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Articulo de referencia

Stefan problem

In mathematics and its applications, particularly to phase transitions in matter, a Stefan problem is a particular kind of boundary value problem for a system of partial differe...

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In mathematics and its applications, particularly to phase transitions in matter, a Stefan problem is a particular kind of boundary value problem for a system of partial differential equations (PDE), in which the boundary between the phases can move with time. The classical Stefan problem aims to describe the evolution of the boundary between two phases of a material undergoing a phase change, for example the melting of a solid, such as ice to water. This is accomplished by solving heat equations in both regions, subject to given boundary and initial conditions. At the interface between the phases (in the classical problem) the temperature is set to the phase change temperature. To close the mathematical system a further equation, the Stefan condition, is required. This is an energy balance which defines the position of the moving interface. Note that this evolving boundary is an unknown (hyper-)surface; hence, Stefan problems are examples of free boundary problems.

Analogous problems occur, for example, in the study of porous media flow, mathematical finance and crystal growth from monomer solutions.[1]

Historical note

The problem is named after Josef Stefan (Jožef Stefan), the Slovenian physicist who introduced the general class of such problems around 1890 in a series of four papers concerning the freezing of the ground and the formation of sea ice.[2] However, some 60 years earlier, in 1831, an equivalent problem, concerning the formation of the Earth's crust, had been studied by Lamé and Clapeyron. Stefan's problem admits a similarity solution, this is often termed the Neumann solution, which was allegedly presented in a series of lectures in the early 1860s.

Una descripción completa de la historia de los problemas de Stefan se puede encontrar en Rubinstein. [ 3 ]

Premisas de la descripción matemática

Desde un punto de vista matemático, las fases son simplemente regiones en las que las soluciones de la ecuación diferencial parcial subyacente son continuas y diferenciables hasta el orden de dicha ecuación. En problemas físicos, estas soluciones representan propiedades del medio para cada fase. Los límites móviles (o interfaces ) son superficies infinitesimalmente delgadas que separan fases adyacentes; por lo tanto, las soluciones de la ecuación diferencial parcial subyacente y sus derivadas pueden presentar discontinuidades a través de las interfaces.

Las ecuaciones diferenciales parciales subyacentes no son válidas en las interfaces de cambio de fase; por lo tanto, se necesita una condición adicional —la condición de Stefan— para obtener el cierre . La condición de Stefan expresa la velocidad local de un límite móvil, como una función de cantidades evaluadas a ambos lados del límite de fase, y generalmente se deriva de una restricción física. En problemas de transferencia de calor con cambio de fase, por ejemplo, la conservación de la energía exige que la discontinuidad del flujo de calor en el límite se tenga en cuenta mediante la tasa de liberación de calor latente (que es proporcional a la velocidad local de la interfaz).

La regularidad de la ecuación ha sido estudiada principalmente por Luis Caffarelli [ 4 ] [ 5 ] y posteriormente refinada por el trabajo de Alessio Figalli , Xavier Ros-Oton y Joaquim Serra [ 6 ] [ 7 ].

Formulación matemática

El problema de Stefan unidimensional y monofásico

El problema de Stefan monofásico se basa en la suposición de que una de las fases del material puede despreciarse. Normalmente, esto se logra asumiendo que una fase está a la temperatura de cambio de fase y, por lo tanto, cualquier variación de esta conduce a un cambio de fase. Esta es una aproximación matemáticamente conveniente que simplifica el análisis al tiempo que demuestra las ideas esenciales detrás del proceso. Otra simplificación estándar es trabajar en formato adimensional , de modo que la temperatura en la interfaz se puede establecer en cero y los valores de campo lejano en+1{\displaystyle +1}o−1{\displaystyle -1}.

