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Grado de mapeo continuo

Un mapeo de grado dos de una esfera sobre sí misma. En topología , el grado de una aplicación continua entre dos variedades compactas orientadas de la misma dimensión es un núme...

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Un mapeo de grado dos de una esfera sobre sí misma.

En topología , el grado de una aplicación continua entre dos variedades compactas orientadas de la misma dimensión es un número que representa la cantidad de veces que la variedad dominio envuelve la variedad imagen bajo dicha aplicación. El grado siempre es un número entero , pero puede ser positivo o negativo dependiendo de las orientaciones.

El grado de una aplicación entre variedades generales fue definido por primera vez por Brouwer , [ 1 ] quien demostró que el grado es invariante bajo homotopía y lo utilizó para probar el teorema del punto fijo de Brouwer . Existían formas menos generales del concepto antes de Brouwer, como el número de vueltas y la característica de Kronecker (o integral de Kronecker ). [ 2 ]

En matemáticas modernas, el grado de una aplicación juega un papel importante en topología y geometría . En física , el grado de una aplicación continua (por ejemplo, una aplicación del espacio a un conjunto de parámetros de orden) es un ejemplo de número cuántico topológico .

Definiciones del grado

De S n a S n

El caso más simple e importante es el grado de una aplicación continua desde elnorte{\displaystyle n}-esferaSnorte{\displaystyle S^{n}}a sí mismo (en el casonorte=1{\displaystyle n=1}(esto se denomina número de vueltas):

DejarF:Snorte→Snorte{\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{n}}ser un mapa continuo. EntoncesF{\displaystyle f}induce un homomorfismo de empuje hacia adelanteF∗:Hnorte(Snorte)→Hnorte(Snorte){\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)}, dóndeHnorte(⋅){\displaystyle H_{n}\left(\cdot \right)}es elnorte{\displaystyle n}grupo de homología . Considerando el hecho de queHnorte(Snorte)≅Z{\displaystyle H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z} }, vemos queF∗{\displaystyle f_{*}}debe ser de la formaF∗:incógnita↦αincógnita{\displaystyle f_{*}\colon x\mapsto \alpha x}para algún fijoα∈Z{\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }. Esteα{\displaystyle \alpha }entonces se llama grado deF{\displaystyle f}.

Entre colectores

Topología algebraica

Sean X e Y variedades m -dimensionales cerradas, conexas y orientadas . La dualidad de Poincaré implica que el grupo de homología superior de la variedad es isomorfo a Z. Elegir una orientación significa elegir un generador del grupo de homología superior.

Una aplicación continua f  : X → Y induce un homomorfismo f ∗ de H m ( X ) a H m ( Y ). Sea [ X ], respectivamente [ Y ] el generador elegido de H m ( X ), respectivamente H m ( Y ) (o la clase fundamental de X , Y ). Entonces el grado de f se define como f ∗ ([ X ]). En otras palabras,

F∗([incógnita])=grados⁡(F)[Y].{\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}

Si y en Y y f −1 ( y ) es un conjunto finito, el grado de f se puede calcular considerando los m -ésimos grupos de homología local de X en cada punto de f −1 ( y ). Es decir, siF−1(y)={incógnita1,…,incógnitametro}{\displaystyle f^{-1}(y)=\{x_{1},\dots ,x_{m}\}}, entonces

grados⁡(F)=∑i=1metrogrados⁡(F|incógnitai).{\displaystyle \deg(f)=\sum _{i=1}^{m}\deg(f|_{x_{i}})\,.}

Topología diferencial

En el lenguaje de la topología diferencial , el grado de una aplicación suave se puede definir de la siguiente manera: Si f es una aplicación suave cuyo dominio es una variedad compacta y p es un valor regular de f , consideremos el conjunto finito

F−1(pag)={incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte}.{\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.}

Siendo p un valor regular, en un entorno de cada x i la aplicación f es un difeomorfismo local . Los difeomorfismos pueden preservar o invertir la orientación. Sea r el número de puntos x i en los que f preserva la orientación y s el número de puntos en los que f invierte la orientación. Cuando el codominio de f es conexo, el número r  − s es independiente de la elección de p (¡aunque n no lo es!) y se define el grado de f como r − s . Esta definición coincide con la definición topológica algebraica anterior.   

