Teorema de Brun-Titchmarsh

En la teoría analítica de números , el teorema de Brun-Titchmarsh , que recibe su nombre de Viggo Brun y Edward Charles Titchmarsh , es una cota superior para la distribución de los números primos en progresión aritmética .

Dejar${\displaystyle \pi (x;q,a)}$cuenta el número de primos p congruentes con a módulo q con p ≤ x . Entonces   

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}}$

para todo q  < x . 

El resultado fue demostrado mediante métodos de cribado por Montgomery y Vaughan; un resultado anterior de Brun y Titchmarsh obtuvo una versión más débil de esta desigualdad con un factor multiplicativo adicional de${\displaystyle 1+o(1)}$.

Si q es relativamente pequeño, por ejemplo,${\displaystyle q\leq x^{9/20}}$, entonces existe una cota mejor:

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}}$

Esto se debe a Y. Motohashi (1973). Él utilizó una estructura bilineal en el término de error del cribado de Selberg , que descubrió por sí mismo. Posteriormente, esta idea de explotar estructuras en los errores de cribado se convirtió en un método fundamental de la Teoría Analítica de Números, gracias a la extensión de H. Iwaniec al cribado combinatorio.

Por el contrario, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas proporciona un resultado asintótico, que puede expresarse de la forma

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)}$

pero esto solo se puede demostrar que es válido para el rango más restringido q  <  (log x ) ^c para c constante : este es el teorema de Siegel-Walfisz . 

• Motohashi, Yoichi (1983), Métodos de cribado y teoría de números primos , Tata IFR y Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8
• Hooley, Christopher (1976), Aplicaciones de los métodos de cribado a la teoría de los números , Cambridge University Press, pág.  10, ISBN 0-521-20915-3
• Mikawa, H. (2001) [1994], "Teorema de Brun-Titchmarsh" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Montgomery, HL ; Vaughan, RC (1973), "The large sieve", Mathematika , 20 (2): 119– 134, doi : 10.1112/s0025579300004708 , hdl : 2027.42/152543.