Función Buchstab

La función de Buchstab (o función de Buchstab ) es la única función continua.${\displaystyle \omega$ :\mathbb {R} _{\geq 1}\rightarrow \mathbb {R} _{>0}} definido por la ecuación diferencial con retardo

${\displaystyle \omega (u)={\frac {1}{u}},\qquad \qquad \qquad 1\leq u\leq 2,}$

${\displaystyle {\frac {d}{du}}(u\omega (u))=\omega (u-1),\qquad u\geq 2.}$

En la segunda ecuación, la derivada en u  =  2 debe tomarse cuando u se aproxima a 2 desde la derecha. Recibe su nombre de Alexander Buchstab , quien escribió sobre ella en 1937.

La función Buchstab se acerca${\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.561}$rápidamente como${\displaystyle u\to \infty ,}$dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni . De hecho,

${\displaystyle |\omega (u)-e^{-\gamma }|\leq {\frac {\rho (u-1)}{u}},\qquad u\geq 1,}$

donde ρ es la función de Dickman . ^{[ 1 ]} Además,${\displaystyle \omega (u)-e^{-\gamma }}$Oscila de forma regular, alternando entre extremos y ceros; los extremos alternan entre máximos positivos y mínimos negativos. El intervalo entre extremos consecutivos se aproxima a 1 cuando u tiende a infinito, al igual que el intervalo entre ceros consecutivos. ^{[ 2 ]}

La función de Buchstab se utiliza para contar números aproximados . Si Φ( x , y ) es el número de enteros positivos menores o iguales a x sin ningún factor primo menor que y , entonces para cualquier u > 1 fijo,   

${\displaystyle \Phi (x,x^{1/u})\sim \omega (u){\frac {x}{\log x^{1/u}}},\qquad x\to \infty .}$

• Бухштаб, А. A. (1937), "Асимптотическая оценка одной общей теоретикочисловой функции" [ Estimación asintótica de una función general de teoría de números ] , Matematicheskii Sbornik (en ruso), 2(44) (6): 1239– 1246, Zbl 0018.24504 
• "Función Buchstab" , Wolfram MathWorld . Consultado en línea el 11 de febrero de 2015.
• §IV.32, "Sobre Φ(x,y) y la función de Buchstab", Manual de Teoría de Números I , József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović y Borislav Crstici, Springer , 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7.
• "Una ecuación diferencial con retardo que surge del cribado de Eratóstenes" , AY Cheer y DA Goldston, Mathematics of Computation 55 (1990), pp.  129–141.
• "Una mejora del método del tamiz de Selberg", WB Jurkat y H.-E. Richert, Acta Arithmetica 11 (1965), págs.  217–240.
• Hildebrand, A. (2001) [1994], "Función Bukhstab" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press