ecuación de Cahn-Hilliard

La ecuación de Cahn-Hilliard (en honor a John W. Cahn y John E. Hilliard ) ^{[ 1 ]} es una ecuación de la física matemática que describe el proceso de separación de fases , descomposición espinodal , mediante el cual los dos componentes de un fluido binario se separan espontáneamente y forman dominios puros en cada componente.${\displaystyle c}$es la concentración del fluido, con${\displaystyle c=\pm 1}$indicando ambos dominios, entonces la ecuación se escribe como$${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\left(c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c\right),}$$dónde${\displaystyle D}$es un coeficiente de difusión con unidades de${\displaystyle {\rm {{L}^{2}/{\rm {T}}}}}$,${\displaystyle {\sqrt {\gamma }}}$da la longitud de las regiones de transición entre los dominios,${\displaystyle \partial /{\partial t}}$es la derivada parcial del tiempo y${\displaystyle \nabla ^{2}}$es el laplaciano en${\displaystyle n}$dimensiones (normalmente tres). Además, la cantidad${\displaystyle \mu \equiv c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c}$a veces se identifica como un potencial químico .

Está relacionada con la ecuación de Allen-Cahn , así como con las ecuaciones estocásticas de Allen-Cahn y de Cahn-Hilliard.

Para los matemáticos resulta de interés la existencia de una solución única de la ecuación de Cahn-Hilliard, dada por datos iniciales suaves. La demostración se basa esencialmente en la existencia de un funcional de Lyapunov . Específicamente, si identificamos

${\displaystyle F[c]=\int d^{n}x\left[{\frac {1}{4}}\left(c^{2}-1\right)^{2}+{\frac {\gamma }{2}}\left|\nabla c\right|^{2}\right],}$

como un funcional de energía libre, entonces

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=-\int d^{n}x\left|\nabla \mu \right|^{2},}$

de modo que la energía libre no aumente con el tiempo. Esto también indica que la segregación en dominios es el resultado asintótico de la evolución de esta ecuación.

En experimentos reales, se observa la segregación de un fluido binario inicialmente mezclado en dominios. La segregación se caracteriza por los siguientes hechos.

• Existe una capa de transición entre los dominios segregados, con un perfil dado por la función${\displaystyle c(x)=\tanh \left({\frac {x}{\sqrt {2\gamma }}}\right),}$y por lo tanto un ancho típico${\displaystyle {\sqrt {\gamma }}}$porque esta función es una solución de equilibrio de la ecuación de Cahn-Hilliard.
• También es interesante el hecho de que los dominios segregados crecen en el tiempo según una ley de potencias . Es decir, si${\displaystyle L(t)}$es un tamaño de dominio típico, entonces${\displaystyle L(t)\propto t^{1/3}}$Esta es la ley de Lifshitz-Slyozov, que ha sido demostrada rigurosamente para la ecuación de Cahn-Hilliard y observada en simulaciones numéricas y experimentos reales con fluidos binarios.
• La ecuación de Cahn-Hilliard tiene la forma de una ley de conservación ,${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} (x),}$con${\displaystyle \mathbf {j} (x)=-D\nabla \mu }$Por lo tanto, el proceso de separación de fases conserva la concentración total.${\displaystyle C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)}$, de modo que${\displaystyle {\frac {dC}{dt}}=0}$.

• 

  Cuando una fase es significativamente más abundante, la ecuación de Cahn-Hilliard puede mostrar el fenómeno conocido como maduración de Ostwald , donde la fase minoritaria forma gotitas esféricas, y las gotitas más pequeñas son absorbidas por difusión hacia las más grandes.

La ecuación de Cahn-Hilliard encuentra aplicaciones en diversos campos: en fluidos complejos y materia blanda (flujo de fluidos interfaciales, ciencia de polímeros y aplicaciones industriales). La solución de la ecuación de Cahn-Hilliard para una mezcla binaria demostró coincidir bien con la solución de un problema de Stefan y el modelo de Thomas y Windle. ^{[ 2 ]} Actualmente, interesa a los investigadores el acoplamiento de la separación de fases de la ecuación de Cahn-Hilliard con las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo de fluidos.

• ecuación de Allen-Cahn
• ecuación de Kuramoto-Sivashinsky

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