2})+2\,b(u)\,xy+c(u)\,(x^{2}+y^{2})}$

Aquí,${\displaystyle a,b,c}$son funciones suaves arbitrarias de${\displaystyle u}$. Físicamente hablando,${\displaystyle a,b}$describir los perfiles de onda de los dos modos de polarización linealmente independientes de la radiación gravitacional que pueden estar presentes, mientras que${\displaystyle c}$describe el perfil de onda de cualquier radiación no gravitacional. Si${\displaystyle c=0}$Tenemos las ondas planas del vacío, que a menudo se denominan ondas gravitacionales planas .

De forma equivalente, una onda plana es una onda pp con al menos un álgebra de Lie pentadimensional de campos vectoriales de Killing.${\displaystyle X}$, incluido${\displaystyle X=\partial _{v}}$y cuatro más que tienen la forma

${\displaystyle X={\frac {\partial }{\partial u}}(px+qy)\,\partial _{v}+p\,\partial _{x}+q\,\partial _{y}}$

dónde

${\displaystyle {\ddot {p}}=-ap+bq-cp}$

${\displaystyle {\ddot {q}}=aq-bp-cq.}$

Intuitivamente, la diferencia radica en que los frentes de onda de las ondas planas son verdaderamente planos ; todos los puntos de un frente de onda bidimensional dado son equivalentes. Esto no es del todo cierto para las ondas pp más generales. Las ondas planas son importantes por muchas razones; por mencionar solo una, son esenciales para el fascinante tema de las ondas planas que colisionan .

Una subclase más general consiste en las ondas pp axisimétricas , que en general poseen un álgebra de Lie abeliana bidimensional de campos vectoriales de Killing. Estas también se denominan ondas planas SG2 , ya que constituyen el segundo tipo en la clasificación de simetría de Sippel y Gönner. Un caso límite de ciertas ondas pp axisimétricas da lugar al ultraimpulso de Aichelburg/Sexl, que modela un encuentro ultrarrelativista con un objeto aislado de simetría esférica.

(Véase también el artículo sobre espaciotiempos de ondas planas para un análisis de casos especiales de ondas planas físicamente importantes).

J. D. Steele introdujo la noción de espaciotiempos de onda pp generalizados . Se trata de espaciotiempos lorentzianos no planos que admiten un campo bivector nulo, covariante y constante , autodual . El nombre puede resultar engañoso, ya que, como señala Steele, son nominalmente un caso especial de ondas pp no ​​planas en el sentido definido anteriormente. Son solo una generalización en el sentido de que, si bien se conserva la forma métrica de Brinkmann, no son necesariamente las soluciones de vacío estudiadas por Ehlers y Kundt, Sippel y Gönner, etc.

Otra clase especial importante de ondas pp son las ondas sándwich . Estas tienen curvatura nula excepto en cierto rango.${\displaystyle u_{1}<u<u_{2}}$y representan una onda gravitacional que se mueve a través de un fondo de espaciotiempo de Minkowski .

Dado que constituyen una clase muy simple y natural de variedades lorentzianas, definidas en términos de una congruencia nula, no es muy sorprendente que también sean importantes en otras teorías clásicas relativistas de campos de la gravitación . En particular, las ondas pp son soluciones exactas en la teoría de Brans-Dicke , varias teorías de curvatura superior y teorías de Kaluza-Klein , y ciertas teorías de gravitación de JW Moffat . De hecho, BOJ Tupper ha demostrado que las soluciones de vacío comunes en la relatividad general y en la teoría de Brans/Dicke son precisamente las ondas pp de vacío (pero la teoría de Brans/Dicke admite otras soluciones ondulatorias). Hans-Jürgen Schmidt ha reformulado la teoría de las ondas pp (cuatridimensionales) en términos de una teoría de gravedad de dilatón métrico bidimensional .

Las ondas pp también desempeñan un papel importante en la búsqueda de la gravedad cuántica , ya que, como ha señalado Gary Gibbons , todas las correcciones cuánticas de términos de bucle se anulan idénticamente para cualquier espaciotiempo de onda pp. Esto significa que el estudio de las cuantizaciones a nivel de árbol de los espaciotiempos de onda pp ofrece una visión del mundo aún desconocido de la gravedad cuántica.

Es natural generalizar las ondas pp a dimensiones superiores, donde poseen propiedades similares a las que hemos analizado. CM Hull ha demostrado que dichas ondas pp de dimensiones superiores son componentes esenciales para la supergravedad de once dimensiones .

Las ondas PP poseen numerosas propiedades sorprendentes. Algunas de sus propiedades matemáticas más abstractas ya se han mencionado. En esta sección se presentan algunas propiedades adicionales.