Consideremos un bloque de hielo unidimensional semiinfinito inicialmente a temperatura de fusión.tú=0{\displaystyle u=0}paraincógnita∈[0;+∞){\displaystyle x\in [0;+\infty )}La forma más conocida del problema de Stefan implica la fusión mediante una temperatura constante impuesta en el límite izquierdo, dejando una región[0;s(t)]{\displaystyle [0;s(t)]}ocupado por agua. La profundidad fundida, denotada pors(t){\displaystyle s(t)}es una función desconocida del tiempo. El problema de Stefan se define por

  • La ecuación del calor:∂tú∂t=∂2tú∂incógnita2,∀(incógnita,t)∈[0;s(t)]×[0;+∞]{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad \forall (x,t)\in [0;s(t)]\times [0;+\infty ]}
  • Una temperatura fija, por encima de la temperatura de fusión, en el límite izquierdo:tú(0,t)=1,∀t>0{\displaystyle u(0,t)=1,\quad \forall t>0}
  • La interfaz a la temperatura de fusión está configurada entú(s(t),t)=0{\displaystyle u\left(s(t),t\right)=0}
  • La condición de Stefan:βddts(t)=−∂∂incógnitatú(s(t),t){\displaystyle \beta {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}s(t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}u\left(s(t),t\right)}dóndeβ{\displaystyle \beta }es el número de Stefan, la relación entre el calor latente y el calor sensible específico (donde específico indica que se divide por la masa). Nótese que esta definición se deriva naturalmente de la adimensionalización y se utiliza en muchos textos [ 8 ] [ 9 ], sin embargo, también puede definirse como el inverso de este .
  • La distribución inicial de la temperatura:tú(incógnita,0)=0,∀incógnita≥0{\displaystyle u(x,0)=0,\;\forall x\geq 0}
  • La profundidad inicial del bloque de hielo derretido:s(0)=0{\displaystyle s(0)=0}
La solución de Neumann, obtenida mediante el uso de variables autosimilares, indica que la posición del límite viene dada pors(t)=2λαt{\textstyle s(t)=2\lambda {\sqrt {\alpha t}}}dóndeα{\displaystyle \alpha }es la difusividad yλ{\displaystyle \lambda }satisface la ecuación trascendentalβλ=1πmi−λ2terreno(λ).{\displaystyle \beta \lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda ^{2}}}{{\text{erf}}(\lambda )}}.}La temperatura en el líquido viene dada entonces porT=1−terreno(incógnita2t)terreno(λ).{\displaystyle T=1-{\frac {{\text{erf}}\left({\frac {x}{2{\sqrt {t}}}}\right)}{{\text{erf}}(\lambda )}}.}

Aplicaciones

Además de modelar la fusión de sólidos, el problema de Stefan también se utiliza como modelo para el comportamiento asintótico (en el tiempo) de problemas más complejos. Por ejemplo, Pego [ 10 ] utiliza expansiones asintóticas coincidentes para demostrar que las soluciones de Cahn-Hilliard para problemas de separación de fases se comportan como soluciones de un problema de Stefan no lineal en una escala de tiempo intermedia. Adicionalmente, la solución de la ecuación de Cahn-Hilliard para una mezcla binaria es razonablemente comparable con la solución de un problema de Stefan. [ 11 ] En esta comparación, el problema de Stefan se resolvió utilizando un método de seguimiento de frente y malla móvil con condiciones de contorno de Neumann homogéneas en el límite exterior. Asimismo, los problemas de Stefan pueden aplicarse para describir transformaciones de fase distintas de sólido-fluido o fluido-fluido. [ 12 ]

La aplicación del problema de Stefan a la cristalización de metales en la deposición electroquímica de polvos metálicos fue prevista por Călușaru [ 13 ].

El problema de Stefan también tiene una rica teoría inversa; en tales problemas, la profundidad de fusión (o curva o hipersuperficie ) s es el dato conocido y el problema es encontrar u o f . [ 14 ]

Formas avanzadas del problema de Stefan

El problema clásico de Stefan trata con materiales estacionarios con propiedades termofísicas constantes (generalmente independientemente de la fase), una temperatura de cambio de fase constante y, en el ejemplo anterior, un cambio instantáneo de la temperatura inicial a un valor distinto en el límite. En la práctica, las propiedades térmicas pueden variar y, específicamente, siempre lo hacen cuando hay un cambio de fase. El salto en la densidad durante el cambio de fase induce un movimiento del fluido: la energía cinética resultante no figura en el balance energético estándar. Con un cambio de temperatura instantáneo, la velocidad inicial del fluido es infinita, lo que resulta en una energía cinética inicial infinita. De hecho, la capa líquida suele estar en movimiento, lo que requiere términos de advección o convección en la ecuación del calor . La temperatura de fusión puede variar con el tamaño, la curvatura o la velocidad de la interfaz. Es imposible cambiar las temperaturas instantáneamente y, por lo tanto, es difícil mantener una temperatura límite fija exacta. Además, a nanoescala, la temperatura puede incluso no seguir la ley de Fourier.

