Karl Georg Christian von Staudt

Karl Georg Christian von Staudt (24 de enero de 1798 – 1 de junio de 1867) fue un matemático alemán que utilizó la geometría sintética para sentar las bases de la aritmética.

Karl nació en la Ciudad Imperial Libre de Rothenburg, actualmente conocida como Rothenburg ob der Tauber en Alemania. Desde 1814 estudió en el Gymnasium de Ausbach. De 1818 a 1822 asistió a la Universidad de Gotinga, donde estudió con Gauss , director del observatorio. Staudt elaboró ​​una efeméride para las órbitas de Marte y del asteroide Palas . En 1821, tras la observación del cometa Nicollet-Pons, proporcionó los datos de su órbita . Estos logros en astronomía le valieron el doctorado por la Universidad de Erlangen en 1822.

La carrera profesional de Staudt comenzó como profesor de secundaria en Würzburg hasta 1827 y luego en Núremberg hasta 1835. Se casó con Jeanette Dreschler en 1832. Tuvieron un hijo, Eduard, y una hija, Mathilda, pero Jeanette falleció en 1848.

El libro Geometrie der Lage (1847) fue un hito en la geometría proyectiva . Como escribió Burau (1976):

Staudt fue el primero en adoptar un enfoque totalmente riguroso. Sin excepción, sus predecesores seguían hablando de distancias, perpendiculares, ángulos y otras entidades que no desempeñan ningún papel en la geometría proyectiva. ^{[ 1 ]}

Además, este libro (página 43) utiliza el cuadrilátero completo para "construir el cuarto armónico asociado a tres puntos en una línea recta", el conjugado armónico proyectivo .

De hecho, en 1889 Mario Pieri tradujo a von Staudt, antes de escribir su I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo (1898). En 1900 Charlotte Scott del Bryn Mawr College parafraseó gran parte del trabajo de von Staudt en inglés para The Mathematical Gazette . ^{[ 2 ]} Cuando Wilhelm Blaschke publicó su libro de texto Geometría proyectiva en 1948, se colocó un retrato del joven Karl frente al Vorwort .

En sus tres volúmenes de Beiträge zur Geometrie der Lage, publicados entre 1856 y 1860, Staudt fue más allá de la geometría proyectiva real y se adentró en el espacio proyectivo complejo .

En 1922, HF Baker escribió sobre el trabajo de von Staudt:

Fue von Staudt quien se propuso conscientemente eliminar las ideas de distancia y congruencia, si bien el reconocimiento de su importancia podría haberse retrasado considerablemente de no ser por la obra de Cayley y Klein sobre la teoría proyectiva de la distancia. En general, y en combinación con la posterior Disertación de Riemann, los volúmenes de von Staudt deben considerarse el fundamento de lo que, en su aspecto geométrico, podría llegar a ser la Teoría de la Relatividad en Física. ^{[ 3 ]}

Von Staudt también es recordado por su visión de las secciones cónicas y la relación entre polo y polar :

Von Staudt realizó el importante descubrimiento de que la relación que una cónica establece entre polos y polares es, en realidad, más fundamental que la propia cónica, y puede establecerse de forma independiente. Esta «polaridad» puede utilizarse entonces para definir la cónica de una manera perfectamente simétrica e inmediatamente autodual: una cónica es simplemente el lugar geométrico de los puntos que se encuentran sobre sus polares, o la envolvente de las líneas que pasan por sus polos. El tratamiento que Von Staudt da a las cuádricas es análogo, en tres dimensiones. ^{[ 4 ]}

En 1857, en el segundo Beiträge , von Staudt aportó una ruta hacia el número a través de la geometría llamada álgebra de lanzamientos ( en alemán : Wurftheorie ). Se basa en el rango proyectivo y la relación de conjugados armónicos proyectivos . A través de operaciones de suma y multiplicación de puntos, se obtiene un "álgebra de puntos", como en el capítulo 6 del libro de texto de Veblen y Young sobre geometría proyectiva. La presentación habitual se basa en la razón antagónica ( CA,BD ) de cuatro puntos colineales. Por ejemplo, Coolidge escribió: ^{[ 5 ]}

¿Cómo sumamos dos distancias? Les damos el mismo punto de partida, encontramos el punto medio entre sus puntos extremos, es decir, el conjugado armónico del infinito con respecto a sus puntos extremos, y luego encontramos el conjugado armónico del punto inicial con respecto a este punto medio y al infinito. Generalizando esto, si deseamos sumar lanzamientos ( CA,BD ) y ( CA,BD' ), encontramos M el conjugado armónico de C con respecto a D y D' , y luego S el conjugado armónico de A con respecto a C y M  :

${\displaystyle (CA,BD)+(CA,BD')=(CA,BS).\ }$

De la misma manera podemos encontrar una definición del producto de dos lanzamientos. Como el producto de dos números guarda la misma razón con uno de ellos que el otro con la unidad, la razón de dos números es la razón cruzada que guardan como par con el infinito y el cero, así que Von Staudt, en la notación anterior, define el producto de dos lanzamientos por

${\displaystyle (CA,BD)\cdot (CA,DD')=(CA,BD').}$

Estas definiciones implican una larga serie de pasos para demostrar que el álgebra así definida obedece las leyes conmutativas, asociativas y distributivas habituales, y que no existen divisores de cero.

