Semisimplicidad

En matemáticas, la semisimplicidad es un concepto muy extendido en disciplinas como el álgebra lineal , el álgebra abstracta , la teoría de la representación , la teoría de categorías y la geometría algebraica . Un objeto semisimple es aquel que puede descomponerse en una suma de objetos simples , y los objetos simples son aquellos que no contienen subobjetos propios no triviales. Las definiciones precisas de estos términos dependen del contexto.

Por ejemplo, si G es un grupo finito , entonces una representación no trivial de dimensión finita V sobre un cuerpo se dice que es simple si las únicas subrepresentaciones que contiene son {0} o V (estas también se llaman representaciones irreducibles ). Ahora bien, el teorema de Maschke dice que cualquier representación de dimensión finita de un grupo finito es una suma directa de representaciones simples (siempre que la característica del cuerpo base no divida el orden del grupo). Así, en el caso de grupos finitos con esta condición, toda representación de dimensión finita es semisimple. Especialmente en álgebra y teoría de representaciones, la "semisimplicidad" también se llama reducibilidad completa . Por ejemplo, el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa dice que una representación de dimensión finita de un grupo de Lie compacto semisimple es semisimple.

Una matriz cuadrada (en otras palabras, un operador lineal)${\displaystyle T:V\to V}$Se dice que una matriz ( con V un espacio vectorial de dimensión finita) es simple si sus únicos subespacios lineales invariantes bajo T son {0} y V. Si el campo es algebraicamente cerrado (como los números complejos ), entonces las únicas matrices simples son de tamaño 1×1. Una matriz semisimple es aquella que es similar a una suma directa de matrices simples; si el campo es algebraicamente cerrado, esto es lo mismo que ser diagonalizable .

Estas nociones de semisimplicidad pueden unificarse utilizando el lenguaje de módulos semisimples y generalizarse a categorías semisimples .

Si se consideran todos los espacios vectoriales (sobre un cuerpo , como los números reales ), los espacios vectoriales simples son aquellos que no contienen subespacios no triviales propios. Por lo tanto, los espacios vectoriales unidimensionales son los simples. Así pues, es un resultado fundamental del álgebra lineal que cualquier espacio vectorial de dimensión finita es la suma directa de espacios vectoriales simples; en otras palabras, todos los espacios vectoriales de dimensión finita son semisimples.

Una matriz cuadrada o, equivalentemente, un operador lineal T en un espacio vectorial V de dimensión finita se denomina semisimple si todo subespacio T - invariante tiene un subespacio T -invariante complementario . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esto es equivalente a que el polinomio mínimo de T sea libre de cuadrados.

Para espacios vectoriales sobre un cuerpo algebraicamente cerrado F , la semisimplicidad de una matriz es equivalente a la diagonalizabilidad . ^{[ 1 ]} Esto se debe a que dicho operador siempre tiene un vector propio; si además es semisimple, entonces tiene un hiperplano invariante complementario , que a su vez tiene un vector propio, y por lo tanto, por inducción, es diagonalizable. Recíprocamente, es fácil ver que los operadores diagonalizables son semisimples, ya que los subespacios invariantes son sumas directas de espacios propios, y cualquier base propia para este subespacio puede extenderse a una base propia del espacio completo.

Para un anillo fijo R , un R -módulo no trivial M es simple si no tiene submódulos distintos de 0 y M. Un R -módulo M es semisimple si todo R -submódulo de M es un sumando directo de R -módulo de M (el módulo trivial 0 es semisimple, pero no simple). Para un R -módulo M , M es semisimple si y solo si es la suma directa de módulos simples (el módulo trivial es la suma directa vacía). Finalmente, R se denomina anillo semisimple si es semisimple como R -módulo. Resulta que esto es equivalente a exigir que cualquier R -módulo M finitamente generado sea semisimple. ^{[ 3 ]}

Ejemplos de anillos semisimples incluyen cuerpos y, más generalmente, productos directos finitos de cuerpos. Para un grupo finito G, el teorema de Maschke afirma que el anillo de grupo R [ G ] sobre algún anillo R es semisimple si y solo si R es semisimple y | G | es invertible en R. Dado que la teoría de módulos de R [ G ] es la misma que la teoría de representación de G en R -módulos, este hecho es una dicotomía importante, que hace que la teoría de representación modular , es decir, el caso en que | G | divide la característica de R , sea más difícil que el caso en que | G | no la divide, en particular si R es un cuerpo de característica cero. Por el teorema de Artin-Wedderburn , un anillo artiniano unitario R es semisimple si y solo si es (isomorfo a)${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})}$, donde cada${\displaystyle D_{i}}$es un anillo divisor y${\displaystyle M_{n}(D)}$es el anillo de matrices n x n con entradas en D.

