Función de Dickman

En la teoría analítica de números , la función de Dickman o función de Dickman–de Bruijn ρ es una función especial que se utiliza para estimar la proporción de números lisos hasta un límite dado. Fue estudiada por primera vez por el actuario Karl Dickman, quien la definió en su única publicación matemática, ^[1] que no está fácilmente disponible, ^[2] y luego estudiada por el matemático holandés Nicolaas Govert de Bruijn . ^{[3] [4]}

La función de Dickman-de Bruijn es una función continua que satisface la ecuación diferencial de retardo${\displaystyle \rho(u)}$

${\displaystyle u\rho '(u)+\rho (u-1)=0\,}$

con condiciones iniciales para 0 ≤  u  ≤ 1. ${\displaystyle \rho(u)=1}$

Dickman demostró que, cuando se fija, tenemos ${\estilo de visualización a}$

${\displaystyle \Psi(x,x^{1/a})\sim x\rho(a)\,}$

donde es el número de y - enteros  suaves (o y - friables ) por debajo de x . ${\displaystyle \Psi(x,y)}$

Ramaswami posteriormente dio una prueba rigurosa de que para a fijo , era asintótico a , con el límite de error${\displaystyle \Psi(x,x^{1/a})}$${\displaystyle x\rho (a)}$

${\displaystyle \Psi(x,x^{1/a})=x\rho(a)+O(x/\log x)}$

en notación O grande . ^[5]

El objetivo principal de la función de Dickman-de Bruijn es estimar la frecuencia de números lisos de un tamaño determinado. Esto se puede utilizar para optimizar varios algoritmos de teoría de números, como la factorización P-1 , y puede ser útil por sí misma.

Se puede demostrar que ^[6]

${\displaystyle \Psi (x,y)=xu^{O(-u)}}$

lo cual está relacionado con la estimación a continuación. ${\displaystyle \rho(u)\approx u^{-u}}$

La constante de Golomb-Dickman tiene una definición alternativa en términos de la función de Dickman-de Bruijn.

Una primera aproximación podría ser Una mejor estimación es ^[7]${\displaystyle \rho(u)\approx u^{-u}.\,}$

${\displaystyle \rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u}}}}\cdot \exp(-u\xi +\operatorname {Ei} (\xi ))}$

donde Ei es la integral exponencial y ξ es la raíz positiva de

${\displaystyle e^{\xi }-1=u\xi .\,}$

Un límite superior simple es${\displaystyle \rho(x)\leq 1/x!.}$

Para cada intervalo [ n  − 1,  n ] con n entero, existe una función analítica tal que . Para 0 ≤  u  ≤ 1, . Para 1 ≤  u  ≤ 2, . Para 2 ≤  u  ≤ 3, ${\displaystyle \rho_{n}}$${\displaystyle \rho_{n}(u)=\rho(u)}$${\displaystyle \rho(u)=1}$${\displaystyle \rho (u)=1-\log u}$

${\displaystyle \rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operatorname {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^ {2}}{12}}.}$

con Li ₂ el dilogaritmo . Otros pueden calcularse utilizando series infinitas. ^[8]${\displaystyle \rho_{n}}$

Un método alternativo consiste en calcular los límites superior e inferior con la regla trapezoidal ; ^[7] una malla de tamaños progresivamente más finos permite una precisión arbitraria. Para cálculos de alta precisión (cientos de dígitos), es mejor una expansión recursiva de series sobre los puntos medios de los intervalos. ^[9]

Friedlander define un análogo bidimensional de . ^[10] Esta función se utiliza para estimar una función similar a la de de Bruijn, pero contando el número de enteros y -suaves con como máximo un factor primo mayor que z . Entonces ${\displaystyle \sigma(u,v)}$${\displaystyle \rho(u)}$${\displaystyle \Psi(x,y,z)}$

${\displaystyle \Psi(x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma(b,a).\,}$

• Función de Buchstab , una función utilizada de manera similar para estimar el número de números aproximados , cuya convergencia a está controlada por la función de Dickman${\displaystyle e^{-\gamma}}$
• Constante de Golomb-Dickman

• Broadhurst, David (2010). "Polilogaritmos de Dickman y sus constantes". arXiv : 1004.0519 [math-ph].
• Soundararajan, Kannan (2012). "Una expansión asintótica relacionada con la función de Dickman". Ramanujan Journal . 29 (1–3): 25–30. arXiv : 1005.3494 . doi :10.1007/s11139-011-9304-3. MR  2994087. S2CID  119564455.
• Weisstein, Eric W. "Función Dickman". MathWorld .