Evolución temporal de las integrales

En el cálculo diferencial , en muchas aplicaciones, es necesario calcular la tasa de cambio de una integral de volumen o de superficie cuyo dominio de integración , así como el integrando , son funciones de un parámetro particular. En aplicaciones físicas, ese parámetro suele ser el tiempo t .

La tasa de cambio de las integrales unidimensionales con integrandos suficientemente suaves se rige por esta extensión del teorema fundamental del cálculo :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}f\left(t,x\right)dx=\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{\frac {\partial f\left(t,x\right)}{\partial t}}dx+f\left(t,b\left(t\right)\right)b^{\prime }\left(t\right)-f\left(t,a\left(t\right)\right)a^{\prime }\left(t\right)}$

El cálculo de superficies móviles ^{[ 1 ]} proporciona fórmulas análogas para integrales de volumen sobre dominios euclidianos e integrales de superficie sobre geometría diferencial de superficies , superficies curvas, incluidas integrales sobre superficies curvas con límites de contorno móviles .

Sea t un parámetro de tipo temporal y consideremos un dominio dependiente del tiempo Ω con una frontera de superficie suave S. Sea F un campo invariante dependiente del tiempo definido en el interior de Ω . Entonces, la tasa de cambio de la integral${\displaystyle \int _{\Omega }F\,d\Omega }$

se rige por la siguiente ley: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }F\,d\Omega =\int _{\Omega }{\frac {\partial F}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{S}CF\,dS}$

donde C es la velocidad de la interfaz . La velocidad de la interfaz C es el concepto fundamental en el cálculo de superficies móviles . En la ecuación anterior, C debe expresarse con respecto a la normal exterior . Esta ley puede considerarse como la generalización del teorema fundamental del cálculo .

Una ley relacionada rige la tasa de cambio de la integral de superficie.

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

La ley dice

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS}$

donde el${\displaystyle {\delta }/{\delta }t}$- La derivada es el operador fundamental en el cálculo de superficies móviles , propuesto originalmente por Jacques Hadamard .${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$es la traza del tensor de curvatura media . En esta ley, C no necesita expresarse con respecto a la normal exterior, siempre que la elección de la normal sea consistente para C y${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$El primer término de la ecuación anterior captura la tasa de cambio en F, mientras que el segundo corrige la expansión o contracción del área. El hecho de que la curvatura media represente la tasa de cambio en el área se deduce de la aplicación de la ecuación anterior a${\displaystyle F\equiv 1}$desde${\displaystyle \int _{S}\,dS}$es área:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}\,dS=-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }\,dS}$

La ecuación anterior muestra que la curvatura media${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$puede denominarse apropiadamente gradiente de forma de área. Una evolución gobernada por

${\displaystyle C\equiv B_{\alpha }^{\alpha }}$

es el flujo de curvatura media popular y representa el descenso más pronunciado con respecto al área. Nótese que para una esfera de radio R , ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-2/R}$y para un círculo de radio R , ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-1/R}$ con respecto a la normal exterior.

Supongamos que S es una superficie móvil con un contorno móvil γ . Supongamos que la velocidad del contorno γ con respecto a S es c . Entonces, la tasa de cambio de la integral dependiente del tiempo es:

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS+\int _{\gamma }c\,d\gamma }$

El último término refleja el cambio de superficie debido a la anexión, como ilustra la figura de la derecha.