Forma asesina

En matemáticas , la forma de Killing , que recibe su nombre de Wilhelm Killing , es una forma bilineal simétrica que desempeña un papel fundamental en las teorías de grupos de Lie y álgebras de Lie . Los criterios de Cartan (criterio de solubilidad y criterio de semisimplicidad) demuestran que la forma de Killing guarda una estrecha relación con la semisimplicidad de las álgebras de Lie. ^{[ 1 ]}

La forma de Killing fue introducida esencialmente en la teoría del álgebra de Lie por Élie Cartan ( 1894 ) en su tesis. En un estudio histórico de la teoría de Lie, Borel (2001) ha descrito cómo el término "forma de Killing" apareció por primera vez en 1951 durante uno de sus propios informes para el Séminaire Bourbaki ; surgió como un nombre inapropiado , ya que la forma había sido utilizada previamente por teóricos de Lie, sin un nombre asociado. ^{[ 2 ]} Algunos otros autores ahora emplean el término "forma de Cartan-Killing" . A finales del siglo XIX, Killing había observado que los coeficientes de la ecuación característica de un elemento semisimple regular de un álgebra de Lie son invariantes bajo el grupo adjunto, de lo cual se sigue que la forma de Killing (es decir, el coeficiente de grado 2) es invariante, pero no hizo mucho uso de este hecho. Un resultado básico que utilizó Cartan fue el criterio de Cartan , que establece que la forma de Killing no es degenerada si y solo si el álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie simples . ^{[ 2 ]} 

Consideremos un álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un campo K. Cada elemento x de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$define el endomorfismo adjunto ad( x ) (también escrito como ad _x ) de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con la ayuda del corchete de Lie, como

${\displaystyle \operatorname {anuncio} (x)(y)=[x,y].}$

Ahora, suponiendo que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es de dimensión finita, la traza de la composición de dos de estos endomorfismos define una forma bilineal simétrica

${\displaystyle B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\circ \operatorname {ad} (y)),}$

con valores en K , la forma de Killing en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Las siguientes propiedades se derivan como teoremas de la definición anterior.

• La forma B de Killing es bilineal y simétrica.
• La forma de Killing es una forma invariante, al igual que todas las demás formas obtenidas a partir de operadores de Casimir . La derivación de operadores de Casimir se anula; para la forma de Killing, esta anulación se puede escribir como

${\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z])}$

donde [ , ] es el corchete de Lie .

• Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie simple compleja entonces cualquier forma bilineal simétrica invariante en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un múltiplo escalar de la forma de Matar. Esto ya no es cierto si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Es simple pero no complejo; concepto clave: álgebra de Lie absolutamente simple.
• La forma de Killing también es invariante bajo automorfismos s del álgebra.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, eso es,

${\displaystyle B(s(x),s(y))=B(x,y)}$

para s en${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$.

• El criterio de Cartan establece que un álgebra de Lie es semisimple si y solo si la forma de Killing no es degenerada .
• La forma letal de un álgebra de Lie nilpotente es idénticamente cero.
• Si I y J son dos ideales en un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con intersección cero, entonces I y J son subespacios ortogonales con respecto a la forma de Killing.
• El complemento ortogonal con respecto a B de un ideal es de nuevo un ideal. ^{[ 3 ]}
• Si un álgebra de Lie dada${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una suma directa de sus ideales I ₁ ,..., I _n , entonces la forma asesina de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es la suma directa de las formas de Killing de los sumandos individuales.

Dada una base e _i del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, los elementos de la matriz de la forma Killing vienen dados por

${\displaystyle B_{ij}=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).}$

Aquí

${\displaystyle \left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk}}^{m}e_{n}}$

en la notación de sumatoria de Einstein , donde los c _ij ^k son los coeficientes de estructura del álgebra de Lie. El índice k funciona como índice de columna y el índice n como índice de fila en la matriz ad( e _i )ad( e _j ) . Tomar la traza equivale a poner k = n y sumar, por lo que podemos escribir

${\displaystyle B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}}$

La forma de Killing es el tensor 2 más simple que se puede formar a partir de las constantes de estructura. La forma en sí es entonces${\displaystyle B=B_{ij}e^{i}\otimes e^{j}.}$