La misma definición funciona para variedades compactas con frontera , pero entonces f debería enviar la frontera de X a la frontera de Y.

También se puede definir el grado módulo 2 (deg 2 ( f )) de la misma manera que antes, pero tomando la clase fundamental en la homología Z 2. En este caso, deg 2 ( f ) es un elemento de Z 2 (el campo con dos elementos ), las variedades no necesitan ser orientables y si n es el número de preimágenes de p como antes, entonces deg 2 ( f ) es n módulo 2.

La integración de formas diferenciales da como resultado un emparejamiento entre la homología singular (C ∞ -) y la cohomología de de Rham :⟨do,ω⟩=∫doω{\textstyle \langle c,\omega \rangle =\int _ {c}\omega}, dóndedo{\displaystyle c}es una clase de homología representada por un ciclodo{\displaystyle c}yω{\displaystyle \omega }una forma cerrada que representa una clase de cohomología de de Rham. Para una aplicación suave f : X → Y entre m -variedades orientables, se tiene

⟨F∗[do],[ω]⟩=⟨[do],F∗[ω]⟩,{\displaystyle \left\langle f_{*}[c],[\omega ]\right\rangle =\left\langle [c],f^{*}[\omega ]\right\rangle ,}

donde f ∗ y f ∗ son mapas inducidos en cadenas y formas respectivamente. Dado que f ∗ [ X ] = deg f · [ Y ], tenemos

grados⁡F∫Yω=∫incógnitaF∗ω{\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}

para cualquier m -forma ω en Y .

Mapas de la región cerrada

SiΩ⊂Rnorte{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}es una región delimitada ,F:Ω¯→Rnorte{\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}liso,pag{\displaystyle p}un valor regular deF{\displaystyle f}ypag∉F(∂Ω){\displaystyle p\notin f(\partial \Omega )}, entonces el gradogrados⁡(F,Ω,pag){\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)}se define mediante la fórmula

grados⁡(F,Ω,pag):=∑y∈F−1(pag)sgn⁡det(DF(y)){\displaystyle \deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(Df(y))}

dóndeDF(y){\displaystyle Df(y)}es la matriz jacobiana deF{\displaystyle f}eny{\displaystyle y}.

Esta definición del grado puede extenderse naturalmente a valores no regulares.pag{\displaystyle p}de tal manera quegrados⁡(F,Ω,pag)=grados⁡(F,Ω,pag′){\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg \left(f,\Omega ,p'\right)}dóndepag′{\displaystyle p'}es un punto cercano apag{\displaystyle p}. El grado topológico también se puede calcular utilizando una integral de superficie sobre el límite deΩ{\displaystyle \Omega }, [ 3 ] y siΩ{\displaystyle \Omega }es un n - politopo conexo , entonces el grado puede expresarse como una suma de determinantes sobre una cierta subdivisión de sus facetas . [ 4 ]

El grado satisface las siguientes propiedades: [ 5 ]

  • Sigrados⁡(F,Ω¯,pag)≠0{\displaystyle \deg \left(f,{\bar {\Omega }},p\right)\neq 0}, entonces existeincógnita∈Ω{\displaystyle x\in \Omega }de tal manera queF(incógnita)=pag{\displaystyle f(x)=p}.
  • grados⁡(identificación,Ω,y)=1{\displaystyle \deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1}a pesar dey∈Ω{\displaystyle y\in \Omega }.
  • Propiedad de descomposición:grados⁡(F,Ω,y)=grados⁡(F,Ω1,y)+grados⁡(F,Ω2,y),{\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y),}siΩ1,Ω2{\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}son partes disjuntas deΩ=Ω1∪Ω2{\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}yy∉F(Ω¯∖(Ω1∪Ω2)){\displaystyle y\not \in f{\left({\overline {\Omega }}\setminus \left(\Omega _{1}\cup \Omega _{2}\right)\right)}}.
  • Invariancia homotópica : SiF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}son homotópicamente equivalentes a través de una homotopíaF(t){\displaystyle F(t)}de tal manera queF(0)=F,F(1)=gramo{\displaystyle F(0)=f,\,F(1)=g}ypag∉F(t)(∂Ω){\displaystyle p\notin F(t)(\partial \Omega )}, entoncesgrados⁡(F,Ω,pag)=grados⁡(gramo,Ω,pag){\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)}.
  • La funciónpag↦grados⁡(F,Ω,pag){\displaystyle p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)}es localmente constante enRnorte−F(∂Ω){\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )}.

