Teorema de Bussgang

En matemáticas , el teorema de Bussgang es un teorema de análisis estocástico . El teorema establece que la correlación cruzada entre una señal gaussiana antes y después de que haya pasado por una operación no lineal es igual a la autocorrelación de la señal hasta una constante. Fue publicado por primera vez por Julian J. Bussgang en 1952 mientras estaba en el Instituto Tecnológico de Massachusetts . ^[1]

Sea un proceso aleatorio gaussiano estacionario de media cero y donde es una distorsión de amplitud no lineal. ${\displaystyle \izquierda\{X(t)\derecha\}}$${\displaystyle \left\{Y(t)\right\}=g(X(t))}$${\displaystyle g(\cdot )}$

Si es la función de autocorrelación de , entonces la función de correlación cruzada de y es ${\displaystyle R_{X}(\tau )}$${\displaystyle \izquierda\{X(t)\derecha\}}$${\displaystyle \izquierda\{X(t)\derecha\}}$${\displaystyle \izquierda\{Y(t)\derecha\}}$

${\displaystyle R_{XY}(\tau )=CR_{X}(\tau ),}$

donde es una constante que depende solo de . ${\estilo de visualización C}$${\displaystyle g(\cdot )}$

Se puede demostrar además que

${\displaystyle C={\frac {1}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }ug(u)e^{-{\frac {u^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du.}$

Es una propiedad de la distribución normal bidimensional que la densidad conjunta de y depende únicamente de su covarianza y está dada explícitamente por la expresión ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}$

donde y son variables aleatorias gaussianas estándar con correlación . ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle \phi _{y_{1}y_{2}}=\rho }$

Supongamos que la correlación entre y es, ${\displaystyle r_{2}=Q(y_{2})}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }y_{1}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}\,dy_{1}dy_{2}}$.

Desde

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y_{1}e^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}y_{1}^{2}+{\frac {\rho y_{2}}{1-\rho ^{2}}}y_{1}}\,dy_{1}=\rho {\sqrt {2\pi (1-\rho ^{2})}}y_{2}e^{\frac {\rho ^{2}y_{2}^{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}$,

La correlación puede simplificarse como ${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}}$

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}={\frac {\rho }{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{2}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}}$.

Se observa que la integral anterior depende únicamente de la característica de distorsión y es independiente de . ${\displaystyle Q()}$${\displaystyle \rho }$

Recordando que , observamos que para una característica de distorsión dada , la relación es . ${\displaystyle \rho =\phi _{y_{1}y_{2}}}$${\displaystyle Q()}$${\displaystyle {\frac {\phi _{y_{1}r_{2}}}{\phi _{y_{1}y_{2}}}}}$${\displaystyle K_{Q}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{2}Q(y_{2})e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}}$

Por lo tanto, la correlación se puede reescribir en la forma

${\displaystyle \phi _{y_{1}r_{2}}=K_{Q}\phi _{y_{1}y_{2}}}$.

La ecuación anterior es la expresión matemática del enunciado "teorema de Bussgang".

Si , o se llama cuantificación de un bit, entonces . ${\displaystyle Q(x)={\text{sign}}(x)}$${\displaystyle K_{Q}={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }y_{2}e^{-{\frac {y_{2}^{2}}{2}}}\,dy_{2}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$

^{[2] [3] [1] [4]}

Si las dos variables aleatorias están distorsionadas, es decir, , la correlación de y es${\displaystyle r_{1}=Q(y_{1}),r_{2}=Q(y_{2})}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }Q(y_{1})Q(y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}}$.

Cuando , la expresión se convierte en,${\displaystyle Q(x)={\text{sign}}(x)}$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]}$

dónde . ${\displaystyle \alpha ={\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}$

Notando que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\left[\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}+\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}\right]=1}$,

y , , ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0}\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{0}e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}=\int _{-\infty }^{0}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}}$

Podemos simplificar la expresión de como${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}}$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha }\,dy_{1}dy_{2}-1}$

Además, es conveniente introducir la coordenada polar . Así se obtiene que ${\displaystyle y_{1}=R\cos \theta ,y_{2}=R\sin \theta }$

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}-2R^{2}\rho \cos \theta \sin \theta \ }{2(1-\rho ^{2})}}}R\,dRd\theta -1={\frac {4}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {R^{2}(1-\rho \sin 2\theta )}{2(1-\rho ^{2})}}}R\,dRd\theta -1}$.

