Pruebas de convergencia

Si el límite del sumando no está definido o es distinto de cero, es decir${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$Entonces, la serie debe divergir. En este sentido, las sumas parciales son de Cauchy solo si este límite existe y es igual a cero. La prueba es inconclusa si el límite del sumando es cero. Esto también se conoce como la prueba del término n , prueba de divergencia o prueba de divergencia .

Esto también se conoce como el criterio de d'Alembert .

Consideremos dos límites${\displaystyle \ell =\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$y${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$. Si${\displaystyle \ell >1}$, la serie diverge. Si${\displaystyle L<1}$entonces la serie converge absolutamente. Si${\displaystyle \ell \leq 1\leq L}$En ese caso, la prueba no es concluyente y la serie puede converger de forma absoluta o condicional, o divergir.

Esto también se conoce como la prueba de la raíz enésima o criterio de Cauchy .

Dejar

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

dónde${\displaystyle \limsup }$denota el límite superior (posiblemente${\displaystyle \infty }$; si el límite existe, es el mismo valor).

Si r < 1, la serie converge absolutamente. Si r > 1, la serie diverge. Si r = 1, la prueba de la raíz no es concluyente y la serie puede converger o divergir.

El criterio de la raíz es más fuerte que el criterio del cociente: siempre que el criterio del cociente determina la convergencia o divergencia de una serie infinita, el criterio de la raíz también lo hace, pero no a la inversa. ^{[ 1 ]}

La serie se puede comparar con una integral para establecer convergencia o divergencia. Sea${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$sea ​​una función no negativa y monótonamente decreciente tal que${\displaystyle f(n)=a_{n}}$. Si $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$$ entonces la serie converge. Pero si la integral diverge, entonces la serie también lo hace. En otras palabras, la serie${\displaystyle {a_{n}}}$converge si y solo si la integral converge.

Si la serie${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$es una serie absolutamente convergente y${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$para n  suficientemente grande , entonces la serie${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$converge absolutamente.

Si${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}$, (es decir, cada elemento de las dos secuencias es positivo) y el límite${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$Si existe, es finito y distinto de cero, entonces ambas series convergen o ambas series divergen.

Dejar${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$Sea una secuencia no negativa y no creciente. Entonces la suma${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$converge si y solo si la suma${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$converge. Además, si convergen, entonces${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$sostiene.

Supongamos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$es una serie convergente,
2. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$es una secuencia monótona y
3. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$está delimitado.

Entonces${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$también es convergente.

Toda serie absolutamente convergente converge.

Supongamos que las siguientes afirmaciones son verdaderas:

• ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$es monótono,
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

Entonces${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$y${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$son series convergentes. Esta prueba también se conoce como el criterio de Leibniz .

Si${\displaystyle \{a_{n}\}}$es una secuencia de números reales y${\displaystyle \{b_{n}\}}$una secuencia de números complejos que satisface

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$para cada entero positivo N

donde M es alguna constante, entonces la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

converge.

Una serie${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$es convergente si y solo si para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$existe un número natural N tal que

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

se cumple para todo n > N y todo p ≥ 1 .

Dejar ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$y ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$Sean dos secuencias de números reales. Supongamos que${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$es una sucesión estrictamente monótona y divergente, y existe el siguiente límite:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

Entonces, el límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

Supongamos que ( f _n ) es una sucesión de funciones de valores reales o complejos definidas en un conjunto A , y que existe una sucesión de números no negativos ( M _n ) que satisfacen las condiciones

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$a pesar de${\displaystyle n\geq 1}$y todo${\displaystyle x\in A}$, y
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$converge.

Luego la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

converge absoluta y uniformemente en A.

La prueba de la razón puede resultar inconclusa cuando el límite de la razón es 1. Sin embargo, las extensiones de la prueba de la razón a veces permiten abordar este caso.

Dejar${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$sea ​​una serie infinita con términos reales y dejemos que${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$sea ​​cualquier función real tal que${\displaystyle f(1/n)=a_{n}}$para todos los enteros positivos n y la segunda derivada${\displaystyle f''}$existe en${\displaystyle x=0}$. Entonces${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$converge absolutamente si${\displaystyle f(0)=f'(0)=0}$y diverge en otros casos. ^{[ 8 ]}

• Para algunos tipos específicos de series existen pruebas de convergencia más especializadas; por ejemplo, para las series de Fourier existe la prueba de Dini .