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Base canónica

En matemáticas , una base canónica es una base de una estructura algebraica que es canónica en un sentido que depende del contexto preciso: En un espacio de coordenadas , y más ...

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En matemáticas , una base canónica es una base de una estructura algebraica que es canónica en un sentido que depende del contexto preciso:

Teoría de la representación

La base canónica para las representaciones irreducibles de un álgebra envolvente cuantizada de tipoADmi{\displaystyle ADE}y también para la parte positiva de esa álgebra fue introducida por Lusztig [ 2 ] mediante dos métodos: uno algebraico (usando una acción de grupo de trenzas y bases PBW) y uno topológico (usando cohomología de intersección). Especializando el parámetroq{\displaystyle q}aq=1{\displaystyle q=1}proporciona una base canónica para las representaciones irreducibles del álgebra de Lie simple correspondiente , que no se conocía anteriormente. Especializando el parámetroq{\displaystyle q}aq=0{\displaystyle q=0}produce algo así como una sombra de una base. Esta sombra (pero no la base en sí) para el caso de representaciones irreducibles fue considerada independientemente por Kashiwara; [ 3 ] a veces se la llama base cristalina . La definición de la base canónica fue extendida al entorno de Kac-Moody por Kashiwara [ 4 ] (mediante un método algebraico) y por Lusztig [ 5 ] (mediante un método topológico).

Existe un concepto general subyacente a estas bases:

Consideremos el anillo de polinomios enteros de Laurent.Z:=Z[v,v−1]{\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]}con sus dos subanillosZ±:=Z[v±1]{\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }:=\mathbb {Z} \left[v^{\pm 1}\right]}y el automorfismo⋅¯{\displaystyle {\overline {\cdot }}}definido porv¯:=v−1{\displaystyle {\overline {v}}:=v^{-1}}.

Una estructura precanónica en un libreZ{\displaystyle {\mathcal {Z}}}-móduloF{\displaystyle F}consta de

  • Una base estándar(ti)i∈I{\displaystyle (t_{i})_{i\in I}}deF{\displaystyle F},
  • Un intervalo de orden parcial finito enI{\displaystyle I}, eso es,(−∞,i]:={j∈I∣j≤i}{\displaystyle (-\infty ,i]:=\{j\in I\mid j\leq i\}}es finito para todosi∈I{\displaystyle i\in I},
  • Una operación de dualización, es decir, una biyección.F→F{\displaystyle F\to F}de orden dos, es decir⋅¯{\displaystyle {\overline {\cdot }}}- semilineal y se denotará por⋅¯{\displaystyle {\overline {\cdot }}}también.

Si se da una estructura precanónica, entonces se puede definir laZ±{\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }}submóduloF±:=∑Z±tj{\textstyle F^{\pm }:=\sum {\mathcal {Z}}^{\pm }t_{j}}deF{\displaystyle F}.

Una base canónica de la estructura precanónica es entonces unaZ{\displaystyle {\mathcal {Z}}}-base(doi)i∈I{\displaystyle (c_{i})_{i\in I}}deF{\displaystyle F}que satisface:

  • doi¯=doi{\displaystyle {\overline {c_{i}}}=c_{i}}y
  • doi∈∑j≤iZ+tj y doi≡timodvF+{\displaystyle c_{i}\in \sum _{j\leq i}{\mathcal {Z}}^{+}t_{j}{\text{ y }}c_{i}\equiv t_{i}\mod vF^{+}}

a pesar dei∈I{\displaystyle i\in I}.

Se puede demostrar que existe como máximo una base canónica para cada estructura precanónica. [ 6 ] Una condición suficiente para la existencia es que los polinomiosrij∈Z{\displaystyle r_{ij}\in {\mathcal {Z}}}definido portj¯=∑irijti{\textstyle {\overline {t_{j}}}=\sum _{i}r_{ij}t_{i}}satisfacerrii=1{\displaystyle r_{ii}=1}yrij≠0⟹i≤j{\displaystyle r_{ij}\neq 0\implies i\leq j}.

