red browniana

En teoría de la probabilidad , la red browniana es una colección incontable de movimientos brownianos coalescentes unidimensionales , que parten de cada punto del espacio y el tiempo. Surge como el límite de escala espaciotemporal difusivo de una colección de caminatas aleatorias coalescentes , con una caminata que parte de cada punto de la red entera Z en cada instante.

Lo que ahora se conoce como la red browniana fue concebido por primera vez por Arratia en su tesis doctoral ^{[ 1 ]} y en un manuscrito posterior incompleto e inédito. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Arratia estudió el modelo del votante , un sistema de partículas interactuantes que modela la evolución de las opiniones políticas de una población. Los individuos de la población están representados por los vértices de un grafo, y cada individuo tiene una de dos opiniones posibles, representadas como 0 o 1. Independientemente a una tasa de 1, cada individuo cambia su opinión a la de un vecino elegido al azar. Se sabe que el modelo del votante es dual a los paseos aleatorios coalescentes (es decir, los paseos aleatorios se mueven independientemente cuando están separados, y se mueven como un solo paseo una vez que se encuentran) en el sentido de que: la opinión de cada individuo en cualquier momento puede rastrearse hacia atrás en el tiempo hasta un ancestro en el tiempo 0, y las genealogías conjuntas de las opiniones de diferentes individuos en diferentes momentos son una colección de paseos aleatorios coalescentes que evolucionan hacia atrás en el tiempo. En la dimensión espacial 1, los paseos aleatorios coalescentes que parten de un número finito de puntos espaciotemporales convergen a un número finito de movimientos brownianos coalescentes , si el espaciotemporal se reescala de forma difusiva (es decir, cada punto espaciotemporal (x,t) se mapea a (εx,ε²t), con ε↓0). Esto es una consecuencia del principio de invariancia de Donsker . La pregunta menos obvia es:

¿Cuál es el límite de escala difusivo de la colección conjunta de caminatas aleatorias coalescentes unidimensionales que parten de cada punto del espacio-tiempo?

Arratia se propuso construir este límite, que es lo que ahora llamamos la red browniana. Formalmente hablando, es una colección de movimientos brownianos coalescentes unidimensionales que parten de cada punto del espacio-tiempo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$El hecho de que la red browniana consista en un número incontable de movimientos brownianos es lo que hace que la construcción sea sumamente compleja. Arratia propuso una construcción, pero no pudo demostrar la convergencia de caminatas aleatorias coalescentes hacia un objeto límite ni caracterizar dicho objeto.

Tóth y Werner, en su estudio del verdadero movimiento autorrepulsivo ^{[ 4 ],} obtuvieron muchas propiedades detalladas de este objeto límite y su dual, pero no demostraron la convergencia de los caminos coalescentes hacia este objeto límite ni lo caracterizaron. La principal dificultad para demostrar la convergencia radica en la existencia de puntos aleatorios desde los cuales el objeto límite puede tener múltiples trayectorias. Arratia, Tóth y Werner eran conscientes de la existencia de tales puntos y proporcionaron diferentes convenciones para evitar dicha multiplicidad. Fontes, Isopi, Newman y Ravishankar ^{[ 3 ]} introdujeron una topología para el objeto límite de modo que se realiza como una variable aleatoria que toma valores en un espacio polaco , en este caso, el espacio de conjuntos compactos de trayectorias. Esta elección permite que el objeto límite tenga múltiples trayectorias desde un punto aleatorio del espacio-tiempo. La introducción de esta topología les permitió demostrar la convergencia de los caminos aleatorios coalescentes hacia un único objeto límite y caracterizarlo. Denominaron a este objeto límite red browniana.

^{Sun y Swart [ 5 ]} introdujeron una extensión de la red browniana, denominada red browniana , al permitir que los movimientos brownianos coalescentes se ramifiquen. Newman, Ravishankar y Schertzer ^{[ 6 ]} propusieron una construcción alternativa de la red browniana.

Para un estudio reciente, véase Schertzer, Sun y Swart. ^{[ 7 ]}