Métrica de Bures

En matemáticas , en el área de la geometría de la información cuántica , la métrica de Bures (nombrada en honor a Donald Bures) ^[1] o la métrica de Helstrom (nombrada en honor a Carl W. Helstrom ) ^[2] define una distancia infinitesimal entre operadores de matriz de densidad que definen estados cuánticos . Es una generalización cuántica de la métrica de información de Fisher y es idéntica a la métrica de Fubini-Study ^[3] cuando se restringe solo a los estados puros.

La métrica de Bures puede definirse como

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}(d\rho G),}$

¿Dónde está el operador de 1-forma hermítico dado implícitamente por ${\estilo de visualización G}$

${\displaystyle \rho G+G\rho =d\rho ,}$

que es un caso especial de una ecuación de Lyapunov continua .

Algunas de las aplicaciones de la métrica de Bures incluyen que, dado un error objetivo, permite el cálculo del número mínimo de mediciones para distinguir dos estados diferentes ^[4] y el uso del elemento de volumen como candidato para la densidad de probabilidad previa de Jeffreys ^[5] para estados cuánticos mixtos.

La distancia de Bures es la versión finita de la distancia cuadrada infinitesimal descrita anteriormente y está dada por

${\displaystyle D_{B}(\rho _{1},\rho _{2})^{2}=2(1-{\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}}),}$

donde la función de fidelidad se define como ^[6]

${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2})=\left[{\mbox{tr}}({\sqrt {{\sqrt {\rho _{1}}}\rho _{2}{\sqrt {\rho _{1}}}}})\right]^{2}.}$

Otra función asociada es el arco de Bures también conocido como ángulo de Bures, longitud de Bures o ángulo cuántico , definido como

${\displaystyle D_{A}(\rho _{1},\rho _{2})=\arccos {\sqrt {F(\rho _{1},\rho _{2})}},}$

que es una medida de la distancia estadística ^[7] entre estados cuánticos.

Cuando ambos operadores de densidad son diagonales (de modo que son simplemente distribuciones de probabilidad clásicas), entonces sea y de manera similar , entonces la fidelidad es con la longitud de Bures convirtiéndose en la distancia de Wootters . La distancia de Wootters es la distancia geodésica entre las distribuciones de probabilidad bajo la métrica de chi-cuadrado . ^[8]${\displaystyle \rho_{1}=diag(p_{1},...)}$${\displaystyle \rho_{2}=diag(q_{1},...)}$$${\displaystyle {\sqrt {F}}=\suma _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}}$$ ${\displaystyle \arccos \left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)}$${\estilo de visualización p,q}$${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {dp_{i}^{2}}{p_{i}}}}$

Realizamos un cambio de variables con , entonces la métrica de chi-cuadrado se convierte en . Como , los puntos están restringidos a moverse en el cuadrante positivo de una hiperesfera unitaria. Por lo tanto, las geodésicas son solo los círculos máximos en la hiperesfera y también obtenemos la fórmula de la distancia de Wootters. ${\displaystyle x_{i}:={\sqrt {p_{i}}}}$${\displaystyle ds^{2}=\suma _{i}dx_{i}^{2}}$${\displaystyle \suma _{i}x_{i}^{2}=\suma _{i}p_{i}=1}$${\estilo de visualización x}$

Si ambos operadores de densidad son estados puros , entonces la fidelidad es y obtenemos la versión cuántica de la distancia de Wootter. ${\estilo de visualización \psi,\phi}$${\displaystyle {\sqrt {F}}=|\langle \psi |\phi \rangle |}$

${\displaystyle \arccos(|\langle \psi |\phi \rangle |)}$. ^[9]

En particular, la distancia de Bures directa entre dos estados ortogonales es , mientras que la distancia de Bures sumada a lo largo de la trayectoria geodésica que los conecta es . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \pi /2}$

La métrica de Bures puede verse como el equivalente cuántico de la métrica de información de Fisher y puede reescribirse en términos de la variación de los parámetros de coordenadas como

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left({\frac {d\rho }{d\theta ^{\mu }}}L_{\nu }\right)d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

que se cumple siempre que y tengan el mismo rango. En los casos en que no tengan el mismo rango, hay un término adicional en el lado derecho. ^{[10] [11]} es el operador de derivada logarítmica simétrica (SLD) definido a partir de ^[12]${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle \rho+d\rho}$ ${\displaystyle L_{\mu}}$

${\displaystyle {\frac {\rho L_{\mu }+L_{\mu }\rho }{2}}={\frac {d\rho ^{\,}}{d\theta ^{\mu } }}.}$

De esta manera, se tiene

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{2}}\right]d\theta ^{\mu }d\theta ^{\nu },}$

donde la métrica cuántica de Fisher (componentes tensoriales) se identifica como

${\displaystyle J_{\mu \nu }={\mbox{tr}}\left[\rho {\frac {L_{\mu }L_{\nu }+L_{\nu }L_{\mu }}{ 2}}\derecha].}$

La definición de SLD implica que la métrica cuántica de Fisher es 4 veces la métrica de Bures. En otras palabras, dado que son componentes del tensor de la métrica de Bures, se tiene ${\displaystyle g_{\mu \nu}}$

${\displaystyle J_{\mu \nu }^{}=4g_{\mu \nu }.}$

Al igual que sucede con la métrica de información de Fisher clásica, la métrica cuántica de Fisher se puede utilizar para encontrar el límite de Cramér-Rao de la covarianza .