La integración da

${\displaystyle \phi _{r_{1}r_{2}}={\frac {2{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{1-\rho \sin 2\theta }}-1=-{\frac {2}{\pi }}\arctan \left({\frac {\rho -\tan \theta }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\right){\Bigg |}_{0}^{\pi /2}-1={\frac {2}{\pi }}\arcsin(\rho )}$，

Esta ley se denomina "ley del arcoseno", que fue descubierta por primera vez por J. H. Van Vleck en 1943 y republicada en 1966. ^{[2] [3]} La "ley del arcoseno" también se puede demostrar de una manera más sencilla aplicando el teorema de Price. ^{[4] [5]}

La función se puede aproximar como cuando es pequeño. ${\displaystyle f(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin x}$${\displaystyle f(x)\approx {\frac {2}{\pi }}x}$${\displaystyle x}$

Dadas dos variables aleatorias conjuntamente normales y con función de probabilidad conjunta${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle {\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}e^{-{\frac {y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-2\rho y_{1}y_{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}}$,

Formamos la media

${\displaystyle I(\rho )=E(g(y_{1},y_{2}))=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}}$

de alguna función de . Si como , entonces${\displaystyle g(y_{1},y_{2})}$${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$${\displaystyle g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\rightarrow 0}$${\displaystyle (y_{1},y_{2})\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}=E\left({\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\right)}$.

Demostración. La función característica conjunta de las variables aleatorias y es por definición la integral${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$

${\displaystyle \Phi (\omega _{1},\omega _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }p(y_{1},y_{2})e^{j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,dy_{1}dy_{2}=\exp \left\{-{\frac {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+2\rho \omega _{1}\omega _{2}}{2}}\right\}}$.

De la fórmula de inversión bidimensional de la transformada de Fourier, se deduce que

${\displaystyle p(y_{1},y_{2})={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\omega _{1},\omega _{2})e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-{\frac {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+2\rho \omega _{1}\omega _{2}}{2}}\right\}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}}$.

Por lo tanto, introduciendo la expresión de en , y diferenciando con respecto a , obtenemos${\displaystyle p(y_{1},y_{2})}$${\displaystyle I(\rho )}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}\Phi (\omega _{1},\omega _{2})}{\partial \rho ^{n}}}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {(-1)^{n}}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\omega _{1}^{n}\omega _{2}^{n}\Phi (\omega _{1},\omega _{2})e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2})\left({\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\omega _{1},\omega _{2}){\frac {\partial ^{2n}e^{-j(\omega _{1}y_{1}+\omega _{2}y_{2})}}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,d\omega _{1}d\omega _{2}\right)\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2}){\frac {\partial ^{2n}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,dy_{1}dy_{2}\\\end{aligned}}}$

Después de la integración repetida por partes y utilizando la condición en , obtenemos el teorema de Price.${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{n}I(\rho )}{\partial \rho ^{n}}}&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(y_{1},y_{2}){\frac {\partial ^{2n}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}\,dy_{1}dy_{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}\partial y_{2}}}{\frac {\partial ^{2n-2}p(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n-1}\partial y_{2}^{n-1}}}\,dy_{1}dy_{2}\\&=\cdots \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2n}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}^{n}\partial y_{2}^{n}}}p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}\end{aligned}}}$

^{[4] [5]}

Si , entonces donde es la función delta de Dirac. ${\displaystyle g(y_{1},y_{2})={\text{sign}}(y_{1}){\text{sign}}(y_{2})}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}g(y_{1},y_{2})}{\partial y_{1}\partial y_{2}}}=4\delta (y_{1})\delta (y_{2})}$${\displaystyle \delta ()}$

Sustituyendo en el teorema de Price, obtenemos,

${\displaystyle {\frac {\partial E({\text{sign}}(y_{1}){\text{sign}}(y_{2}))}{\partial \rho }}={\frac {\partial I(\rho )}{\partial \rho }}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }4\delta (y_{1})\delta (y_{2})p(y_{1},y_{2})\,dy_{1}dy_{2}={\frac {2}{\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}}$.

Cuando , . Por lo tanto${\displaystyle \rho =0}$${\displaystyle I(\rho )=0}$

${\displaystyle E\left({\text{sign}}(y_{1}){\text{sign}}(y_{2})\right)=I(\rho )={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\,d\rho ={\frac {2}{\pi }}\arcsin(\rho )}$,

que es el conocido resultado de la "Ley del Arcoseno" de Van Vleck.

^{[2] [3]}

Este teorema implica que se puede diseñar un correlador simplificado. ^{[ aclaración necesaria ]} En lugar de tener que multiplicar dos señales, el problema de correlación cruzada se reduce a la activación ^{[ aclaración necesaria ]} de una señal con otra. ^{[ cita necesaria ]}

• EW Bai; V. Cerone; D. Regruto (2007) "Entradas separables para la identificación de sistemas no lineales orientados a bloques", Actas de la Conferencia Americana de Control de 2007 (Nueva York, 11-13 de julio de 2007) 1548-1553