Índice de Dynkin

En matemáticas , el índice de Dynkin${\displaystyle I({\lambda })}$de representaciones de peso máximo de dimensión finita de un álgebra de Lie simple y compacta${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$relaciona sus formas traza a través de

$${\displaystyle {\frac {{\text{Tr}}_{V_{\lambda }}}{{\text{Tr}}_{V_{\mu }}}}={\frac {I(\lambda )}{I(\mu )}}.}$$

En el caso particular donde${\displaystyle \lambda }$es la raíz más alta , de modo que${\displaystyle V_{\lambda }}$es la representación adjunta , el índice de Dynkin${\displaystyle I(\lambda )}$es igual al número de Coxeter dual .

La notación${\displaystyle {\text{Tr}}_{V}}$es la forma de traza en la representación${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{Fin}}(V)} . Por el lema de Schur , dado que las formas de traza son todas formas invariantes, están relacionadas por constantes, por lo que el índice está bien definido.

Dado que las formas de traza son formas bilineales , podemos tomar trazas para obtener

${\displaystyle I(\lambda )={\frac {\dim V_{\lambda }}{2\dim {\mathfrak {g}}}}(\lambda ,\lambda +2\rho )}$

donde el vector de Weyl

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\alpha }$

es igual a la mitad de la suma de todas las raíces positivas de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. La expresión${\displaystyle (\lambda ,\lambda +2\rho )}$es el valor del Casimir cuadrático en la representación${\displaystyle V_{\lambda }}$.

• Forma asesina

• Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal, Teoría de campos conforme , 1997 Springer-Verlag Nueva York, ISBN 0-387-94785-X