Estas propiedades caracterizan el grado de manera única y el grado puede definirse mediante ellas de forma axiomática.

De manera similar, podríamos definir el grado de un mapa entre variedades compactas orientadas con frontera .

Propiedades

El grado de una aplicación es un invariante de homotopía ; además, para aplicaciones continuas de la esfera en sí misma, es un invariante de homotopía completo , es decir, dos aplicacionesF,gramo:Snorte→Snorte{\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}son homotópicos si y solo sigrados⁡(F)=grados⁡(gramo){\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}.

En otras palabras, el grado es un isomorfismo entre[Snorte,Snorte]=πnorteSnorte{\displaystyle \left[S^{n},S^{n}\right]=\pi _{n}S^{n}}yZ{\displaystyle \mathbf {Z} }.

Además, el teorema de Hopf establece que para cualquiernorte{\displaystyle n}variedad cerrada orientada de dimensión M , dos mapasF,gramo:METRO→Snorte{\displaystyle f,g:M\to S^{n}}son homotópicos si y solo sigrados⁡(F)=grados⁡(gramo).{\displaystyle \deg(f)=\deg(g).}

Un automapaF:Snorte→Snorte{\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}de la n -esfera es extendible a un mapaF:Bnorte+1→Snorte{\displaystyle F:B_{n+1}\to S^{n}}de la n+1 -bola a la n -esfera si y solo sigrados⁡(F)=0{\displaystyle \deg(f)=0}. (Aquí la función F extiende f en el sentido de que f es la restricción de F aSnorte{\displaystyle S^{n}}.)

Calculando el grado

Existe un algoritmo para calcular el grado topológico deg( f , B , 0) de una función continua f desde una caja n -dimensional B (un producto de n intervalos) hastaRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}donde f se da en forma de expresiones aritméticas. [ 6 ] Una implementación del algoritmo está disponible en TopDeg , una herramienta de software para calcular el grado (LGPL-3).

Véase también

Notas

  1. ^ Brouwer, LEJ (1911). "Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten" . Annalen Matemáticas . 71 (1): 97– 115. doi : 10.1007/bf01456931 . S2CID 177796823 . 
  2. ↑ Siegberg, Hans Willi (1981). "Algunas observaciones históricas sobre la teoría del grado". The American Mathematical Monthly . 88 (2): 125– 139. doi : 10.2307/2321135 . JSTOR 2321135 . 
  3. ↑ Polymilis, C.; Servizi, G.; Turchetti, G.; Skokos, Ch.; Vrahatis, MN (mayo de 2003). "Localización de órbitas periódicas mediante la teoría del grado topológico". Libration Point Orbits and Applications : 665–676 . arXiv : nlin/0211044 . doi : 10.1142/9789812704849_0031 . ISBN 978-981-238-363-1.
  4. ^ Stynes, Martín (junio de 1979). "Una simplificación de la fórmula de grado topológico de Stenger" (PDF) . Matemática numérica . 33 (2): 147– 155. doi : 10.1007/BF01399550 . Consultado el 21 de septiembre de 2024 .
  5. ↑ Dancer, EN (2000). Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales . Springer-Verlag. págs. 185–225 . ISBN  3-540-64803-8.
  6. ↑ Franek, Peter; Ratschan, Stefan (2015). "Cálculo efectivo del grado topológico basado en aritmética de intervalos". Mathematics of Computation . 84 (293): 1265– 1290. arXiv : 1207.6331 . doi : 10.1090/S0025-5718-2014-02877-9 . ISSN 0025-5718 . S2CID 17291092 .  

Referencias

  • Flanders, H. (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Dover.
  • Hirsch, M. (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
  • Milnor, JW (1997). Topología desde el punto de vista diferenciable . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04833-8.
  • Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009). Mapping Degree Theory . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4915-6.