Longitud capilar

{\displaystyle \lambda _{c}} — La longitud capilar variará para diferentes líquidos y diferentes condiciones. Aquí hay una imagen de una gota de agua sobre una hoja de loto. Si la temperatura es de 20 ^o entonces $\lambda _{c}$ = 2,71 mm

La longitud capilar o constante capilar es un factor de escala que relaciona la gravedad y la tensión superficial . Es una propiedad física fundamental que rige el comportamiento de los meniscos y se encuentra cuando las fuerzas de volumen (gravedad) y las fuerzas superficiales ( presión de Laplace ) están en equilibrio.

La presión de un fluido estático no depende de su forma, masa total ni área superficial. Es directamente proporcional a su peso específico (la fuerza ejercida por la gravedad sobre un volumen específico ) y a su altura vertical. Sin embargo, un fluido también experimenta una presión inducida por la tensión superficial, comúnmente conocida como presión de Young-Laplace . ^{[ 1 ]} La tensión superficial se origina a partir de las fuerzas de cohesión entre las moléculas, y en el seno del fluido, las moléculas experimentan fuerzas de atracción desde todas las direcciones. La superficie de un fluido es curva porque las moléculas expuestas en la superficie tienen menos interacciones vecinas, lo que resulta en una fuerza neta que contrae la superficie. Existe una diferencia de presión a cada lado de esta curvatura, y cuando esta se equilibra con la presión debida a la gravedad, se puede reordenar para hallar la longitud capilar. ^{[ 2 ]}

En el caso de una interfaz fluido-fluido, por ejemplo una gota de agua sumergida en otro líquido, la longitud capilar denotada $\lambda _{\rm {c}}$ o $l_{\rm {c}}$ se suele dar mediante la fórmula,

\lambda _{\rm {c}}={\sqrt {\frac {\gamma }{\Delta \rho g}}}

,

dónde $\gamma$ es la tensión superficial de la interfaz del fluido, $g$ es la aceleración gravitacional y $\Delta \rho$ es la diferencia de densidad de masa de los fluidos. La longitud capilar a veces se denota $\kappa ^{-1}$ en relación con la notación matemática para la curvatura . El término constante capilar es algo engañoso, porque es importante reconocer que $\lambda _{\rm {c}}$ es una composición de cantidades variables, por ejemplo, el valor de la tensión superficial variará con la temperatura y la diferencia de densidad cambiará dependiendo de los fluidos involucrados en una interacción interfacial. Sin embargo, si se conocen estas condiciones, la longitud capilar puede considerarse una constante para cualquier líquido dado y utilizarse en numerosos problemas de mecánica de fluidos para escalar las ecuaciones derivadas de modo que sean válidas para cualquier fluido. ^{[ 3 ]} Para fluidos moleculares, las tensiones interfaciales y las diferencias de densidad son típicamente del orden de $10-100$ mN m ⁻¹ y $0.1-1$ g mL ⁻¹ respectivamente, lo que resulta en una longitud capilar de $\sim 3$ mm para el agua y el aire a temperatura ambiente en la Tierra. ^{[ 4 ]} Por otro lado, la longitud capilar sería ${\lambda \scriptscriptstyle c}=6.68$ mm para agua-aire en la luna. Para una burbuja de jabón , la tensión superficial debe dividirse por el espesor medio, lo que da como resultado una longitud capilar de aproximadamente $3$ metros en el aire! ^{[ 5 ]} La ecuación para $\lambda _{\rm {c}}$ También se puede encontrar con un extra ${\sqrt {2}}$ término, usado con mayor frecuencia al normalizar la altura capilar. ^{[ 6 ]}

Origen

Teorético

Una forma de derivar teóricamente la longitud capilar es imaginar una gota de líquido en el punto donde la tensión superficial equilibra la gravedad.