El cálculo real de la métrica de Bures no es evidente a partir de la definición, por lo que se desarrollaron algunas fórmulas para ese propósito. Para los sistemas 2x2 y 3x3, respectivamente, la forma cuadrática de la métrica de Bures se calcula como ^[13]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {1}{\det(\rho )}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho \right],}$

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{4}}{\mbox{tr}}\left[d\rho d\rho +{\frac {3}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho )d\rho (\mathbf {1} -\rho )d\rho +{\frac {3\det {\rho }}{1-{\mbox{tr}}\rho ^{3}}}(\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho (\mathbf {1} -\rho ^{-1})d\rho \right].}$

Para sistemas generales, la métrica de Bures se puede escribir en términos de los vectores propios y valores propios de la matriz de densidad como ^{[14] [15]}${\displaystyle \rho =\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}|j\rangle \langle j|}$

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{\lambda _{j}+\lambda _{k}}},}$

como una integral, ^[16]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\text{tr}}[e^{-\rho t}d\rho e^{-\rho t}d\rho ]\ dt,}$

o en términos de producto y vectorización de Kronecker , ^[17]

${\displaystyle [D_{B}(\rho ,\rho +d\rho )]^{2}={\frac {1}{2}}{\text{vec}}[d\rho ]^{\dagger }{\big (}\rho ^{*}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes \rho {\big )}^{-1}{\text{vec}}[d\rho ],}$

donde denota conjugado complejo y denota transpuesta conjugada . Esta fórmula es válida para matrices de densidad invertibles. Para matrices de densidad no invertibles, la inversa anterior se sustituye por la pseudoinversa de Moore-Penrose . Alternativamente, la expresión también se puede calcular realizando un límite en un cierto estado mixto y, por lo tanto, invertible. ${\displaystyle ^{*}}$${\displaystyle ^{\dagger }}$

El estado de un sistema de dos niveles se puede parametrizar con tres variables como

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}(I+{\boldsymbol {r\cdot \sigma }}),}$

donde es el vector de matrices de Pauli y es el vector de Bloch (tridimensional) que satisface . Los componentes de la métrica de Bures en esta parametrización se pueden calcular como ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$${\displaystyle r^{2}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\boldsymbol {r\cdot r}}\leq 1}$

${\displaystyle {\mathsf {g}}={\frac {\mathsf {I}}{4}}+{\frac {\boldsymbol {r\otimes r}}{4(1-r^{2})}}}$.

La medida de Bures se puede calcular tomando la raíz cuadrada del determinante para encontrar

${\displaystyle dV_{B}={\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}},}$

que se puede utilizar para calcular el volumen de Bures como

${\displaystyle V_{B}=\iiint _{r^{2}\leq 1}{\frac {d^{3}{\boldsymbol {r}}}{8{\sqrt {1-r^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.}$

El estado de un sistema de tres niveles se puede parametrizar con ocho variables como

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{3}}(I+{\sqrt {3}}\sum _{\nu =1}^{8}\xi _{\nu }\lambda _{\nu }),}$

¿Dónde están las ocho matrices de Gell-Mann y el vector de Bloch de 8 dimensiones que satisfacen ciertas restricciones? ${\displaystyle \lambda _{\nu }}$${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\in \mathbb {R} ^{8}}$

• Fubini–Estudio métrico
• Fidelidad de los estados cuánticos
• Información de Fisher
• Métrica de información de Fisher

• Uhlmann, A. (1992). "La métrica de Bures y la fase geométrica". En Gielerak, R.; Lukierski, J.; Popowicz, Z. (eds.). Grupos y temas relacionados . Actas del primer simposio Max Born. págs. 267–274. doi :10.1007/978-94-011-2801-8_23. ISBN 94-010-5244-1.
• Sommers, HJ; Zyczkowski, K. (2003). "Volumen de Bures del conjunto de estados cuánticos mixtos". Journal of Physics A . 36 (39): 10083–10100. arXiv : quant-ph/0304041 . Código Bibliográfico :2003JPhA...3610083S. doi :10.1088/0305-4470/36/39/308. S2CID  39943897.
• Dittmann, J. (1993). "Sobre la geometría riemanniana de estados mixtos de dimensión finita" (PDF) . Seminario Sophus Lie . 73 .
• Slater, Paul B. (1996). "Información cuántica de Fisher-Bures de sistemas de dos niveles y una extensión de tres niveles". J. Phys. A: Math. Gen. 29 ( 10): L271–L275. doi :10.1088/0305-4470/29/10/008.
• Nielsen, MA; Chuang, IL (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge University Press. ISBN 0-521-63235-8.