trayectoria parabólica

En astrodinámica o mecánica celeste, una trayectoria parabólica es una órbita de Kepler con excentricidad ( e ) igual a 1 y es una órbita no ligada que se encuentra exactamente en el límite entre elíptica e hiperbólica. Cuando se aleja de la fuente se llama órbita de escape , de lo contrario, órbita de captura . También se la conoce a veces como una${\displaystyle C_{3}=0}$órbita (ver energía característica ).

Bajo supuestos estándar, un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita de escape seguirá una trayectoria parabólica hasta el infinito, con una velocidad relativa al cuerpo central que tiende a cero, y por lo tanto nunca regresará. Las trayectorias parabólicas son trayectorias de escape de energía mínima, que separan las trayectorias hiperbólicas de energía positiva de las órbitas elípticas de energía negativa .

En 1609, Galileo escribió en su folio 102 ^{[ 1 ] [ 2 ]} ( MS . Gal 72 ^{[ 3 ]} ) sobre cálculos de trayectorias parabólicas, ^{[ 1 ]} encontrado más tarde en Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze como impulso de proyectiles . ^{[ 4 ]}

La velocidad orbital (${\displaystyle v}$) de un cuerpo que se desplaza a lo largo de una trayectoria parabólica se puede calcular como:

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over r}}}$

dónde:

• ${\displaystyle r}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional estándar .

En cualquier posición, el cuerpo en órbita tiene la velocidad de escape correspondiente a esa posición.

Si un cuerpo tiene una velocidad de escape con respecto a la Tierra, esta no es suficiente para escapar del Sistema Solar, por lo que cerca de la Tierra la órbita se asemeja a una parábola, pero más lejos se curva en una órbita elíptica alrededor del Sol.

Esta velocidad (${\displaystyle v}$) está estrechamente relacionada con la velocidad orbital de un cuerpo en una órbita circular de radio igual a la posición radial del cuerpo en órbita sobre la trayectoria parabólica:

${\displaystyle v={\sqrt {2}}\,v_{o}}$

dónde:

• ${\displaystyle v_{o}}$es la velocidad orbital de un cuerpo en órbita circular .

Para un cuerpo que se mueve a lo largo de este tipo de trayectoria, la ecuación orbital es:

${\displaystyle r={h^{2} \over \mu }{1 \over {1+\cos \nu }}}$

dónde:

• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle h\,}$es el momento angular específico del cuerpo en órbita ,
• ${\displaystyle \nu \,}$es la verdadera anomalía del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Bajo supuestos estándar, la energía orbital específica (${\displaystyle \epsilon }$) de una trayectoria parabólica es cero, por lo que la ecuación de conservación de la energía orbital para esta trayectoria toma la forma:

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}=0}$

dónde:

• ${\displaystyle v\,}$es la velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• ${\displaystyle r\,}$es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
• ${\displaystyle \mu \,}$es el parámetro gravitacional estándar .

Esto es totalmente equivalente a que la energía característica (el cuadrado de la velocidad en el infinito) sea 0:

${\displaystyle C_{3}=0}$

La ecuación de Barker relaciona el tiempo de vuelo.${\displaystyle t}$a la verdadera anomalía${\displaystyle \nu }$de una trayectoria parabólica: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

dónde:

• ${\displaystyle D=\tan {\frac {\nu }{2}}}$es una variable auxiliar
• ${\displaystyle T}$es el momento del paso del periapsis
• ${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional estándar
• ${\displaystyle p}$es el semi-lato recto de la trayectoria, dado por${\displaystyle p=h^{2}/\mu }$

En términos más generales, el tiempo (época) entre dos puntos cualesquiera de una órbita es

${\displaystyle t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)}$

Alternativamente, la ecuación puede expresarse en términos de distancia del periapsis, en una órbita parabólica.${\displaystyle r_{p}=p/2}$:

${\displaystyle t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

A diferencia de la ecuación de Kepler , que se utiliza para resolver anomalías verdaderas en trayectorias elípticas e hiperbólicas, la anomalía verdadera en la ecuación de Barker se puede resolver directamente para${\displaystyle t}$Si se realizan las siguientes sustituciones

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)\\[3pt]B&={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)}$

Con funciones hiperbólicas la solución también se puede expresar como: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(2\sinh {\frac {\mathrm {arcsinh} {\frac {3M}{2}}}{3}}\right)}$

dónde

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}$

Una trayectoria parabólica radial es una trayectoria no periódica en línea recta donde la velocidad relativa de los dos objetos es siempre la velocidad de escape . Existen dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan entre sí.

Existe una expresión bastante simple para la posición en función del tiempo:

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}\mu t^{2}}}}$

dónde

• ${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional estándar
• ${\displaystyle t=0\!\,}$corresponde al tiempo extrapolado del inicio o final ficticio en el centro del cuerpo central.

En cualquier momento la velocidad media de${\displaystyle t=0\!\,}$es 1,5 veces la velocidad actual, es decir, 1,5 veces la velocidad de escape local.

Tener${\displaystyle t=0\!\,}$En la superficie, se aplica un desfase temporal; para la Tierra (y cualquier otro cuerpo con simetría esférica y la misma densidad media) como cuerpo central, este desfase temporal es de 6 minutos y 20 segundos; siete de estos periodos después, la altura sobre la superficie es tres veces el radio, etc.

• órbita de Kepler
• Parábola