Número de Brjuno

En matemáticas , un número de Brjuno (a veces escrito Bruno o Bryuno ) es un tipo especial de número irracional que recibe su nombre del matemático ruso Alexander Bruno , quien los introdujo en Brjuno (1971) .

Un número irracional${\displaystyle \alpha }$Se denomina número de Brjuno cuando la suma infinita

${\displaystyle B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}$

converge a un número finito.

Aquí:

• ${\displaystyle q_{n}}$es el denominador de la n- ésima convergente${\displaystyle {\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}}$de la expansión fraccionaria continua de${\displaystyle \alpha }$.
• ${\displaystyle B}$es una función de Brjuno

Consideremos la proporción áurea 𝜙 :

${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}.}$

Entonces la n -ésima convergente${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$se puede encontrar a través de la relación de recurrencia : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}p_{n}=p_{n-1}+p_{n-2}&{\text{ con }}p_{0}=1,p_{1}=2,\\q_{n}=q_{n-1}+q_{n-2}&{\text{ con }}q_{0}=q_{1}=1.\end{cases}}}$

Es fácil ver que${\displaystyle q_{n+1}<q_{n}^{2}}$para${\displaystyle n\geq 2}$, como resultado

${\displaystyle {\frac {\log {q_{n+1}}}{q_{n}}}<{\frac {2\log {q_{n}}}{q_{n}}}{\text{ para }}n\geq 2}$

y puesto que se puede demostrar que${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n}}{q_{n}}}<\infty }$Para cualquier número irracional, 𝜙 es un número de Brjuno. Además, se puede utilizar un método similar para demostrar que cualquier número irracional cuya expansión fraccionaria continua termina con una secuencia de 1 es un número de Brjuno. ^{[ 2 ]}

Por el contrario, consideremos la constante${\displaystyle \alpha =[a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ]}$con${\displaystyle (a_{n})}$definido como

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}10&{\text{ si }}n=0,1,\\q_{n}^{q_{n-1}}&{\text{ si }}n\geq 2.\end{cases}}}$

Entonces${\displaystyle q_{n+1}>q_{n}^{\frac {2q_{n}}{q_{n-1}}}}$, por lo tanto, según la prueba de la razón, tenemos que${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}$diverge.${\displaystyle \alpha }$Por lo tanto, no es un número de Brjuno. ^{[ 3 ]}

Los números de Brjuno son importantes en los problemas analíticos unidimensionales de divisores pequeños. Brjuno mejoró la condición diofántica en el teorema de Siegel al demostrar que los gérmenes de funciones holomorfas con parte lineal${\displaystyle e^{2\pi i\alpha }}$son linealizables si${\displaystyle \alpha }$es un número de Brjuno. Jean-Christophe Yoccoz ( 1995 ) demostró en 1987 que la condición de Brjuno es precisa; más precisamente, demostró que para los polinomios cuadráticos, esta condición no solo es suficiente sino también necesaria para la linealizabilidad. 

Intuitivamente, estos números no presentan grandes "saltos" en la secuencia de convergentes, donde el denominador de la convergente ( n +1 ) sea exponencialmente mayor que el de la convergente n . Por lo tanto, a diferencia de los números de Liouville , no poseen aproximaciones diofánticas inusualmente precisas mediante números racionales .

• Medida de irracionalidad
• constante de Markov

• Brjuno, Alexander D. (1971), "Forma analítica de ecuaciones diferenciales. I, II", Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva , 25 : 119– 262, ISSN 0134-8663 , SEÑOR 0377192  
• Lee, Eileen F. (Primavera de 1999), "La estructura y topología de los números de Brjuno" (PDF) , Actas de la Conferencia de Topología y Dinámica de 1999 (Salt Lake City, UT) , Topology Proceedings, vol.  24, págs. 189–201 , MR 1802686  
• Marmi, Stefano; Moussa, Pierre; Yoccoz, Jean-Christophe (2001), "Funciones de Brjuno complejas", Journal of the American Mathematical Society , 14 (4): 783–841 , doi : 10.1090/S0894-0347-01-00371-X , ISSN 0894-0347 , MR 1839917  
• Yoccoz, Jean-Christophe (1995), "Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques", Petits diviseurs en dimension 1 , Astérisque , vol.  231, págs. 3– 88, SEÑOR 1367353