Método de equivalencia de Cartan

En matemáticas , el método de equivalencia de Cartan es una técnica de geometría diferencial para determinar si dos estructuras geométricas son iguales salvo un difeomorfismo . Por ejemplo, si M y N son dos variedades de Riemann con métricas g y h , respectivamente, ¿cuándo hay un difeomorfismo?

${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$

de tal manera que

${\displaystyle \phi ^{*}h=g}$?

Aunque la respuesta a esta pregunta en particular era conocida en dimensión 2 por Gauss y en dimensiones superiores por Christoffel y quizás también por Riemann, Élie Cartan y sus herederos intelectuales desarrollaron una técnica para responder preguntas similares para estructuras geométricas radicalmente diferentes (véase, por ejemplo, el algoritmo de Cartan-Karlhede ).

Cartan aplicó con éxito su método de equivalencia a muchas de estas estructuras, incluidas las estructuras proyectivas, las estructuras CR y las estructuras complejas , así como a estructuras aparentemente no geométricas como la equivalencia de los lagrangianos y las ecuaciones diferenciales ordinarias . (Sus técnicas fueron desarrolladas más plenamente posteriormente por muchos otros, como DC Spencer y Shiing-Shen Chern ).

El método de equivalencia es un procedimiento esencialmente algorítmico para determinar cuándo dos estructuras geométricas son idénticas. Para Cartan, la información geométrica primaria se expresaba en un coframe o conjunto de coframes en una variedad diferenciable . Véase método de mover frames .

En concreto, supongamos que M y N son un par de variedades que llevan cada una una G-estructura para un grupo de estructuras G . Esto equivale a dar una clase especial de comarcos en M y N . El método de Cartan aborda la cuestión de si existe un difeomorfismo local φ: M → N bajo el cual la G -estructura en N retrocede a la G -estructura dada en M . Se ha "resuelto" un problema de equivalencia si se puede dar un conjunto completo de invariantes estructurales para la G -estructura: lo que significa que tal difeomorfismo existe si y solo si todos los invariantes estructurales concuerdan en un sentido adecuadamente definido.

Explícitamente, los sistemas locales de las uniformas θ ⁱ y γ ⁱ se dan en M y N , respectivamente, que abarcan los respectivos fibrados cotangentes (es decir, son comarcos ). La pregunta es si existe un difeomorfismo local φ: M → N tal que el pullback del comarco en N satisfaga

${\displaystyle \phi ^{*}\gamma ^{i}(y)=g_{j}^{i}(x)\theta ^{j}(x),\ (g_{j}^{i})\in G}$ (1)

donde el coeficiente g es una función de M que toma valores en el grupo de Lie G . Por ejemplo, si M y N son variedades de Riemann, entonces G = O ( n ) es el grupo ortogonal y θ ⁱ y γ ⁱ son co-marcos ortonormales de M y N respectivamente. La cuestión de si dos variedades de Riemann son isométricas es entonces una cuestión de si existe un difeomorfismo φ que satisfaga (1).

El primer paso en el método de Cartan es expresar la relación de pullback (1) de la forma más invariante posible mediante el uso de una " prolongación ". La forma más económica de hacerlo es utilizar un G -subfibrado PM del fibrado principal de coframes lineales LM , aunque este enfoque puede llevar a complicaciones innecesarias al realizar cálculos reales. En particular, más adelante en este artículo se utiliza un enfoque diferente. Pero para los fines de una visión general, es conveniente mantener el punto de vista del fibrado principal.

El segundo paso es utilizar la invariancia del difeomorfismo de la derivada exterior para intentar aislar cualquier otro invariante de orden superior de la G -estructura. Básicamente se obtiene una conexión en el fibrado principal PM , con cierta torsión. Los componentes de la conexión y de la torsión se consideran invariantes del problema.