Varios de estos problemas se han abordado en los últimos años para diversas aplicaciones físicas. En la solidificación de fundidos subenfriados, se puede encontrar un análisis donde la temperatura de cambio de fase depende de la velocidad de la interfaz en Font et al . [ 15 ] La solidificación a nanoescala, con temperatura de cambio de fase variable y efectos de energía/densidad se modelan en. [ 16 ] [ 17 ] La solidificación con flujo en un canal se ha estudiado, en el contexto de la lava [ 18 ] y microcanales, [ 19 ] o con una superficie libre en el contexto de la congelación del agua sobre una capa de hielo. [ 20 ] [ 21 ] Un modelo general que incluye diferentes propiedades en cada fase, temperatura de cambio de fase variable y ecuaciones de calor basadas en la ley de Fourier o la ecuación de Guyer-Krumhansl se analiza en. [ 22 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Ecuaciones diferenciales parciales aplicadas . Ockendon, JR (  Ed. revisada). Oxford: Oxford University Press. 2003. ISBN 0-19-852770-5OCLC 52486357​​ {{cite book}}: CS1 mantenimiento: otros ( enlace )
  2. ↑ ( Vuik 1993 , p. 157) . 
  3. ↑ RUBINSTEIN, LI (2016). EL PROBLEMA DE STEFAN . [Lugar de publicación no identificado]: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-2850-1OCLC 973324855​​ 
  4. ↑ Caffarelli, Luis A. (1977). "La regularidad de los límites libres en dimensiones superiores" . Acta Mathematica . 139 (ninguno): 155–184 . doi : 10.1007/BF02392236 . ISSN 0001-5962 . S2CID 123660704 .  
  5. ↑ CAFFARELLI, LUIS A. (1978). "Algunos aspectos del problema de Stefan de una fase" . Indiana University Mathematics Journal . 27 (1): 73– 77. doi : 10.1512/iumj.1978.27.27006 . ISSN 0022-2518 . JSTOR 24891579 .  
  6. ↑ Figalli, Alessio ; Ros-Oton, Xavier ; Serra, Joaquim (2024). "El conjunto singular en el problema de Stefan". Journal of the American Mathematical Society . 37 (2): 305– 389. arXiv : 2103.13379 . doi : 10.1090/jams/1026 . MR 4695505 . 
  7. ↑ Rorvig, Mordechai (6 de octubre de 2021). "Los matemáticos demuestran que el hielo que se derrite sigue siendo liso" . Quanta Magazine . Consultado el 8 de octubre de 2021 .
  8. ↑ Davis, Stephen H., 1939-. Teoría de la solidificación . Cambridge. ISBN 978-0-511-01924-1OCLC 232161077​​ {{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
  9. ↑ Fowler, AC (Andrew Cadle), 1953- (1997). Modelos matemáticos en las ciencias aplicadas . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46140-5OCLC 36621805​​ {{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
  10. ↑ RL Pego. (1989). Migración de frentes en la ecuación no lineal de Cahn-Hilliard. Proc. R. Soc. Lond. A. , 422 :261 – 278.
  11. ↑ Vermolen, FJ; Gharasoo, MG; Zitha, PLJ; Bruining, J. (2009). "Soluciones numéricas de algunos problemas de interfaz difusa: la ecuación de Cahn-Hilliard y el modelo de Thomas y Windle". International Journal for Multiscale Computational Engineering . 7 (6): 523– 543. doi : 10.1615/IntJMultCompEng.v7.i6.40 .
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  13. ↑ A. Călușaru, Deposición electroquímica de polvos metálicos , Elsevier, Ámsterdam, 1978.
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Referencias

