Teorema de Buckingham sobre el pi

Supongamos que tenemos cantidades${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$donde las unidades de${\displaystyle q_{i}}$contienen longitud elevada a la potencia${\displaystyle c_{i}}$. Si originalmente medimos la longitud en metros pero luego cambiamos a centímetros, entonces el valor numérico de${\displaystyle q_{i}}$se reescalaría por un factor de${\displaystyle 100^{c_{i}}}$Cualquier ley físicamente significativa debería ser invariante bajo un reescalamiento arbitrario de cada unidad fundamental; este es el hecho en el que se basa el teorema de pi.

Dado un sistema de${\displaystyle n}$variables dimensionales${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$en${\displaystyle \ell }$dimensiones fundamentales (base), la matriz dimensional es la${\displaystyle \ell \times n}$matriz${\displaystyle M}$cuyo${\displaystyle \ell }$Las filas corresponden a las dimensiones fundamentales y cuyas${\displaystyle n}$Las columnas son las dimensiones de las variables:${\displaystyle (i,j)}$th entrada (donde${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$y${\displaystyle 1\leq j\leq n}$) es el poder del${\displaystyle i}$la dimensión fundamental en la${\displaystyle j}$la variable th. La matriz puede interpretarse como una combinación de cantidades variables que expresa las dimensiones de la combinación en términos de las dimensiones fundamentales. Por lo tanto, la${\displaystyle \ell \times 1}$vector (columna) que resulta de la multiplicación $${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$ consta de las unidades de $${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$ en términos de la${\displaystyle \ell }$unidades fundamentales independientes (base). ^{[ nota 3 ]}

Si redimensionamos el${\displaystyle i}$la unidad fundamental por un factor de${\displaystyle \alpha _{i}}$, entonces${\displaystyle q_{j}}$se reescala por${\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$, dónde${\displaystyle m_{ij}}$es el${\displaystyle (i,j)}$la entrada -ésima de la matriz dimensional. Para convertir esto en un problema de álgebra lineal , tomamos logaritmos (la base es irrelevante), obteniendo$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$que es una acción de${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Definimos una ley física como una función arbitraria.${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$es un conjunto permisible de valores para el sistema físico cuando${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$Además, requerimos${\displaystyle f}$ser invariante bajo esta acción. Por lo tanto, se reduce a una función${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$. Todo lo que queda es mostrar un isomorfismo entre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$, el espacio (logarítmico) de grupos pi${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$.

Construimos un${\displaystyle n\times p}$matriz${\displaystyle K}$cuyas columnas son la base de${\displaystyle \ker {M}}$Nos indica cómo incrustar${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$como el núcleo de${\displaystyle M}$. Es decir, tenemos una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

Tomar las transposiciones produce otra secuencia exacta

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

El primer teorema de isomorfismo produce el isomorfismo deseado, que envía la clase lateral.${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$a${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$. Esto corresponde a reescribir la tupla${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$en los grupos pi${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$provenientes de las columnas de${\displaystyle K}$.

El Sistema Internacional de Unidades define siete unidades básicas: el amperio , el kelvin , el segundo , el metro , el kilogramo , la candela y el mol . En ocasiones, resulta ventajoso introducir unidades básicas y técnicas adicionales para perfeccionar el análisis dimensional. (Véase análisis de orientación y referencia ^{[ 9 ]} ).

Este ejemplo es elemental, pero sirve para demostrar el procedimiento.

Supongamos que un coche circula a 100  km/h; ¿cuánto tiempo tarda en recorrer 200  km?

Esta pregunta considera${\displaystyle n=3}$variables dimensionales: distancia${\displaystyle d,}$tiempo${\displaystyle t,}$y velocidad${\displaystyle v,}$y estamos buscando alguna ley de la forma${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$Cualquier par de estas variables son dimensionalmente independientes, pero las tres juntas no lo son. Por lo tanto, existe${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$cantidad adimensional.

