constante de Markov

En teoría de números , específicamente en la teoría de aproximación diofántica , la constante de Markov${\displaystyle M(\alpha )}$de un número irracional${\displaystyle \alpha }$es el factor para el cual se puede mejorar el teorema de aproximación de Dirichlet para${\displaystyle \alpha }$.

Ciertos números pueden aproximarse bien mediante ciertos números racionales ; específicamente, las convergentes de la fracción continua son las mejores aproximaciones mediante números racionales con denominadores menores que un cierto límite. Por ejemplo, la aproximación${\displaystyle \pi \approx {\frac {22}{7}}}$es la mejor aproximación racional entre los números racionales con denominador hasta 56. ^{[ 1 ]} Además, algunos números se pueden aproximar más fácilmente que otros. Dirichlet demostró en 1840 que los números menos fácilmente aproximables son los números racionales , en el sentido de que para cada número irracional existen infinitos números racionales que lo aproximan con cierto grado de precisión, mientras que para los números racionales solo existen un número finito de tales aproximaciones racionales . Específicamente, demostró que para cualquier número${\displaystyle \alpha }$Existen infinitos pares de números primos relativos.${\displaystyle (p,q)}$de tal manera que${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$si y solo si${\displaystyle \alpha }$es irracional.

51 años después, Hurwitz mejoró aún más el teorema de aproximación de Dirichlet por un factor de √ 5 , ^{[ 2 ]} mejorando el lado derecho de${\displaystyle 1/q^{2}}$a${\displaystyle 1/{\sqrt {5}}q^{2}}$para números irracionales:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$

El resultado anterior es el mejor posible, ya que la proporción áurea${\displaystyle \phi }$es irracional pero si reemplazamos √ 5 por cualquier número mayor en la expresión anterior, entonces solo podremos encontrar un número finito de números racionales que satisfagan la desigualdad para${\displaystyle \alpha =\phi }$.

Además, demostró que entre los números irracionales, los números menos fácilmente aproximables son aquellos de la forma${\displaystyle {\frac {a\phi +b}{c\phi +d}}}$dónde${\displaystyle \phi }$es la proporción áurea ,${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$y${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$. ^{[ 3 ]} (Se dice que estos números son equivalentes a${\displaystyle \phi }$.) Si omitimos estos números, tal como omitimos los números racionales en el teorema de Dirichlet, entonces podemos aumentar el número √ 5 a 2 √ 2 . Nuevamente, esta nueva cota es la mejor posible en el nuevo contexto, pero esta vez el número √ 2 , y los números equivalentes a él, limitan la cota. ^{[ 3 ]} Si no permitimos esos números, entonces podemos aumentar nuevamente el número del lado derecho de la desigualdad de 2 √ 2 a √ 221 /5, ^{[ 3 ]} para el cual los números equivalentes a${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {221}}}{10}}}$Limitar el límite. Los números generados muestran qué tan bien se pueden aproximar estos números; esto puede considerarse una propiedad de los números reales.

Sin embargo, en lugar de considerar el teorema de Hurwitz (y las extensiones mencionadas anteriormente) como una propiedad de los números reales excepto ciertos números especiales, podemos considerarlo como una propiedad de cada número excluido. Por lo tanto, el teorema puede interpretarse como "números equivalentes a${\displaystyle \phi }$, √ 2 o${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {221}}}{10}}}$se encuentran entre los números irracionales menos fácilmente aproximables." Esto nos lleva a considerar con qué precisión cada número puede ser aproximado por los racionales, específicamente, en cuánto se puede aumentar el factor en el teorema de aproximación de Dirichlet desde 1 para ese número específico .

Matemáticamente, la constante de Markov de los irracionales${\displaystyle \alpha }$se define como${\displaystyle M(\alpha )=\sup \left\{\lambda \in \mathbb {R}$ :\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{\lambda q^{2}}}{\text{ tiene infinitas soluciones para }}p,q\in \mathbb {N} \right\}} . ^{[ 4 ]} Si el conjunto no tiene un límite superior, definimos${\displaystyle M(\alpha )=\infty }$.

Alternativamente, puede definirse como${\displaystyle \limsup _{k\to \infty }{\frac {1}{k^{2}\left\vert \alpha -{\frac {f(k)}{k}}\right\vert }}}$dónde${\displaystyle f(k)}$se define como el entero más cercano a${\displaystyle \alpha k}$.

El teorema de Hurwitz implica que${\displaystyle M(\alpha )\geq {\sqrt {5}}}$a pesar de${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$.

Si${\displaystyle \alpha =[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$es su continua expansión fraccionaria entonces${\displaystyle M(\alpha )=\limsup _{k\to \infty }{([a_{k+1};a_{k+2},a_{k+3},...]+[0;a_{k},a_{k-1},...,a_{2},a_{1}])}}$. ^{[ 4 ]}

De lo anterior, si${\displaystyle p=\limsup _ {k\to \infty} {a_ {k}}}$entonces${\displaystyle p<M(\alpha )<p+2}$Esto implica que${\displaystyle M(\alpha )=\infty }$si y solo si${\displaystyle (a_{k})}$no está acotado . En particular,${\displaystyle M(\alpha )<\infty }$si${\displaystyle \alpha }$es un número irracional cuadrático . De hecho, el límite inferior para${\displaystyle M(\alpha )}$puede fortalecerse para${\displaystyle M(\alpha )\geq {\sqrt {p^{2}+4}}}$, lo más ajustado posible. ^{[ 5 ]}

Los valores de${\displaystyle \alpha }$para qué${\displaystyle M(\alpha )<3}$son familias de irracionalidades cuadráticas que tienen el mismo período (pero en diferentes desplazamientos), y los valores de${\displaystyle M(\alpha )}$para estos${\displaystyle \alpha }$están limitados a los números de Lagrange . Hay una cantidad incontable de números para los cuales${\displaystyle M(\alpha )=3}$, ninguno de los cuales tiene el mismo final; por ejemplo, para cada número${\displaystyle \alpha =[\underbrace {1;1,...,1} _{r_{1}},2,2,\underbrace {1,1,...,1} _{r_{2}},2,2,\underbrace {1,1,...,1} _{r_{3}},2,2,...]}$dónde${\displaystyle r_{1}<r_{2}<r_{3}<\cdots }$,${\displaystyle M(\alpha )=3}$. ^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle \beta ={\frac {p\alpha +q}{r\alpha +s}}}$dónde${\displaystyle p,q,r,s\in \mathbb {Z} }$entonces${\displaystyle M(\beta )\geq {\frac {M(\alpha )}{\left\vert ps-rq\right\vert }}}$. ^{[ 6 ]} En particular si${\displaystyle \left\vert ps-rq\right\vert =1}$entonces${\displaystyle M(\beta )=M(\alpha )}$. ^{[ 7 ]}

El conjunto${\displaystyle L=\{M(\alpha )\mid \alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \}}$forma el espectro de Lagrange . Contiene el intervalo${\displaystyle [F,\infty ]}$donde F es la constante de Freiman. ^{[ 7 ]} Por lo tanto, si${\displaystyle m>F\approx 4.52783}$entonces existe irracional${\displaystyle \alpha }$cuya constante de Markov es${\displaystyle m}$.

• Medida de irracionalidad
• número de Lagrange
• fracción continua
• espectro de Lagrange