Sea una gota esférica con radio $\lambda _{c}$ ,

La presión de Laplace característica $P_{\gamma }$ , debido a la tensión superficial, es igual a

P_{\gamma }=2{\frac {\gamma }{\lambda _{\rm {c}}}}

,

dónde $\gamma$ es la tensión superficial. La presión debida a la gravedad (presión hidrostática) $P_{\rm {h}}$ de una columna de líquido viene dada por

P_{\rm {h}}=\rho gh=2\rho g\lambda _{\rm {c}}

,

dónde $\rho$ es la densidad de las gotas, $g$ la aceleración gravitacional y $h=2\lambda _{\rm {c}}$ es la altura de la gota.

En el punto donde la presión de Laplace equilibra la presión debida a la gravedad $P_{\rm {h}}=P_{\gamma }$ ,

\lambda _{\rm {c}}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}}

.

Relación con el número de Eötvös

La derivación anterior puede utilizarse al trabajar con el número de Eötvös , una magnitud adimensional que representa la relación entre las fuerzas gravitatorias y la tensión superficial del líquido. A pesar de haber sido introducido por Loránd Eötvös en 1886, desde entonces se ha desvinculado bastante de él, siendo reemplazado por Wilfrid Noel Bond, de modo que ahora se le conoce como número de Bond en la literatura reciente.

El número de Bond se puede escribir de manera que incluya una longitud característica, normalmente el radio de curvatura de un líquido, y la longitud capilar ^{[ 7 ].}

\mathrm {Bo} ={\frac {\Delta \rho \,g\,L^{2}}{\gamma }}

,

con los parámetros definidos anteriormente, y $L$ el radio de curvatura.

Por lo tanto, el número de bono se puede escribir como

\mathrm {Bo} =\left({\frac {L}{\lambda _{\rm {c}}}}\right)^{2}

,

con $\lambda _{\rm {c}}$ la longitud capilar.

Si el número de enlace se establece en 1, entonces la longitud característica es la longitud capilar.

Experimental

La longitud capilar también puede determinarse mediante la manipulación de diversos fenómenos físicos. Un método consiste en centrarse en la acción capilar , que es la atracción de la superficie de un líquido hacia un sólido circundante. ^{[ 8 ]}

Asociación con la ley de Jurin

La ley de Jurin es una ley cuantitativa que demuestra que la altura máxima que puede alcanzar un líquido en un tubo capilar es inversamente proporcional al diámetro del tubo. Esta ley se puede ilustrar matemáticamente durante el ascenso capilar, un experimento tradicional que mide la altura de un líquido en un tubo capilar. Al introducir un tubo capilar en un líquido, este asciende o desciende debido a un desequilibrio de presión. La altura característica es la distancia desde la base del menisco hasta la parte inferior del tubo, y se alcanza cuando la presión de Laplace y la presión gravitatoria se equilibran. Es posible reorganizar la ecuación para mostrar la longitud capilar en función de la tensión superficial y la gravedad.

\lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr}{2\cos \theta }}

,

con $h$ la altura del líquido, $r$ el radio del tubo capilar y $\theta$ el ángulo de contacto .

El ángulo de contacto se define como el ángulo formado por la intersección de la interfaz líquido-sólido y la interfaz líquido-vapor. ^{[ 2 ]} El tamaño del ángulo cuantifica la humectabilidad del líquido, es decir, la interacción entre el líquido y la superficie sólida. Un ángulo de contacto de $\theta =0$ puede considerarse una humectación perfecta.

\lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr}{2}}

.

Por lo tanto, el $\lambda _{\rm {c}}^{2}$ forma una ecuación cíclica de 3 factores con $r,h$ .

Esta propiedad suele ser utilizada por los físicos para estimar la altura que alcanzará un líquido en un tubo capilar de radio conocido, sin necesidad de realizar un experimento. Cuando la altura característica del líquido es suficientemente menor que la longitud del capilar, se puede despreciar el efecto de la presión hidrostática debida a la gravedad. ^{[ 9 ]}

Utilizando las mismas premisas de ascenso capilar, se puede encontrar la longitud capilar en función del aumento de volumen y del perímetro de humectación de las paredes capilares. ^{[ 10 ]}

Asociación con una gota sésil

Otra forma de calcular la longitud capilar es utilizando diferentes puntos de presión dentro de una gota sésil , donde cada punto tiene un radio de curvatura, y aplicándolos a la ecuación de presión de Laplace. En este caso, la ecuación se resuelve para obtener la altura del menisco, que también permite calcular la longitud capilar.