La matriz dimensional es $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$ en la que las filas corresponden a las dimensiones base${\displaystyle L}$y${\displaystyle T,}$y las columnas a las dimensiones consideradas${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$donde esta última representa la dimensión de velocidad. Los elementos de la matriz corresponden a las potencias a las que se deben elevar las dimensiones respectivas. Por ejemplo, la tercera columna${\displaystyle (1,-1),}$afirma que${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$representado por el vector columna${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$es expresable en términos de las dimensiones base como${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$desde${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

Para una constante adimensional${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$Estamos buscando vectores${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$de tal manera que el producto matriz-vector${\displaystyle M\mathbf {a} }$es igual al vector cero${\displaystyle [0,0].}$En álgebra lineal, el conjunto de vectores con esta propiedad se conoce como el núcleo (o espacio nulo) de la matriz dimensional. En este caso particular, su núcleo es unidimensional. La matriz dimensional, tal como se escribió anteriormente, está en forma escalonada reducida por filas , por lo que se puede leer un vector núcleo distinto de cero con una precisión de una constante multiplicativa: $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

Si la matriz dimensional no estuviera ya reducida, se podría realizar la eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz dimensional para determinar más fácilmente el núcleo. De ello se deduce que la constante adimensional, sustituyendo las dimensiones por las variables dimensionales correspondientes, puede escribirse como: $${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

Dado que el núcleo solo está definido dentro de una constante multiplicativa, la constante adimensional anterior elevada a cualquier potencia arbitraria produce otra constante adimensional (equivalente).

El análisis dimensional ha proporcionado así una ecuación general que relaciona las tres variables físicas: $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ o, dejando${\displaystyle C}$denota un cero de la función${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \pi =C,}$$ que se puede escribir en la forma deseada (que recuerdo era${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$) como $${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

La relación real entre las tres variables es simplemente${\displaystyle d=vt.}$En otras palabras, en este caso${\displaystyle F}$tiene una raíz físicamente relevante, y es la unidad. El hecho de que solo un único valor de${\displaystyle C}$lo hará y que sea igual a 1 no se revela mediante la técnica de análisis dimensional.

Deseamos determinar el período${\displaystyle T}$de pequeñas oscilaciones en un péndulo simple . Se asumirá que es una función de la longitud.${\displaystyle L,}$la misa${\displaystyle M,}$y la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra${\displaystyle g,}$que tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo al cuadrado. El modelo es de la forma $${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

(Tenga en cuenta que está escrito como una relación, no como una función:${\displaystyle T}$no está escrito aquí como una función de${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$)

El período, la masa y la longitud son dimensionalmente independientes, pero la aceleración puede expresarse en términos de tiempo y longitud, lo que significa que las cuatro variables tomadas en conjunto no son dimensionalmente independientes. Por lo tanto, solo necesitamos${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$parámetro adimensional, denotado por${\displaystyle \pi ,}$y el modelo puede ser expresado nuevamente como $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ dónde${\displaystyle \pi }$es dado por $${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$ para algunos valores de${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

Las dimensiones de las cantidades dimensionales son: $${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

La matriz dimensional es: $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

(Las filas corresponden a las dimensiones)${\displaystyle t,m,}$y${\displaystyle \ell ,}$y las columnas a las variables dimensionales${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$Por ejemplo, la cuarta columna,${\displaystyle (-2,0,1),}$afirma que el${\displaystyle g}$La variable tiene dimensiones de${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$)

Estamos buscando un vector kernel${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$de tal manera que el producto matricial de${\displaystyle \mathbf {M} }$en${\displaystyle a}$produce el vector cero${\displaystyle [0,0,0].}$La matriz dimensional tal como se escribió anteriormente está en forma escalonada reducida por filas, por lo que se puede leer un vector núcleo dentro de una constante multiplicativa: $${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

Si no estuviera ya reducida, se podría realizar la eliminación de Gauss-Jordan en la matriz dimensional para determinar más fácilmente el núcleo. De ello se deduce que la constante adimensional se puede escribir como: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$ En términos fundamentales: $${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$ que es adimensional. Dado que el núcleo solo está definido dentro de una constante multiplicativa, si la constante adimensional anterior se eleva a cualquier potencia arbitraria, dará como resultado otra constante adimensional equivalente.