Consideremos un observador inercial en el espacio-tiempo de Minkowski que se encuentra con una onda plana tipo sándwich. Dicho observador experimentará algunos efectos ópticos interesantes. Si mira los frentes de onda entrantes en galaxias distantes que ya se han encontrado con la onda, verá sus imágenes sin distorsión. Esto debe ser así, ya que no puede saber que la onda se acerca hasta que llega a su ubicación, pues viaja a la velocidad de la luz. Sin embargo, esto puede confirmarse mediante el cálculo directo de los escalares ópticos de la congruencia nula.${\displaystyle \partial _{v}}$Supongamos ahora que, tras el paso de la onda, nuestro observador da media vuelta y mira a través de los frentes de onda salientes hacia galaxias distantes a las que la onda aún no ha llegado. Ahora ve sus imágenes ópticas distorsionadas y magnificadas (o desmagnificadas) de forma dependiente del tiempo. Si la onda resulta ser una onda plana gravitacional polarizada , verá imágenes circulares que se comprimen horizontalmente y se expanden verticalmente, y viceversa. Esto muestra directamente el efecto característico de una onda gravitacional sobre la luz en la relatividad general.

El efecto de una onda plana gravitacional polarizada que pasa sobre las posiciones relativas de una nube de partículas de prueba (inicialmente estáticas) será cualitativamente muy similar. Cabe mencionar que, en general, el movimiento de las partículas de prueba en los espaciotiempos de onda pp puede exhibir caos .

Es bien sabido que la ecuación de campo de Einstein no es lineal . Esto implica que si se tienen dos soluciones exactas, casi nunca hay forma de superponerlas linealmente . Las ondas PP constituyen una rara excepción a esta regla: si se tienen dos ondas PP que comparten el mismo vector nulo covariante constante (la misma congruencia nula geodésica, es decir, el mismo campo de vector de onda), con funciones métricas${\displaystyle H_{1},H_{2}}$respectivamente, entonces${\displaystyle H_{1}+H_{2}}$proporciona una tercera solución exacta.

Roger Penrose observó que, cerca de una geodésica nula, todo espaciotiempo lorentziano se asemeja a una onda plana . Para demostrarlo, utilizó técnicas de la geometría algebraica para "expandir" el espaciotiempo, de modo que la geodésica nula dada se convierte en la congruencia geodésica nula covariante constante de una onda plana. Esta construcción se conoce como límite de Penrose .

Penrose también señaló que en un espaciotiempo de onda pp, todos los invariantes escalares polinomiales del tensor de Riemann se anulan idénticamente , pero la curvatura casi nunca es cero. Esto se debe a que en cuatro dimensiones todas las ondas pp pertenecen a la clase de espaciotiempos VSI . Esta afirmación no se cumple en dimensiones superiores, ya que existen ondas pp de dimensión superior de tipo algebraico II con invariantes escalares polinomiales que no se anulan . Si se considera el tensor de Riemann como un tensor de segundo rango que actúa sobre bivectores, la anulación de los invariantes es análoga al hecho de que un vector nulo distinto de cero tiene una longitud al cuadrado nula.

Penrose fue también el primero en comprender la extraña naturaleza de la causalidad en los espaciotiempos de ondas sándwich pp. Demostró que algunas o todas las geodésicas nulas emitidas en un evento dado se reenfocarán en un evento posterior (o una serie de eventos). Los detalles dependen de si la onda es puramente gravitacional, puramente electromagnética o ninguna de las dos.

Cada onda pp admite múltiples diagramas de Brinkmann. Estos se relacionan mediante transformaciones de coordenadas , que en este contexto pueden considerarse transformaciones de gauge . En el caso de ondas planas, estas transformaciones de gauge permiten considerar siempre que dos ondas planas que colisionan tienen frentes de onda paralelos , por lo que se puede decir que colisionan frontalmente . Este es un resultado exacto en la relatividad general totalmente no lineal, análogo a un resultado similar sobre ondas planas electromagnéticas , tal como se trata en la relatividad especial .

Existen numerosos ejemplos explícitos destacables de ondas pp. ("Explícito" significa que las funciones métricas pueden expresarse en términos de funciones elementales o, quizás, de funciones especiales bien conocidas, como las funciones de Mathieu ).

Ejemplos explícitos de ondas pp axisimétricas incluyen:

• El ultraimpulso Aichelburg-Sexl es una onda plana impulsiva que modela la experiencia física de un observador que pasa zumbando junto a un objeto gravitatorio de simetría esférica a casi la velocidad de la luz.
• El haz de Bonnor es una onda plana axisimétrica que modela el campo gravitatorio de un haz infinitamente largo de radiación electromagnética incoherente.

