Spline de Hermite cúbico

En el intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$, dado un punto de partida${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{0}}$en${\displaystyle t=0}$y un punto final${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{1}}$en${\displaystyle t=1}$con tangente inicial${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{0}}$en${\displaystyle t=0}$y tangente final${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{1}}$en${\displaystyle t=1}$, el polinomio se puede definir por $${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=\left(2t^{3}-3t^{2}+1\right){\boldsymbol {p}}_{0}+\left(t^{3}-2t^{2}+t\right){\boldsymbol {m}}_{0}+\left(-2t^{3}+3t^{2}\right){\boldsymbol {p}}_{1}+\left(t^{3}-t^{2}\right){\boldsymbol {m}}_{1},}$$ donde t ∈ [0, 1].

Interpolación${\displaystyle x}$en un intervalo arbitrario${\displaystyle (x_{k},x_{k+1})}$se hace mapeando este último a${\displaystyle [0,1]}$mediante un cambio de variable afín (de grado 1). La fórmula es $${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(x)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{k}+h_{10}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{k+1}+h_{11}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k+1},}$$ dónde${\displaystyle t=(x-x_{k})/(x_{k+1}-x_{k})}$, y${\displaystyle h}$se refiere a las funciones base, definidas a continuación . Nótese que los valores tangentes se han escalado por${\displaystyle x_{k+1}-x_{k}}$comparado con la ecuación en el intervalo unitario .

La fórmula especificada anteriormente proporciona la única trayectoria polinómica de tercer grado entre los dos puntos con las tangentes dadas.

Prueba. Dejemos${\displaystyle P,Q}$Sean dos polinomios de tercer grado que satisfagan las condiciones de contorno dadas. Defina${\displaystyle R=QP,}$entonces:

${\displaystyle R(0)=Q(0)-P(0)=0,}$

${\displaystyle R(1)=Q(1)-P(1)=0.}$

Dado que ambos${\displaystyle Q}$y${\displaystyle P}$son polinomios de tercer grado,${\displaystyle R}$es como máximo un polinomio de tercer grado. Por lo tanto,${\displaystyle R}$debe ser de la forma $${\displaystyle R(x)=ax(x-1)(xr).}$$ Calcular la derivada da como resultado $${\displaystyle R'(x)=ax(x-1)+ax(xr)+a(x-1)(xr).}$$

Sabemos además que

${\displaystyle R'(0)=Q'(0)-P'(0)=0,}$

${\displaystyle R'(1)=Q'(1)-P'(1)=0,}$

Al combinar ( 1 ) y ( 2 ), deducimos que${\displaystyle a=0}$y por lo tanto${\displaystyle R=0,}$de este modo${\displaystyle P=Q.}$

Podemos escribir el polinomio de interpolación en el intervalo unitario (para un intervalo arbitrario, véase la versión reescalada anterior ) como $${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{0}+h_{10}(t){\boldsymbol {m}}_{0}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{1}+h_{11}(t){\boldsymbol {m}}_{1}}$$ dónde${\displaystyle h_{00}}$,${\displaystyle h_{10}}$,${\displaystyle h_{01}}$,${\displaystyle h_{11}}$son funciones base de Hermite. Estas se pueden escribir de diferentes maneras, y cada forma revela propiedades diferentes:

La columna "expandida" muestra la representación utilizada en la definición anterior. La columna "factorizada" muestra inmediatamente que${\displaystyle h_{10}}$y${\displaystyle h_{11}}$son cero en los límites. Además, se puede concluir que${\displaystyle h_{01}}$y${\displaystyle h_{11}}$tienen un cero de multiplicidad 2 en 0, y${\displaystyle h_{00}}$y${\displaystyle h_{10}}$tienen un cero en 1, por lo tanto tienen pendiente 0 en esos límites. La columna "Bernstein" muestra la descomposición de las funciones base de Hermite en polinomios de Bernstein de orden  3: $${\displaystyle B_{k}(t)={\binom {3}{k}}\cdot t^{k}\cdot (1-t)^{3-k}.}$$