Una base canónica induce un isomorfismo deF+∩F+¯=∑iZdoi{\displaystyle \textstyle F^{+}\cap {\overline {F^{+}}}=\sum _ {i}\mathbb {Z} c_ {i}}aF+/vF+{\displaystyle F^{+}/vF^{+}}.

Álgebras de Hecke

Dejar(W,S){\displaystyle (W,S)}sea ​​un grupo de Coxeter . El álgebra de Iwahori-Hecke correspondienteH{\displaystyle H}tiene la base estándar(Tw)w∈W{\displaystyle (T_{w})_{w\in W}}, el grupo está parcialmente ordenado por el orden de Bruhat que es de intervalo finito y tiene una operación de dualización definida porTw¯:=Tw−1−1{\displaystyle {\overline {T_{w}}}:=T_{w^{-1}}^{-1}}Esta es una estructura precanónica enH{\displaystyle H}que satisface la condición suficiente anterior y la base canónica correspondiente deH{\displaystyle H}es la base Kazhdan-Lusztig

dow′=∑y≤wPAGy,w(v2)Tw{\displaystyle C_{w}'=\sum _{y\leq w}P_{y,w}(v^{2})T_{w}}

conPAGy,w{\displaystyle P_{y,w}}siendo los polinomios de Kazhdan-Lusztig .

Álgebra lineal

Si se nos da una matriz n × nA{\displaystyle A}y deseo encontrar una matrizJ{\displaystyle J}en forma normal de Jordania , similar aA{\displaystyle A}Nos interesan únicamente los conjuntos de autovectores generalizados linealmente independientes . Una matriz en forma normal de Jordan es una "matriz casi diagonal", es decir, lo más cercana posible a la diagonal. Una matriz diagonalD{\displaystyle D}es un caso especial de una matriz en forma normal de Jordan. Un vector propio ordinario es un caso especial de un vector propio generalizado.

Cada matriz n × nA{\displaystyle A}posee n autovectores generalizados linealmente independientes. Los autovectores generalizados correspondientes a autovalores distintos son linealmente independientes. Siλ{\displaystyle \lambda }es un valor propio deA{\displaystyle A}de multiplicidad algebraicaμ{\displaystyle \mu }, entoncesA{\displaystyle A}tendráμ{\displaystyle \mu }autovectores generalizados linealmente independientes correspondientes aλ{\displaystyle \lambda }.

Para cualquier matriz n × n dadaA{\displaystyle A}, existen infinitas maneras de elegir los n autovectores generalizados linealmente independientes. Si se eligen de una manera particularmente juiciosa, podemos usar estos vectores para demostrar queA{\displaystyle A}es similar a una matriz en forma normal de Jordan. En particular,

Definición: Un conjunto de n autovectores generalizados linealmente independientes es una base canónica si está compuesto enteramente por cadenas de Jordan.

Así, una vez que hemos determinado que un vector propio generalizado de rango m está en una base canónica, se deduce que los m − 1 vectoresincógnitametro−1,incógnitametro−2,…,incógnita1{\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}que se encuentran en la cadena de Jordan generada porincógnitametro{\displaystyle \mathbf {x} _{m}}También están en la base canónica. [ 7 ]

Cálculo

Dejarλi{\displaystyle \lambda _{i}}ser un valor propio deA{\displaystyle A}de multiplicidad algebraicaμi{\displaystyle \mu _{i}}Primero, halla los rangos (rangos de matriz) de las matrices(A−λiI),(A−λiI)2,…,(A−λiI)metroi{\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}. El número enterometroi{\displaystyle m_{i}}se determina que es el primer número entero para el cual(A−λiI)metroi{\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}tiene rangonorte−μi{\displaystyle n-\mu _{i}}( donde n es el número de filas o columnas deA{\displaystyle A}, eso es,A{\displaystyle A}es n × n ).

