Teorema del punto fijo de Browder

El teorema del punto fijo de Browder es un refinamiento del teorema del punto fijo de Banach para espacios de Banach uniformemente convexos . Afirma que si${\displaystyle K}$es un conjunto cerrado, acotado, convexo y no vacío en un espacio de Banach uniformemente convexo y${\displaystyle f}$es un mapeo de${\displaystyle K}$en sí mismo de tal manera que${\displaystyle \|f(x)-f(y)\|\leq \|xy\|}$(es decir${\displaystyle f}$es no expansivo ), entonces${\displaystyle f}$tiene un punto fijo .

Tras la publicación en 1965 de dos versiones independientes del teorema por Felix Browder y por William Kirk , una nueva demostración de Michael Edelstein mostró que, en un espacio de Banach uniformemente convexo, toda secuencia iterativa ${\displaystyle f^{n}x_{0}}$de un mapa no expansivo${\displaystyle f}$ tiene un centro asintótico único, que es un punto fijo de${\displaystyle f}$. (Un centro asintótico de una secuencia)${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$Si existe, es un límite de los centros de Chebyshev.${\displaystyle c_{n}}$ para secuencias truncadas${\displaystyle (x_{k})_{k\geq n}}$.) Una propiedad más fuerte que el centro asintótico es el Delta-límite de Teck-Cheong Lim, que en el espacio uniformemente convexo coincide con el límite débil si el espacio tiene la propiedad Opial .

• Teoremas de punto fijo

• Felix E. Browder , Operadores no lineales no expansivos en un espacio de Banach. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 54 (1965) 1041–1044
• William A. Kirk , Un teorema de punto fijo para aplicaciones que no aumentan las distancias, Amer. Math. Monthly 72 (1965) 1004–1006.
• Michael Edelstein, La construcción de un centro asintótico con una propiedad de punto fijo, Bull. Amer. Math. Soc. 78 (1972), 206-208.