Categoría de representaciones

En la teoría de la representación , la categoría de representaciones de una estructura algebraica A tiene como objetos las representaciones de A y como morfismos entre ellas las aplicaciones equivariantes . Uno de los objetivos fundamentales de la teoría de la representación es comprender las condiciones bajo las cuales esta categoría es semisimple ; es decir, si un objeto se descompone en objetos simples (véase el teorema de Maschke para el caso de grupos finitos ).

El formalismo de Tannakian da condiciones bajo las cuales un grupo G puede recuperarse de la categoría de representaciones del mismo junto con el functor de olvido a la categoría de espacios vectoriales . ^{[ 1 ]}

El anillo de Grothendieck de la categoría de representaciones de dimensión finita de un grupo G se llama anillo de representación de G.

Dependiendo del tipo de representaciones que se quieran considerar, es habitual utilizar definiciones ligeramente diferentes.

Para un grupo finito G y un cuerpo F , la categoría de representaciones de G sobre F tiene

• Objetos: Pares ( V , f ) de espacios vectoriales V sobre F y representaciones f de G sobre ese espacio vectorial.
• Morfismos: Mapas equivariantes
• Composición: La composición de mapas equivariantes
• Identidades: La función identidad (que es una aplicación equivariante).

La categoría se denota por${\displaystyle \operatorname {Rep} _{F}(G)}$o${\displaystyle \operatorname {Rep} (G)}$.

Para un grupo de Lie , normalmente se requiere que las representaciones sean suaves o admisibles . Para el caso de un álgebra de Lie , véase Representación de álgebra de Lie . Véase también: categoría O.

La categoría de representaciones lineales de un grupo tiene una estructura monoidal dada por el producto tensorial de representaciones , que es un ingrediente importante en la dualidad de Tannaka-Krein (ver más abajo).

El teorema de Maschke establece que cuando la característica de F no divide el orden de G , la categoría de representaciones de G sobre F es semisimple .

Dado un grupo G con un subgrupo H , existen dos funtores fundamentales entre las categorías de representaciones de G y H (sobre un cuerpo fijo): uno es un funtor de olvido llamado funtor de restricción.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (G)&\longrightarrow \operatorname {Rep} (H)\\\pi &\longmapsto \pi |_{H}\end{aligned}}}$

y el otro, el functor de inducción

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}:\operatorname {Rep} (H)\to \operatorname {Rep} (G)}$.

Cuando G y H son grupos finitos, son adjuntos entre sí.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\operatorname {Ind} _{H}^{G}W,U)\cong \operatorname {Hom} _{H}(W,\operatorname {Res} _{H}^{G}U)}$,

un teorema llamado reciprocidad de Frobenius .

La cuestión fundamental es si la descomposición en representaciones irreducibles (objetos simples de la categoría) se comporta bajo restricción o inducción. Esta cuestión puede abordarse, por ejemplo, mediante la teoría de Mackey .

La dualidad de Tannaka-Krein se refiere a la interacción entre un grupo topológico compacto y su categoría de representaciones lineales . El teorema de Tannaka describe el paso inverso de la categoría de representaciones de dimensión finita de un grupo G de vuelta al grupo G , lo que permite recuperar el grupo a partir de su categoría de representaciones. El teorema de Krein, en efecto, caracteriza completamente todas las categorías que pueden surgir de un grupo de esta manera. Estos conceptos pueden aplicarse a representaciones de diversas estructuras; consulte el artículo principal para obtener más detalles.

• https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+representations