Referencias históricas

Referencias científicas y generales

  • Cannon, John Rozier (1984), La ecuación del calor unidimensional , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol.  23 (1.ª  ed.), Reading – Menlo Park – Londres – Don Mills – Sídney – Tokio / Cambridge – Nueva York – New Rochelle – Melbourne – Sídney : Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , pp.  XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2, MR 0747979 , Zbl 0567.35001  Contiene una extensa bibliografía, de la cual 460 referencias tratan sobre el problema de Stefan y otros problemas de frontera libre , actualizada hasta 1982.
  • Kirsch, Andreas (1996), Introducción a la teoría matemática de los problemas inversos , serie Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol.  120, Berlín-Heidelberg-Nueva York: Springer Verlag , pp.  x+282, ISBN 0-387-94530-X, MR 1479408 , Zbl 0865.35004  
  • Meirmanov, Anvarbek M. (1992), El problema de Stefan , Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas, vol.  3, Berlín – Nueva York: Walter de Gruyter , págs.  x+245, doi : 10.1515/9783110846720 , ISBN 3-11-011479-8, MR 1154310 , Zbl 0751.35052  .  –  vía De Gruyter (se requiere suscripción) Una importante monografía de uno de los principales contribuyentes al campo, que describe su demostración de la existencia de una solución clásica al problema de Stefan multidimensional y examina su desarrollo histórico. 
  • Oleinik, OA (1960), "Un método de solución del problema general de Stefan", Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 135 : 1050–1057 , MR 0125341 , Zbl 0131.09202  . El artículo contiene la demostración de Olga Oleinik sobre la existencia y unicidad de una solución generalizada para el problema de Stefan tridimensional , basada en investigaciones previas de su alumna SL Kamenomostskaya .
  • Kamenomostskaya, SL (1958), "Sobre el problema de Stefan", Nauchnye Doklady Vysshey Shkoly, Fiziko-Matematicheskie Nauki (en ruso), 1 (1): 60– 62, Zbl 0143.13901 . El relato anterior de la investigación del autor sobre el problema de Stefan.
  • Kamenomostskaya, SL (1961), "Sobre el problema de Stefan" , Matematicheskii Sbornik (en ruso), 53(95) (4): 489– 514, MR 0141895 , Zbl 0102.09301  En este artículo, la autora demuestra la existencia y unicidad de una solución generalizada para el problema de Stefan tridimensional , que posteriormente fue mejorada por su maestra Olga Oleinik.
  • Rodrigues, JF (1989), "El problema de Stefan revisitado", Modelos matemáticos para problemas de cambio de fase , Birkhäuser, pp. 129–190 , ISBN  0-8176-2309-4
  • Rubinstein, LI (1971), El problema de Stefan , Traducciones de monografías matemáticas, vol.  27, Providence, RI : American Mathematical Society , pp.  viii+419, ISBN 0-8218-1577-6, MR 0351348 , Zbl 0219.35043  Una obra de referencia exhaustiva, escrita por uno de los principales contribuyentes a la teoría, actualizada hasta 1962-1963 y que contiene una bibliografía de 201 entradas.
  • Tarzia, Domingo Alberto (julio de 2000), "Una bibliografía sobre problemas de límites en movimiento libre para la ecuación de difusión de calor. Stefan y problemas relacionados", MAT. Serie A: Conferencias, Seminarios y Trabajos de Matemática , 2 : 1– 297, doi : 10.26422/MAT.A.2000.2.tar , ISSN 1515-4904 , MR 1802028 , Zbl 0963.35207   La impresionante bibliografía personal del autor sobre problemas de frontera móvil y libre (M-FBP) para la ecuación de difusión de calor (H-DE), que contiene aproximadamente 5900 referencias a trabajos publicados en cerca de 884 tipos diferentes de publicaciones, tiene como objetivo ofrecer una visión completa de la literatura matemática, física y de ingeniería occidental existente sobre este campo de investigación. Se ha recopilado prácticamente todo el material sobre el tema, publicado después del primer artículo histórico de Lamé-Clapeyron (1831). Las fuentes incluyen revistas científicas, actas de simposios y congresos, informes técnicos y libros.
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