Forma única tautológica

En matemáticas , la 1-forma tautológica es una 1-forma especial definida en el fibrado cotangente.${\displaystyle T^{*}Q}$de un colector${\displaystyle Q.}$En física , se utiliza para crear una correspondencia entre la velocidad de un punto en un sistema mecánico y su momento, proporcionando así un puente entre la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana (en la variedad).${\displaystyle Q}$).

La derivada exterior de esta forma define una forma simpléctica , dando como resultado${\displaystyle T^{*}Q}$la estructura de una variedad simpléctica . La forma tautológica desempeña un papel importante en la relación entre el formalismo de la mecánica hamiltoniana y la mecánica lagrangiana . La forma tautológica también se denomina a veces forma de Liouville , forma de Poincaré , forma canónica o potencial simpléctico . Un objeto similar es el campo vectorial canónico en el fibrado tangente .

Para definir la forma tautológica única, seleccione una tabla de coordenadas.${\displaystyle U}$en${\displaystyle T^{*}Q}$y un sistema de coordenadas canónico en${\displaystyle U.}$Elija un punto arbitrario${\displaystyle m\in T^{*}Q.}$Por definición de haz cotangente,${\displaystyle m=(q,p),}$dónde${\displaystyle q\in Q}$y${\displaystyle p\in T_{q}^{*}Q.}$La forma única tautológica${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}T^{*}Q\to \mathbb {R} }$es dado por $${\displaystyle \theta _{m}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq^{i},}$$ con${\displaystyle n=\mathop {\text{dim}} Q}$y${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$siendo la representación de coordenadas de${\displaystyle p.}$

Cualquier coordenada en${\displaystyle T^{*}Q}$que conservan esta definición, salvo una diferencial total ( forma exacta ), pueden denominarse coordenadas canónicas; las transformaciones entre diferentes sistemas de coordenadas canónicas se conocen como transformaciones canónicas .

La forma simpléctica canónica , también conocida como la forma doble de Poincaré , viene dada por $${\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}}$$

La extensión de este concepto a haces de fibras generales se conoce como forma de soldadura . Por convención, se usa la expresión "forma canónica" cuando la forma tiene una definición única y canónica, y se usa el término "forma de soldadura" cuando se debe hacer una elección arbitraria. En geometría algebraica y geometría compleja , se desaconseja el término "canónico" debido a la confusión con la clase canónica , y se prefiere el término "tautológico", como en haz tautológico .

La 1-forma tautológica también puede definirse de forma bastante abstracta como una forma en el espacio de fases . Sea${\displaystyle Q}$ser múltiple y${\displaystyle M=T^{*}Q}$Sea el fibrado cotangente o espacio de fases . $${\displaystyle \pi :M\to Q}$$ Sea la proyección canónica del fibrado, y sea $${\displaystyle \mathrm {d} \pi :TM\to TQ}$$ Sea el mapa tangente inducido .${\displaystyle m}$ser un punto en${\displaystyle M.}$Desde${\displaystyle M}$es el haz cotangente, podemos entender${\displaystyle m}$ser un mapa del espacio tangente en${\displaystyle q=\pi (m)}$: $${\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .}$$

Es decir, tenemos eso${\displaystyle m}$está en la fibra de${\displaystyle q.}$La forma única tautológica${\displaystyle \theta _{m}}$en el punto${\displaystyle m}$entonces se define como $${\displaystyle \theta _ {m}=m\circ \mathrm {d} _ {m}\pi ​​.}$$

Es un mapa lineal $${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} }$$ y entonces $${\displaystyle \theta :M\to T^{*}M.}$$

El potencial simpléctico generalmente se define de forma un poco más libre, y también solo se define localmente: es cualquier forma única.${\displaystyle \phi }$de tal manera que${\displaystyle \omega =-d\phi }$; en efecto, los potenciales simplécticos difieren de la 1-forma canónica por una forma cerrada .

La forma tautológica única es la única forma única que "cancela" el retroceso . Es decir,${\displaystyle \beta }$ ser un formulario 1 en${\displaystyle Q.}$${\displaystyle \beta }$es una sección${\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q.}$Para una 1-forma arbitraria${\displaystyle \sigma }$en${\displaystyle T^{*}Q,}$el retroceso de${\displaystyle \sigma }$por${\displaystyle \beta }$es, por definición,${\displaystyle \beta ^{*}\sigma$ :=\sigma \circ \beta _{*}.} Aquí,${\displaystyle \beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q}$es el impulso hacia adelante de${\displaystyle \beta .}$Como${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle \beta ^{*}\sigma}$es una forma 1 en${\displaystyle Q.}$La forma única tautológica${\displaystyle \theta }$es la única forma con la propiedad que${\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ,}$por cada 1-formulario${\displaystyle \beta }$en${\displaystyle Q.}$

Así, mediante la conmutación entre la derivada inversa y la derivada exterior, $${\displaystyle \beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}\,d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .}$$

Si${\displaystyle H}$es un hamiltoniano en el fibrado cotangente y${\displaystyle X_{H}}$es su campo vectorial hamiltoniano , entonces la acción correspondiente${\displaystyle S}$es dado por $${\displaystyle S=\theta (X_{H}).}$$

En términos más prosaicos, el flujo hamiltoniano representa la trayectoria clásica de un sistema mecánico que obedece las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi . El flujo hamiltoniano es la integral del campo vectorial hamiltoniano, y así se escribe, utilizando la notación tradicional para las variables de acción-ángulo : $${\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}}$$ entendiendo que la integral se toma sobre la variedad definida al mantener la energía${\displaystyle E}$constante:${\displaystyle H=E={\text{const}}.}$

Si el colector${\displaystyle Q}$tiene una métrica riemanniana o pseudoriemanniana${\displaystyle g,}$Entonces se pueden hacer definiciones correspondientes en términos de coordenadas generalizadas . Específicamente, si tomamos la métrica como un mapa $${\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q,}$$ luego definir $${\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }$$ y $${\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega }$$

En coordenadas generalizadas${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$en${\displaystyle TQ,}$uno tiene $${\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}$$ y $${\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}}$$

La métrica permite definir una esfera de radio unitario en${\displaystyle T^{*}Q.}$La forma canónica restringida a esta esfera forma una estructura de contacto ; la estructura de contacto puede utilizarse para generar el flujo geodésico para esta métrica.

• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-XVéase la sección 3.2 .