Ejemplos explícitos de espaciotiempos de ondas planas incluyen:

• soluciones exactas de onda plana gravitacional monocromática y onda plana electromagnética monocromática , que generalizan soluciones bien conocidas de la aproximación de campo débil ,
• soluciones exactas del campo gravitatorio de un fermión de Weyl ,
• la onda plana generadora de Schwarzschild , una onda plana gravitacional que, si colisiona frontalmente con una gemela, producirá en la zona de interacción de la solución de onda plana resultante de la colisión una región que es localmente isométrica a parte del interior de un agujero negro de Schwarzschild , lo que permite una mirada clásica a la geometría local dentro del horizonte de sucesos ,
• la onda plana electromagnética uniforme ; este espaciotiempo está foliado por hipercortes espaciales que son isométricos a${\displaystyle S^{3}}$,
• La onda de la muerte es una onda plana gravitacional que exhibe una singularidad de curvatura nula no escalar fuerte , que se propaga a través de un espaciotiempo inicialmente plano, destruyendo progresivamente el universo,
• ondas planas homogéneas , u ondas planas SG11 (tipo 11 en la clasificación de simetría de Sippel y Gönner), que exhiben una singularidad de curvatura nula no escalar débil y que surgen como los límites de Penrose de una geodésica nula apropiada que se aproxima a la singularidad de curvatura que está presente en muchas soluciones físicamente importantes, incluidos los agujeros negros de Schwarzschild y los modelos cosmológicos FRW .

• Onda gravitacional
• Formalismo de Newman-Penrose

• "Sobre ondas PP generalizadas" (PDF) . JD Steele . Consultado el 12 de junio de 2005 .
• Hall, Graham (2004). Simetrías y estructura de curvatura en la relatividad general (World Scientific Lecture Notes in Physics) . Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-02-1051-5.
• Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius y Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7.Véase la Sección 24.5
• Sippel, R. y Gönner, H. (1986). "Clases de simetría de ondas pp". General Rel. gravedad . 12 : 1129-1243 .
• Penrose, Roger (1976). "Cualquier espaciotiempo tiene una onda plana como límite". Geometría diferencial y relatividad . págs. 271–275 . 
• Tupper, BOJ (1974). "Soluciones comunes de las teorías de Einstein y Brans-Dicke". Int. J. Theor. Phys . 11 (5): 353– 356. Bibcode : 1974IJTP...11..353T . doi : 10.1007/BF01808090 . S2CID 122456995 . 
• Penrose, Roger (1965). "Una propiedad notable de las ondas planas en la relatividad general". Rev. Mod. Phys . 37 (1): 215– 220. Bibcode : 1965RvMP...37..215P . doi : 10.1103/RevModPhys.37.215 .
• Ehlers, Jürgen y Kundt, Wolfgang (1962). "Soluciones exactas de las ecuaciones del campo gravitatorio". Gravitación: una introducción a la investigación actual . págs. 49–101 . Véase la Sección 2-5
• Baldwin, OR y Jeffery, GB (1926). "La teoría de la relatividad de las ondas planas" . Proc. R. Soc. Lond. A. 111 ( 757): 95. Bibcode : 1926RSPSA.111...95B . doi : 10.1098/rspa.1926.0051 .
• HW Brinkmann (1925). "Espacios de Einstein que se mapean conformemente entre sí". Math. Ann . 18 : 119–145 . doi : 10.1007/BF01208647 . S2CID 121619009 . 
• Yi-Fei Chen y JX Lu (2004), " Generación de una brana M2 dinámica a partir de supergravitones en un fondo de ondas pp "
• Bum-Hoon Lee (2005), " D-branas en el fondo de ondas pp "
• H.-J. Schmidt (1998). "Una representación bidimensional de ondas gravitacionales de cuatro dimensiones," Int. J. Mod. Phys. D7 (1998) 215–224 (arXiv:gr-qc/9712034).
• Albert Einstein , "Sobre las ondas gravitacionales", J. Franklin Inst. 223 (1937).

43–54.

• Nathan Rosen , "Ondas polarizadas planas en la teoría general de la relatividad", Phys. Z. Sowjetunion 12 (1937).
• Cianci, R.; Fabbri, L.; Vignolo S. (2015). "Soluciones exactas para fermiones de Weyl con gravedad" . Eur. Phys. J. C. 75 ( 10): 478. arXiv : 1507.06439 . Bibcode : 2015EPJC...75..478C . doi : 10.1140/epjc/s10052-015-3698-9 . S2CID 119618017 . 

• Onda Pp en arxiv.org