Prueba de condensación de Cauchy

En matemáticas , la prueba de condensación de Cauchy , llamada así por Augustin-Louis Cauchy , es una prueba de convergencia estándar para series infinitas . Para una secuencia no creciente de números reales no negativos , la serie converge si y solo si la serie "condensada" converge. Además, si convergen, la suma de la serie condensada no es más del doble de grande que la suma de la original. ${\displaystyle f(n)}$${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$ ${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$

La prueba de condensación de Cauchy se desprende de la estimación más fuerte, que debe entenderse como una desigualdad de números reales extendidos . A continuación se presenta la idea central de una prueba , basada en la prueba de Oresme de la divergencia de la serie armónica . $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n),}$$

Para ver la primera desigualdad, los términos de la serie original se vuelven a poner entre corchetes en series cuyas longitudes son potencias de dos y luego cada serie se acota por encima reemplazando cada término por el término más grande en esa serie. Ese término es siempre el primero, ya que, por suposición, los términos no son crecientes. $${\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}}$$

Para ver la segunda desigualdad, estas dos series se vuelven a agrupar en series de potencias de longitud dos, pero "desplazadas" como se muestra a continuación, de modo que la serie de la que comienza con se alinea con el final de la serie de la que termina con , de modo que la primera siempre queda "por delante" de la segunda. ${\textstyle 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$${\textstyle f(2^{n})}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$${\textstyle f(2^{n})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&={\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq {\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\end{aligned}}}$$

La transformación de "condensación" recuerda la sustitución de variable integral que produce . ${\textstyle f(n)\rightarrow 2^{n}f(2^{n})}$${\textstyle x\rightarrow e^{x}}$${\textstyle f(x)\,\mathrm {d} x\rightarrow e^{x}f(e^{x})\,\mathrm {d} x}$

Siguiendo esta idea, la prueba integral de convergencia nos da, en el caso de monótona , que converge si y solo si converge. La sustitución produce la integral . Entonces observamos que , donde el lado derecho proviene de aplicar la prueba integral a la serie condensada . Por lo tanto, converge si y solo si converge. ${\displaystyle f}$${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$${\displaystyle \displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$${\textstyle x\rightarrow 2^{x}}$${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x}$${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x<\log 2\ \int _{0}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x}$${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$

La prueba puede ser útil para series en las que n aparece como denominador en f . En el ejemplo más básico de este tipo, la serie armónica se transforma en la serie , que claramente diverge. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$${\textstyle \sum 1}$

Como ejemplo más complejo, tomemos $${\displaystyle f(n):=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.}$$

Aquí la serie converge definitivamente para a > 1 y diverge para a < 1. Cuando a = 1 , la transformación de condensación da la serie $${\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}.}$$

Los logaritmos se desplazan hacia la izquierda. Por lo tanto, cuando a = 1 , tenemos convergencia para b > 1 y divergencia para b < 1. Cuando b = 1 entra el valor de c .

Este resultado se generaliza fácilmente: la prueba de condensación, aplicada repetidamente, se puede utilizar para mostrar que para , la serie de Bertrand generalizada converge para y diverge para . ^[1] Aquí denota el m ésimo iterado de una función , de modo que El límite inferior de la suma, , se eligió de modo que todos los términos de la serie sean positivos. En particular, estas series proporcionan ejemplos de sumas infinitas que convergen o divergen de forma arbitrariamente lenta. Por ejemplo, en el caso de y , la suma parcial excede 10 solo después de (un googolplex ) términos; sin embargo, la serie diverge de todos modos. ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$$${\displaystyle \sum _{n\geq N}{\frac {1}{n\cdot \log n\cdot \log \log n\cdots \log ^{\circ (k-1)}n\cdot (\log ^{\circ k}n)^{\alpha }}}\quad \quad (N=\lfloor \exp ^{\circ k}(0)\rfloor +1)}$$${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$${\displaystyle f^{\circ m}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f^{\circ m}(x):={\begin{cases}f(f^{\circ (m-1)}(x)),&m=1,2,3,\ldots ;\\x,&m=0.\end{cases}}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle 10^{10^{100}}}$

Oskar Schlömilch dio una generalización de la prueba de condensación . ^[2] Sea u ( n ) una secuencia estrictamente creciente de números enteros positivos tales que la relación de diferencias sucesivas está acotada: existe un número real positivo N , para el cual $${\displaystyle {\Delta u(n) \over \Delta u(n{-}1)}\ =\ {u(n{+}1)-u(n) \over u(n)-u(n{-}1)}\ <\ N\ {\text{ for all }}n.}$$

Entonces, siempre que se cumplan las mismas condiciones previas que en la prueba de convergencia de Cauchy , la convergencia de la serie es equivalente a la convergencia de ${\displaystyle f(n)}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\Delta u(n)}\,f(u(n))\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }{\Big (}u(n{+}1)-u(n){\Big )}f(u(n)).}$$

De este modo , la prueba de condensación de Cauchy surge como un caso especial. ${\textstyle u(n)=2^{n}}$${\textstyle \Delta u(n)=u(n{+}1)-u(n)=2^{n}}$

• Bonar, Khoury (2006). Series infinitas reales . Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-745-6 . 

• Prueba de condensación de Cauchy