Campo CM

En matemáticas , un cuerpo CM es un tipo particular de cuerpo numérico , llamado así por su estrecha relación con la teoría de la multiplicación compleja . Otro nombre que se utiliza es cuerpo J.

La abreviatura "CM" fue introducida por Shimura y Taniyama. ^{[ 1 ]}

Un cuerpo numérico K es un cuerpo CM si es una extensión cuadrática K / F donde el cuerpo base F es totalmente real pero K es totalmente imaginario . Es decir, toda inmersión de F en${\displaystyle \mathbb {C} }$se encuentra completamente dentro${\displaystyle \mathbb {R} }$, pero no hay incrustación de K en${\displaystyle \mathbb {R} }$.

En otras palabras, existe un subcampo F de K tal que K está generado sobre F por una sola raíz cuadrada de un elemento, digamos β =${\displaystyle {\sqrt {\alpha }}}$de tal manera que el polinomio mínimo de β sobre el campo de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$tiene todas sus raíces números complejos no reales . Para ello, α debe elegirse totalmente negativo , de modo que para cada inmersión σ de${\displaystyle F}$en el campo de los números reales, σ ( α ) < 0.

Una característica de un campo CM es que la conjugación compleja en${\displaystyle \mathbb {C} }$induce un automorfismo en el campo que es independiente de su incrustación en${\displaystyle \mathbb {C} }$. En la notación dada, debe negar β.

Un campo numérico K es un campo CM si y solo si tiene un "defecto de unidades", es decir, si contiene un subcampo propio F cuyo grupo de unidades tiene el mismo${\displaystyle \mathbb {Z} }$-rango como el de K ( Remak 1954 ) . De hecho, F es el subcampo totalmente real de K mencionado anteriormente. Esto se deduce del teorema de la unidad de Dirichlet .

• El ejemplo más sencillo y motivador de un campo CM es un campo cuadrático imaginario , para el cual el subcampo totalmente real es simplemente el campo de los racionales.
• Uno de los ejemplos más importantes de un campo CM es el campo ciclotómico.${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$, que se genera mediante una raíz enésima primitiva de la unidad . Es una extensión cuadrática totalmente imaginaria del campo totalmente real.${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n}+\zeta _ {n}^{-1}).}$ Este último es el campo fijo de conjugación compleja y${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {n})}$se obtiene a partir de él adjuntando una raíz cuadrada de ${\displaystyle (\zeta _ {n}+\zeta _ {n}^{-1})^{2}-4=(\zeta _ {n}-\zeta _ {n}^{-1})^{2}.}$
• La unión Q ^CM de todos los cuerpos CM es similar a un cuerpo CM excepto que tiene grado infinito. Es una extensión cuadrática de la unión de todos los cuerpos totalmente reales Q ^R . El grupo de Galois absoluto Gal( Q / Q ^R ) es generado (como un subgrupo cerrado) por todos los elementos de orden 2 en Gal( Q / Q ), y Gal( Q / Q ^CM ) es un subgrupo de índice 2. El grupo de Galois Gal( Q ^CM / Q ) tiene un centro generado por un elemento de orden 2 (conjugación compleja) y el cociente por su centro es el grupo Gal( Q ^R / Q ).
• Si V es una variedad abeliana compleja de dimensión n , entonces cualquier álgebra abeliana F de endomorfismos de V tiene rango como máximo 2n sobre Z. Si tiene rango 2n y V es simple, entonces F es un orden en un cuerpo CM. Recíprocamente, cualquier cuerpo CM surge de esta manera a partir de alguna variedad abeliana compleja simple, única salvo isogenia .
• Un ejemplo de un campo totalmente imaginario que no es CM es el campo numérico definido por el polinomio${\displaystyle x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+1}$.

• Remak, Robert (1954), "Über algebraische Zahlkörper mit schwachem Einheitsdefekt", Compositio Mathematica (en alemán), 12 : 35– 80, Zbl 0055.26805 
• Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de las funciones automorfas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol.  11, Princeton, NJ: Princeton University Press
• Shimura, Goro; Taniyama, Yutaka (1961), Multiplicación compleja de variedades abelianas y sus aplicaciones a la teoría de números , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol.  6, Tokio: Sociedad Matemática de Japón, MR 0125113 
• Washington, Lawrence C. (1996). Introducción a los campos ciclotómicos (2.ª  ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0. Zbl 0966.11047 .