El tercer paso es que si los coeficientes de torsión restantes no son constantes en las fibras del haz principal PM , a menudo es posible (aunque a veces difícil) normalizarlos fijándolos igual a un valor constante conveniente y resolviendo estas ecuaciones de normalización, reduciendo así la dimensión efectiva del grupo de Lie G . Si esto ocurre, se vuelve al paso uno, teniendo ahora un grupo de Lie de una dimensión inferior con el que trabajar.

El objetivo principal de los tres primeros pasos era reducir el propio grupo de estructuras tanto como fuera posible. Supongamos que el problema de equivalencia ha pasado por el bucle suficientes veces como para que no sea posible ninguna reducción adicional. En este punto, existen varias direcciones posibles en las que conduce el método de equivalencia. Para la mayoría de los problemas de equivalencia, solo hay cuatro casos: reducción completa, involución, prolongación y degeneración.

Reducción completa. Aquí el grupo de estructura se ha reducido completamente al grupo trivial . Ahora el problema se puede resolver con métodos como el teorema de Frobenius . En otras palabras, el algoritmo ha finalizado con éxito.

Por otra parte, es posible que los coeficientes de torsión sean constantes en las fibras de PM . Equivalentemente, ya no dependen del grupo de Lie G porque ya no hay nada que normalizar, aunque todavía puede haber algo de torsión. Los tres casos restantes lo suponen.

Involución. Se dice que el problema de equivalencia es involutivo (o en involución ) si pasa la prueba de Cartan. Esta es esencialmente una condición de rango sobre la conexión obtenida en los primeros tres pasos del procedimiento. La prueba de Cartan generaliza el teorema de Frobenius sobre la solubilidad de sistemas lineales de primer orden de ecuaciones diferenciales parciales. Si los coframes sobre M y N (obtenidos mediante una aplicación exhaustiva de los primeros tres pasos del algoritmo) concuerdan y satisfacen la prueba de Cartan, entonces las dos G -estructuras son equivalentes. (En realidad, hasta donde sabe el autor, los coframes deben ser analíticos reales para que esto se cumpla, porque el teorema de Cartan-Kähler requiere analiticidad).

Prolongación. Este es el caso más intrincado. De hecho, hay dos subcasos. En el primer subcaso, toda la torsión puede ser absorbida de forma única en la forma de conexión. (Las variedades de Riemann son un ejemplo, ya que la conexión de Levi-Civita absorbe toda la torsión). Los coeficientes de conexión y sus derivadas invariantes forman un conjunto completo de invariantes de la estructura, y el problema de equivalencia se resuelve. En el segundo subcaso, sin embargo, es imposible absorber toda la torsión, o hay alguna ambigüedad (como suele ser el caso en la eliminación gaussiana , por ejemplo). Aquí, al igual que en la eliminación gaussiana, hay parámetros adicionales que aparecen al intentar absorber la torsión. Estos parámetros en sí mismos resultan ser invariantes adicionales del problema, por lo que el grupo de estructura G debe prolongarse en un subgrupo de un grupo jet . Una vez hecho esto, se obtiene un nuevo coframe en el espacio prolongado y se debe volver al primer paso del método de equivalencia. (Véase también prolongación de estructuras G.)

Degeneración. Debido a la falta de uniformidad de alguna condición de rango, el método de equivalencia no es eficaz para resolver este problema de equivalencia en particular. Por ejemplo, considere el problema de equivalencia de mapear una variedad M con una única forma θ a otra variedad con una única forma γ tal que φ*γ=θ. Es necesario tener en cuenta los ceros de estas formas θ, así como el rango de sus derivadas externas en cada punto. El método de equivalencia puede resolver este tipo de problemas si todos los rangos son uniformes, pero no siempre es adecuado si el rango cambia. Por supuesto, dependiendo de la aplicación particular, todavía se puede obtener una gran cantidad de información con el método de equivalencia.

• Olver, PJ (1995). Equivalencia, invariantes y simetría . Oxford University Press. ISBN 0-521-47811-1.