En la definición indexada anterior, tenemos cuidado de distinguir los índices superiores e inferiores ( índices covariantes y contravariantes ). Esto se debe a que, en muchos casos, la forma de Killing puede usarse como un tensor métrico en una variedad, en cuyo caso la distinción se vuelve importante para las propiedades de transformación de los tensores. Cuando el álgebra de Lie es semisimple sobre un cuerpo de característica cero, su forma de Killing no es degenerada y, por lo tanto, puede usarse como un tensor métrico para elevar y abatir índices. En este caso, siempre es posible elegir una base para${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de tal manera que las constantes de estructura con todos los índices superiores sean completamente antisimétricas .

La forma de asesinato para algunas álgebras de mentira${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$son (para X , Y en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$vistas en su representación matricial fundamental):

La tabla muestra que el índice de Dynkin para la representación adjunta es igual al doble del número de Coxeter dual .

Supongamos que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie semisimple sobre el campo de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$Según el criterio de Cartan , la forma de Killing no es degenerada y puede diagonalizarse en una base adecuada con entradas diagonales ±1 . Según la ley de inercia de Sylvester , el número de entradas positivas es un invariante de la forma bilineal, es decir, no depende de la elección de la base diagonalizante, y se denomina índice del álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Este es un número entre 0 y la dimensión de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$que es un invariante importante del álgebra de Lie real. En particular, un álgebra de Lie real${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Se dice que un álgebra de Lie es compacta si su forma de Killing es definida negativa (o semidefinida negativa si no es semisimple). Cabe destacar que esta es una de las dos definiciones no equivalentes que se suelen usar para la compacidad de un álgebra de Lie ; la otra establece que un álgebra de Lie es compacta si corresponde a un grupo de Lie compacto . La definición de compacidad en términos de la definición negativa de la forma de Killing es más restrictiva, ya que, según esta definición, se puede demostrar que, bajo la correspondencia de Lie , las álgebras de Lie compactas corresponden a grupos de Lie semisimples compactos.

Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$es un álgebra de Lie semisimple sobre los números complejos , entonces existen varias álgebras de Lie reales no isomorfas cuya complejización es${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$, que se denominan sus formas reales . Resulta que toda álgebra de Lie semisimple compleja admite una única forma real compacta (salvo isomorfismo).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Las formas reales de un álgebra de Lie semisimple compleja dada se etiquetan frecuentemente mediante el índice de inercia positivo de su forma de Killing.

Por ejemplo, el álgebra lineal especial compleja${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$tiene dos formas reales, el álgebra lineal especial real, denotada${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$y el álgebra unitaria especial , denotada${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$. La primera es no compacta, la llamada forma real escindida , y su forma de Killing tiene signatura (2, 1) . La segunda es la forma real compacta y su forma de Killing es definida negativa, es decir, tiene signatura (0, 3) . Los grupos de Lie correspondientes son el grupo no compacto${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$de matrices reales de 2 × 2 con determinante unitario y grupo unitario especial${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$, que es compacto.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​un álgebra de Lie de dimensión finita sobre el cuerpo${\displaystyle K}$, y${\displaystyle \rho$ Sea {\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)} una representación de álgebra de Lie.${\displaystyle {\text{Tr}}_{V}:{\text{End}}(V)\rightarrow K}$ser el rastreo funcional en${\displaystyle V}$Entonces podemos definir la forma de traza para la representación.${\displaystyle \rho }$como

${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow K,}$

${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }(X,Y)={\text{Tr}}_{V}(\rho (X)\rho (Y)).}$

Entonces, la forma de Killing es el caso especial en que la representación es la representación adjunta,${\displaystyle {\text{Tr}}_{\text{ad}}=B}$.

Es fácil demostrar que esto es simétrico, bilineal e invariante para cualquier representación.${\displaystyle \rho }$.

Si además${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es simple y${\displaystyle \rho }$Si es irreducible, entonces se puede demostrar${\displaystyle {\text{Tr}}_{\rho }=I(\rho )B}$dónde${\displaystyle I(\rho )}$es el índice de la representación.

• Invariante de Casimir
• Campo vectorial letal