Ahora define

ρk=rango⁡(A−λiI)k−1−rango⁡(A−λiI)k(k=1,2,…,metroi).{\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}

La variableρk{\displaystyle \rho _{k}}designa el número de autovectores generalizados linealmente independientes de rango k (rango de autovector generalizado; véase autovector generalizado ) correspondiente al autovalorλi{\displaystyle \lambda _{i}}que aparecerá en una base canónica paraA{\displaystyle A}. Tenga en cuenta que

rango⁡(A−λiI)0=rango⁡(I)=norte.{\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n.}

Una vez que hemos determinado el número de autovectores generalizados de cada rango que tiene una base canónica, podemos obtener los vectores explícitamente (véase autovector generalizado ). [ 8 ]

Ejemplo

Este ejemplo ilustra una base canónica con dos cadenas de Jordan. Desafortunadamente, es un poco difícil construir un ejemplo interesante de orden bajo. [ 9 ] La matriz

A=(41100−1042001004100000510000052000004){\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&1&1&0&0&-1\\0&4&2&0&0&1\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&5&1&0\\0&0&0&0&5&2\\0&0&0&0&0&4\end{pmatrix}}}

tiene valores propiosλ1=4{\displaystyle \lambda _{1}=4}yλ2=5{\displaystyle \lambda _{2}=5}con multiplicidades algebraicasμ1=4{\displaystyle \mu _{1}=4}yμ2=2{\displaystyle \mu _{2}=2}pero multiplicidades geométricasγ1=1{\displaystyle \gamma _{1}=1}yγ2=1{\displaystyle \gamma _{2}=1}.

Paraλ1=4,{\displaystyle \lambda _{1}=4,}tenemosnorte−μ1=6−4=2,{\displaystyle n-\mu _{1}=6-4=2,}

(A−4I){\displaystyle (A-4I)}tiene rango 5,
(A−4I)2{\displaystyle (A-4I)^{2}}tiene rango 4,
(A−4I)3{\displaystyle (A-4I)^{3}}tiene rango 3,
(A−4I)4{\displaystyle (A-4I)^{4}}tiene el puesto 2.

Por lo tantometro1=4.{\displaystyle m_{1}=4.}

ρ4=rango⁡(A−4I)3−rango⁡(A−4I)4=3−2=1,{\displaystyle \rho _{4}=\operatorname {rank} (A-4I)^{3}-\operatorname {rank} (A-4I)^{4}=3-2=1,}
ρ3=rango⁡(A−4I)2−rango⁡(A−4I)3=4−3=1,{\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-4I)^{2}-\operatorname {rank} (A-4I)^{3}=4-3=1,}
ρ2=rango⁡(A−4I)1−rango⁡(A−4I)2=5−4=1,{\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-4I)^{1}-\operatorname {rank} (A-4I)^{2}=5-4=1,}
ρ1=rango⁡(A−4I)0−rango⁡(A−4I)1=6−5=1.{\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-4I)^{0}-\operatorname {rank} (A-4I)^{1}=6-5=1.}

Por lo tanto, una base canónica paraA{\displaystyle A}tendrá, correspondiente aλ1=4,{\displaystyle \lambda _{1}=4,}un vector propio generalizado de rango 4, 3, 2 y 1.

Paraλ2=5,{\displaystyle \lambda _{2}=5,}tenemosnorte−μ2=6−2=4,{\displaystyle n-\mu _{2}=6-2=4,}

(A−5I){\displaystyle (A-5I)}tiene rango 5,
(A−5I)2{\displaystyle (A-5I)^{2}}tiene el puesto 4.