Un operador T es semisimple en el sentido anterior si y solo si la subálgebra${\displaystyle F[T]\subseteq \operatorname {End} _{F}(V)}$generado por las potencias (es decir, iteraciones) de T dentro del anillo de endomorfismos de V es semisimple.

Como se indicó anteriormente, la teoría de los anillos semisimples es mucho más sencilla que la de los anillos generales. Por ejemplo, cualquier secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

de módulos sobre un anillo semisimple debe dividirse, es decir,${\displaystyle M\cong M'\oplus M''}$Desde el punto de vista del álgebra homológica , esto significa que no hay extensiones no triviales . El anillo Z de enteros no es semisimple: Z no es la suma directa de n Z y Z / n .

Muchas de las nociones anteriores de semisimplicidad se recuperan mediante el concepto de categoría semisimple C. En resumen, una categoría es una colección de objetos y aplicaciones entre dichos objetos, con la idea de que las aplicaciones entre los objetos preservan alguna estructura inherente a estos objetos. Por ejemplo, los R -módulos y las aplicaciones R -lineales entre ellos forman una categoría, para cualquier anillo R.

Una categoría abeliana ^{[ 4 ]} C se denomina semisimple si existe una colección de objetos simples.${\displaystyle X_{\alpha }\in C}$, es decir, aquellos sin ningún subobjeto que no sea el objeto cero 0 y${\displaystyle X_{\alpha }}$en sí mismo, de tal manera que cualquier objeto X es la suma directa (es decir, coproducto o, equivalentemente, producto) de un número finito de objetos simples. Del lema de Schur se deduce que el anillo de endomorfismo

${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)=\operatorname {Hom} _{C}(X,X)}$

en una categoría semisimple es un producto de anillos de matrices sobre anillos de división, es decir, semisimple.

Además, un anillo R es semisimple si y solo si la categoría de R- módulos finitamente generados es semisimple.

Un ejemplo de la teoría de Hodge es la categoría de estructuras de Hodge puras polarizables , es decir, estructuras de Hodge puras equipadas con una forma bilineal definida positiva adecuada . La presencia de esta llamada polarización hace que la categoría de estructuras de Hodge polarizables sea semisimple. ^{[ 5 ]} Otro ejemplo de la geometría algebraica es la categoría de motivos puros de variedades proyectivas suaves sobre un cuerpo k${\displaystyle \operatorname {Mot} (k)_{\sim }}$módulo una relación de equivalencia adecuada${\displaystyle \sim }$Como conjeturó Grothendieck y demostró Jannsen , esta categoría es semisimple si y solo si la relación de equivalencia es una equivalencia numérica . ^{[ 6 ]} Este hecho es una piedra angular conceptual en la teoría de los motivos.

Las categorías abelianas semisimples también surgen de una combinación de una t -estructura y una estructura de peso (adecuadamente relacionada) en una categoría triangulada . ^{[ 7 ]}

Cabe preguntarse si la categoría de representaciones de dimensión finita de un grupo o un álgebra de Lie es semisimple, es decir, si toda representación de dimensión finita se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. La respuesta, en general, es no. Por ejemplo, la representación de${\displaystyle \mathbb {R} }$dado por

${\displaystyle \Pi (x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}$

no es una suma directa de irreducibles. ^{[ 8 ]} (Hay precisamente un subespacio invariante no trivial, el espacio generado por el primer elemento de la base,${\displaystyle e_{1}}$.) Por otro lado, si${\displaystyle G}$es compacto , entonces toda representación de dimensión finita${\displaystyle \Pi }$de${\displaystyle G}$admite un producto interno con respecto al cual${\displaystyle \Pi }$es unitario, lo que demuestra que${\displaystyle \Pi }$se descompone como una suma de irreducibles. ^{[ 9 ]} De manera similar, si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie semisimple compleja, toda representación de dimensión finita de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una suma de irreducibles. ^{[ 10 ]} La demostración original de Weyl de esto utilizó el truco unitario : Cada tal${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es la complejización del álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto simplemente conexo${\displaystyle K}$. Desde${\displaystyle K}$está simplemente conectado, existe una correspondencia uno a uno entre las representaciones de dimensión finita de${\displaystyle K}$y de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. ^{[ 11 ]} Por lo tanto, se aplica el resultado mencionado anteriormente sobre representaciones de grupos compactos. También es posible demostrar la semisimplicidad de representaciones de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$directamente por medios algebraicos, como en la Sección 10.3 del libro de Hall.

Véase también: categoría Fusión (que son semisimples).

• Un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie que es una suma directa de álgebras de Lie simples.
• Un grupo algebraico semisimple es un grupo algebraico lineal cuyo radical del componente identidad es trivial.
• Álgebra semisimple
• Representación semisimple

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  222 (2.ª  ed.), Springer

• MathOverflow : ¿Son semisimples las categorías tensoriales abelianas no degeneradas?
• Categoría semisimple en el laboratorio n