En este ejemplo, tres de las cuatro cantidades dimensionales son unidades fundamentales, por lo que la última (que es${\displaystyle g}$) debe ser una combinación de lo anterior. Tenga en cuenta que si${\displaystyle a_{2}}$(el coeficiente de${\displaystyle M}$) si hubiera sido distinto de cero, entonces no habría forma de cancelarlo.${\displaystyle M}$valor; por lo tanto${\displaystyle a_{2}}$debe ser cero. El análisis dimensional nos ha permitido concluir que el período del péndulo no es función de su masa.${\displaystyle M.}$(En el espacio 3D de potencias de masa, tiempo y distancia, podemos decir que el vector de masa es linealmente independiente de los vectores de las otras tres variables. Salvo un factor de escala,${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$(es la única forma no trivial de construir un vector de un parámetro adimensional).

El modelo ahora se puede expresar como: $${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

Entonces esto implica que${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$para algún cero${\displaystyle C_{i}}$de la función${\displaystyle F.}$Si solo hay un cero, llámalo${\displaystyle C,}$entonces${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$Se requiere una comprensión física más profunda o un experimento para demostrar que, efectivamente, solo hay un cero y que la constante está dada por${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

Para grandes oscilaciones de un péndulo, el análisis se complica por un parámetro adimensional adicional: el ángulo máximo de oscilación. El análisis anterior es una buena aproximación cuando el ángulo tiende a cero .

Para demostrar la aplicación del teorema π , consideremos el consumo de potencia de un agitador con una forma determinada. La potencia, P , en dimensiones [M · L² ^/ T³ ^] , es función de la densidad , ρ [M/L³ ^] , y la viscosidad del fluido a agitar, μ [M/(L · T)], así como del tamaño del agitador dado por su diámetro , D [L], y la velocidad angular del agitador, n [1/T]. Por lo tanto, tenemos un total de n = 5 variables que representan nuestro ejemplo. Estas n = 5 variables se construyen a partir de k = 3 dimensiones independientes, por ejemplo, longitud: L ( unidades SI : m ), tiempo: T ( s ), y masa: M ( kg ).

Según el teorema π , las n = 5 variables se pueden reducir mediante las k = 3 dimensiones para formar p = n − k = 5 − 3 = 2 números adimensionales independientes. Por lo general, estas cantidades se eligen como${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$, comúnmente llamado número de Reynolds , que describe el régimen de flujo del fluido, y${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$, el número de potencia , que es la descripción adimensional del agitador.

Nótese que las dos cantidades adimensionales no son únicas y dependen de cuáles de las n = 5 variables se elijan como las k = 3 variables base dimensionalmente independientes, que, en este ejemplo, aparecen en ambas cantidades adimensionales. El número de Reynolds y el número de potencia se obtienen del análisis anterior si${\textstyle \rho }$, n y D se eligen como variables base. Si, en cambio,${\textstyle \mu }$Se seleccionan , n y D , se recupera el número de Reynolds mientras que la segunda cantidad adimensional se convierte en${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$Observamos que${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$es el producto del número de Reynolds y el número de potencia.

Un ejemplo de análisis dimensional se encuentra en el caso de la mecánica de un disco giratorio delgado, sólido y de lados paralelos. Hay cinco variables involucradas que se reducen a dos grupos adimensionales. La relación entre estos se puede determinar mediante experimentación numérica utilizando, por ejemplo, el método de elementos finitos . ^{[ 10 ]}

El teorema también se ha utilizado en campos distintos a la física, por ejemplo en la ciencia del deporte . ^{[ 11 ]}