Utilizando esta conexión, puede expresar la interpolación cúbica de Hermite en términos de curvas de Bézier cúbicas con respecto a los cuatro valores.${\textstyle {\boldsymbol {p}}_{0},{\boldsymbol {p}}_{0}+{\frac {1}{3}}{\boldsymbol {m}}_{0},{\boldsymbol {p}}_{1}-{\frac {1}{3}}{\boldsymbol {m}}_{1},{\boldsymbol {p}}_{1}}$y realizar la interpolación de Hermite utilizando el algoritmo de De Casteljau . Esto demuestra que, en un parche cúbico de Bézier, los dos puntos de control centrales determinan las tangentes de la curva de interpolación en los puntos exteriores correspondientes.

También podemos escribir el polinomio en forma estándar como $${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=\left(2{\boldsymbol {p}}_{0}+{\boldsymbol {m}}_{0}-2{\boldsymbol {p}}_{1}+{\boldsymbol {m}}_{1}\right)t^{3}+\left(-3{\boldsymbol {p}}_{0}+3{\boldsymbol {p}}_{1}-2{\boldsymbol {m}}_{0}-{\boldsymbol {m}}_{1}\right)t^{2}+{\boldsymbol {m}}_{0}t+{\boldsymbol {p}}_{0}}$$ donde los puntos de control y las tangentes son coeficientes. Esto permite una evaluación eficiente del polinomio para distintos valores de t, ya que los coeficientes constantes se pueden calcular una sola vez y reutilizar.

La opción más sencilla es la diferencia de tres puntos, que no requiere intervalos de longitud constante:

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right)}$

para puntos internos${\displaystyle k=2,\dots ,n-1}$y una diferencia unilateral en los extremos del conjunto de datos.

Se obtiene una spline cardinal , a veces llamada spline canónica , ^{[ 4 ] [ 5 ]} si

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}=(1-c){\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k+1}-x_{k-1}}}}$

Se utiliza para calcular las tangentes. El parámetro c es un parámetro de tensión que debe estar en el intervalo [0,  1] . En cierto modo, esto puede interpretarse como la "longitud" de la tangente. Si se elige c  =  1, todas las tangentes son cero, y si se elige c  =  0, se obtiene una spline de Catmull-Rom en el caso de parametrización uniforme.

Para las tangentes elegidas para ser

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2}}}$

Se obtiene una spline de Catmull-Rom , que es un caso especial de una spline cardinal. Esto supone un espaciado uniforme de los parámetros.

La curva recibe su nombre de Edwin Catmull y Raphael Rom . La principal ventaja de esta técnica es que los puntos a lo largo del conjunto original de puntos también conforman los puntos de control para la curva spline. ^{[ 7 ]} Se requieren dos puntos adicionales en cada extremo de la curva. La implementación uniforme de Catmull-Rom puede producir bucles y autointersecciones. Las implementaciones cordal y centrípeta de Catmull-Rom ^{[ 8 ]} resuelven este problema, pero utilizan un cálculo ligeramente diferente. ^{[ 9 ]} En gráficos por computadora , las splines de Catmull-Rom se utilizan frecuentemente para obtener un movimiento interpolado suave entre fotogramas clave . Por ejemplo, la mayoría de las animaciones de trayectoria de cámara generadas a partir de fotogramas clave discretos se manejan utilizando splines de Catmull-Rom. Son populares principalmente por ser relativamente fáciles de calcular, garantizando que cada posición de fotograma clave se alcanzará exactamente, y también garantizando que las tangentes de la curva generada sean continuas en múltiples segmentos.

Una spline de Kochanek-Bartels es una generalización adicional sobre cómo elegir las tangentes dados los puntos de datos.${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k-1}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k+1}}$, con tres parámetros posibles: tensión, sesgo y un parámetro de continuidad.

Si se utiliza una función spline cúbica de Hermite de cualquiera de los tipos mencionados anteriormente para la interpolación de un conjunto de datos monótonos , la función interpolada no será necesariamente monótona, pero la monotonicidad se puede preservar ajustando las tangentes.