Por lo tantometro2=2.{\displaystyle m_{2}=2.}

ρ2=rango⁡(A−5I)1−rango⁡(A−5I)2=5−4=1,{\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=5-4=1,}
ρ1=rango⁡(A−5I)0−rango⁡(A−5I)1=6−5=1.{\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=6-5=1.}

Por lo tanto, una base canónica paraA{\displaystyle A}tendrá, correspondiente aλ2=5,{\displaystyle \lambda _{2}=5,}un vector propio generalizado de rango 2 y otro de rango 1.

Una base canónica paraA{\displaystyle A}es

{incógnita1,incógnita2,incógnita3,incógnita4,y1,y2}={(−400000),(−27−40000),(25−25−2000),(036−12−22−1),(321100),(−8−4−1010)}.{\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{4},\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}-4\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-27\\-4\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}25\\-25\\-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\36\\-12\\-2\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\2\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-8\\-4\\-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}.}

incógnita1{\displaystyle \mathbf {x} _{1}}es el vector propio ordinario asociado conλ1{\displaystyle \lambda _{1}}. incógnita2,incógnita3{\displaystyle \mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}}yincógnita4{\displaystyle \mathbf {x} _{4}}son vectores propios generalizados asociados conλ1{\displaystyle \lambda _{1}}. y1{\displaystyle \mathbf {y} _{1}}es el vector propio ordinario asociado conλ2{\displaystyle \lambda _{2}}. y2{\displaystyle \mathbf {y} _{2}}es un vector propio generalizado asociado conλ2{\displaystyle \lambda _{2}}.

Una matrizJ{\displaystyle J}en Jordania forma normal, similar aA{\displaystyle A}se obtiene de la siguiente manera:

METRO=(incógnita1incógnita2incógnita3incógnita4y1y2)=(−4−272503−80−4−25362−400−2−121−1000−210000201000−100),{\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {x} _{4}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-27&25&0&3&-8\\0&-4&-25&36&2&-4\\0&0&-2&-12&1&-1\\0&0&0&-2&1&0\\0&0&0&2&0&1\\0&0&0&-1&0&0\end{pmatrix}},}
J=(410000041000004100000400000051000005),{\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&1&0&0&0&0\\0&4&1&0&0&0\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&5\end{pmatrix}},}

donde la matrizMETRO{\displaystyle M}es una matriz modal generalizada paraA{\displaystyle A}yAMETRO=METROJ{\displaystyle AM=MJ}. [ 10 ]

Véase también

Notas

Referencias

  • Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN 70097490 
  • Deng, Bangming; Ju, Jie; Parshall, Brian; Wang, Jianpan (2008), Álgebras de dimensión finita y grupos cuánticos , Encuestas y monografías matemáticas, vol.  150, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 9780821875315
  • Kashiwara, Masaki (1990), "Cristalizando el q-análogo de las álgebras envolventes universales" , Communications in Mathematical Physics , 133 (2): 249–260 , Bibcode : 1990CMaPh.133..249K , doi : 10.1007/bf02097367 , ISSN 0010-3616 , MR 1090425 , S2CID 121695684   
  • Kashiwara, Masaki (1991), "Sobre bases cristalinas del q-análogo de álgebras envolventes universales" , Duke Mathematical Journal , 63 (2): 465–516 , doi : 10.1215/S0012-7094-91-06321-0 , ISSN 0012-7094 , MR 1115118  
  • Lusztig, George (1990), "Bases canónicas derivadas de álgebras envolventes cuantizadas", Journal of the American Mathematical Society , 3 (2): 447– 498, doi : 10.2307/1990961 , ISSN 0894-0347 , JSTOR 1990961 , MR 1035415   
  • Lusztig, George (1991), "Quivers, perverse sheaves and quantized enveloping algebras", Journal of the American Mathematical Society , 4 (2): 365– 421, doi : 10.2307/2939279 , ISSN 0894-0347 , JSTOR 2939279 , MR 1088333   
  • Lusztig, George (1993), Introducción a los grupos cuánticos , Boston, MA: Birkhauser Boston, ISBN 0-8176-3712-5, MR 1227098 
  • Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª  ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646