^{Veblen y Young [ 6 ]} dan una declaración resumida como Teorema 10: "El conjunto de puntos en una línea, con${\displaystyle P_{\infty }}$eliminado, forma un campo con respecto a las operaciones definidas previamente". Como señala Freudenthal ^{[ 7 ] : 199}

...hasta Hilbert, no hay otro ejemplo de una derivación tan directa de las leyes algebraicas a partir de axiomas geométricos como la que se encuentra en los Beiträge de von Staudt .

Otra confirmación del trabajo de von Staudt con los conjugados armónicos se presenta en forma de teorema:

La única correspondencia biunívoca entre los puntos reales de una línea que preserva la relación armónica entre cuatro puntos es una proyectividad no singular. ^{[ 8 ]}

El álgebra de lanzamientos fue descrita como "aritmética proyectiva" por John Stillwell (2005). ^{[ 9 ]} En una sección llamada "Aritmética proyectiva", dice:

La verdadera dificultad reside en que la construcción de a + b , por ejemplo, es diferente de la construcción de b + a , por lo que es una "coincidencia" si a + b = b + a . De igual modo, es una "coincidencia" si ab = ba , o si se cumple cualquier otra ley del álgebra. Afortunadamente, podemos demostrar que las coincidencias requeridas ocurren efectivamente, ya que están implícitas en ciertas coincidencias geométricas, concretamente en los teoremas de Pappus y Desargues.

Si se interpreta el trabajo de von Staudt como una construcción de los números reales , entonces resulta incompleto. Una de las propiedades requeridas es que una sucesión acotada tenga un punto de agrupación . Como observó Hans Freudenthal :

Para poder considerar el enfoque de von Staudt como un fundamento riguroso de la geometría proyectiva, basta con añadir explícitamente los axiomas topológicos que von Staudt utiliza tácitamente. ... ¿Cómo se puede formular la topología del espacio proyectivo sin el apoyo de una métrica? Von Staudt aún estaba lejos de plantear esta cuestión, que un cuarto de siglo después se volvería urgente. ... Felix Klein notó la laguna en el enfoque de von Staudt; era consciente de la necesidad de formular la topología del espacio proyectivo independientemente del espacio euclidiano . ... Los italianos fueron los primeros en encontrar soluciones verdaderamente satisfactorias para el problema de un fundamento puramente proyectivo de la geometría proyectiva, que von Staudt había intentado resolver. ^{[ 7 ]}

Uno de los matemáticos italianos fue Giovanni Vailati, quien estudió la propiedad de orden circular de la recta proyectiva real . La ciencia de este orden requiere una relación cuaternaria llamada separación de pares de puntos . Usando esta relación, los conceptos de sucesión monótona y límite pueden abordarse en una "recta" cíclica. Suponiendo que toda sucesión monótona tiene un límite, ^{[ 10 ]} la recta se convierte en un espacio completo . Estos desarrollos fueron inspirados por las deducciones de von Staudt de los axiomas de campo como una iniciativa en la derivación de propiedades de${\displaystyle \mathbb {R} }$a partir de axiomas en geometría proyectiva.

• 1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Núremberg
• 1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
• 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu academico rite obtinendi causa commentatus est , Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.

Los siguientes enlaces corresponden a las Monografías Matemáticas Históricas de la Universidad de Cornell :

• 1847: Geometrie der Lage . Núremberg.
• 1856: Beiträge zur Geometrie der Lage, Erstes Heft . Núremberg.
• 1857: Beiträge zur Geometrie der Lage, Zweites Heft . Núremberg.
• 1860: Beiträge zur Geometrie der Lage, Drittes Heft . Núremberg.

• curva en W

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Karl George Christian von Staudt" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Veblen, Osvaldo; Joven, JWA (1938). Geometría proyectiva . Boston: Ginn & Co. ISBN 978-1-4181-8285-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• John Wesley Young (1930) Geometría proyectiva , Capítulo 8: Álgebra de puntos y la introducción de métodos analíticos, Open Court para la Asociación Matemática de América .