La forma de una gota sésil es directamente proporcional a si su radio es mayor o menor que la longitud capilar. Las microgotas son gotas con un radio menor que la longitud capilar, y su forma está determinada únicamente por la tensión superficial, adoptando una forma de casquete esférico. Si una gota tiene un radio mayor que la longitud capilar, se denomina macrogota y predominan las fuerzas gravitatorias. Las macrogotas se aplanan por efecto de la gravedad y su altura disminuye. ^{[ 11 ]}

Historia

Las investigaciones sobre capilaridad se remontan a Leonardo da Vinci , aunque la idea de la longitud capilar no se desarrolló hasta mucho después. Fundamentalmente, la longitud capilar es producto del trabajo de Thomas Young y Pierre Laplace . Ambos comprendieron que la tensión superficial surge de las fuerzas cohesivas entre partículas y que la forma de la superficie de un líquido refleja el corto alcance de estas fuerzas. A principios del siglo XIX, derivaron de forma independiente ecuaciones de presión , pero debido a la notación y la presentación, a menudo se le atribuye el mérito a Laplace. La ecuación mostraba que la presión dentro de una superficie curva entre dos fluidos estáticos siempre es mayor que la presión fuera de dicha superficie, pero que la presión disminuye hasta cero a medida que el radio tiende al infinito. Dado que la fuerza es perpendicular a la superficie y actúa hacia el centro de la curvatura, un líquido ascenderá cuando la superficie sea cóncava y descenderá cuando sea convexa. ^{[ 12 ]} Esta fue una explicación matemática del trabajo publicado por James Jurin en 1719, ^{[ 13 ]} donde cuantificó una relación entre la altura máxima alcanzada por un líquido en un tubo capilar y su diámetro: la ley de Jurin . ^{[ 10 ]} La longitud capilar evolucionó a partir del uso de la ecuación de presión de Laplace en el punto donde se equilibra la presión debida a la gravedad, y a veces se la denomina constante capilar de Laplace, después de haber sido introducida por Laplace en 1806. ^{[ 14 ]}

En la naturaleza

Burbujas

Al igual que una gota, las burbujas son redondas porque las fuerzas cohesivas atraen sus moléculas hacia la agrupación más compacta posible, una esfera. Debido al aire atrapado dentro de la burbuja, es imposible que el área de la superficie se reduzca a cero, por lo tanto, la presión dentro de la burbuja es mayor que fuera, porque si las presiones fueran iguales, la burbuja simplemente colapsaría. ^{[ 15 ]} Esta diferencia de presión se puede calcular a partir de la ecuación de presión de Laplace.

\Delta P={\frac {2\gamma }{R}}

.

Para una burbuja de jabón, existen dos superficies límite, interna y externa, y por lo tanto dos contribuciones a la presión en exceso y la fórmula de Laplace se duplica a

\Delta P={\frac {4\gamma }{R}}

. ^{[ 16 ]}

La longitud capilar se puede calcular de la misma manera, excepto que el espesor de la película, $e_{0}$ debe tenerse en cuenta ya que la burbuja tiene un centro hueco, a diferencia de la gota que es un sólido. En lugar de pensar en una gota donde cada lado es $\lambda _{c}$ como en la derivación anterior, para una burbuja $m$ ahora es

m=\Delta \rho R^{2}e_{0}

,

con $R$ y $e_{0}$ el radio y el grosor de la burbuja, respectivamente.

Como se indicó anteriormente, la presión de Laplace y la presión hidrostática se igualan, lo que resulta en:

R={\frac {\gamma }{\Delta \rho ge_{0}}}={\frac {\lambda _{\rm {c}}^{2}}{e_{0}}}

.

De este modo, la longitud capilar contribuye a un límite fisicoquímico que determina el tamaño máximo que puede alcanzar una burbuja de jabón. ^{[ 5 ]}

Véase también

Referencias

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