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Articulo de referencia

Fórmula integral de Cauchy

En matemáticas, la fórmula integral de Cauchy , que lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy , es un enunciado fundamental en el análisis complejo . Expresa el hecho de que una ...

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En matemáticas, la fórmula integral de Cauchy , que lleva el nombre de Augustin-Louis Cauchy , es un enunciado fundamental en el análisis complejo . Expresa el hecho de que una función holomorfa definida en un disco está completamente determinada por sus valores en la frontera del disco , y proporciona fórmulas integrales para todas las derivadas de una función holomorfa. La fórmula de Cauchy demuestra que, en análisis complejo, "la diferenciación es equivalente a la integración": la diferenciación compleja, al igual que la integración, se comporta bien bajo límites uniformes , un resultado que no se cumple en el análisis real .

Teorema

DejarU⊂do{\displaystyle U\subset \mathbb {C} }sea ​​un subconjunto abierto del plano complejodo{\displaystyle \mathbb {C} }⁠ , y supongamos que el disco cerradoD{\displaystyle D}definido como D={z∈do:|z−z0|≤r}{\displaystyle D={\bigl \{}z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}} está completamente contenido en ⁠U{\displaystyle U}⁠ . DejaF:U→do{\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }Sea una función holomorfa , y seaγ{\displaystyle \gamma }sea ​​el círculo , orientado en sentido contrario a las agujas del reloj , formando el límite deD{\displaystyle D}⁠ . Luego, para cadaa{\displaystyle a}en el interior deD{\displaystyle D}⁠ , F(a)=12πi∮γF(z)z−adz.{\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz.}

La demostración de esta afirmación utiliza el teorema integral de Cauchy y, al igual que ese teorema, solo requiereF{\displaystyle f}ser diferenciable complejo . Porque1z−a{\textstyle {\frac {1}{za}}}puede expandirse como una serie de potencias en la variablea{\displaystyle a}como 1z−a=1+az+(az)2+⋯z,{\displaystyle {\frac {1}{za}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}},} De ello se deduce que las funciones holomorfas son analíticas , es decir, pueden expandirse como series de potencias convergentes. En particularF{\displaystyle f}en realidad es infinitamente diferenciable, con F(norte)(a)=norte¡2πi∮γF(z)(z−a)norte+1dz.{\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{\left(za\right)^{n+1}}}\,dz.}

Esta fórmula a veces se conoce como la fórmula de diferenciación de Cauchy .

El teorema enunciado anteriormente puede generalizarse. El círculoγ{\displaystyle \gamma }puede ser reemplazado por cualquier curva rectificable cerrada enU{\displaystyle U}que tiene bobinado número uno aproximadamentea{\displaystyle a}⁠ . Además, en cuanto al teorema integral de Cauchy, basta con exigir queF{\displaystyle f}ser holomorfa en la región abierta encerrada por el camino y continua en su cierre .

Tenga en cuenta que no toda función continua en el límite puede usarse para producir una función dentro del límite que se ajuste a la función de límite dada. Por ejemplo, si ponemos la función ⁠F(z)=1z{\displaystyle \textstyle f(z)={\frac {1}{z}}}⁠ , definido para ⁠|z|=1{\displaystyle \vert z\vert =1}En la fórmula integral de Cauchy, obtenemos cero para todos los puntos dentro del círculo. De hecho, basta con dar la parte real en el límite de una función holomorfa para determinar la función salvo una constante imaginaria; solo hay una parte imaginaria en el límite que corresponde a la parte real dada, salvo la adición de una constante. Podemos usar una combinación de una transformación de Möbius y la fórmula de inversión de Stieltjes para construir la función holomorfa a partir de la parte real en el límite. Por ejemplo, la funciónF(z)=i−iz{\displaystyle f(z)=i-iz}tiene una parte realℜ(F(z))=ℑ(z){\displaystyle \Re (f(z))=\Im (z)}⁠ . En el círculo unitario esto se puede escribir ⁠12(iz−iz){\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {i}{z}}-iz\right)}Utilizando la transformación de Möbius y la fórmula de Stieltjes , construimos la función dentro del círculo.iz{\displaystyle \textstyle {\frac {i}{z}}}El término no hace ninguna contribución, y encontramos la función ⁠−iz{\displaystyle -iz}⁠ . Esto tiene la parte real correcta en el límite, y también nos da la parte imaginaria correspondiente, pero con un desfase constante, a saber :i{\displaystyle i}.​

Boceto de prueba

Utilizando el teorema integral de Cauchy , se puede demostrar que la integral sobredo{\displaystyle C}(o la curva rectificable cerrada) es igual a la misma integral tomada sobre un círculo arbitrariamente pequeño alrededor de ⁠a{\displaystyle a}Desde​F(z){\displaystyle f(z)}es continuo, podemos elegir un círculo lo suficientemente pequeño en el queF(z){\displaystyle f(z)}está arbitrariamente cerca de ⁠F(a){\displaystyle f(a)}Por otro lado, la integral∮do1z−adz=2πi,{\displaystyle \oint _{C}{\frac {1}{za}}\,dz=2\pi i,} sobre cualquier círculodo{\displaystyle C}centrado ena{\displaystyle a}Esto se puede calcular directamente mediante una parametrización ( integración por sustitución ).z(t)=a+εmiit{\displaystyle z(t)=a+\varepsilon e^{it}}dónde0≤t≤2π{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }yε{\displaystyle \varepsilon }es el radio del círculo.

Alquilerε→0{\displaystyle \varepsilon \to 0}proporciona la estimación deseada |12πi∮doF(z)z−adz−F(a)|=|12πi∮doF(z)−F(a)z−adz|=|12πi∫02π(F(z(t))−F(a)εmiit⋅εmiiti)dt|≤12π∫02π|F(z(t))−F(a)|εεdt≤máximo|z−a|=ε|F(z)−F(a)|  →ε→0  0.{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{za}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{za}}\,dz\right|\\[1ex]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)}{\varepsilon e^{it}}}\cdot \varepsilon e^{it}i\right)\,dt\right|\\[1ex]&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f{\bigl (}z(t){\bigr )}-f(a)\right|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[1ex]&\leq \max _{|za|=\varepsilon }\left|f(z)-f(a)\right|~~{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}~~0.\end{aligned}}}

Ejemplo

Superficie de la parte real de la función gramo(z)=z2z2+2z+2{\displaystyle \textstyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}y sus singularidades, con los contornos descritos en el texto.

Dejar gramo(z)=z2z2+2z+2,{\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}},} y dejardo{\displaystyle C}ser el contorno descrito por|z|=2{\displaystyle |z|=2}(el círculo de radio 2).

Para hallar la integral degramo(z){\displaystyle g(z)}alrededor del contornodo{\displaystyle C}⁠ , necesitamos conocer las singularidades de ⁠gramo(z){\displaystyle g(z)}⁠ . Observe que podemos reescribirgramo{\displaystyle g}como sigue: gramo(z)=z2(z−z1)(z−z2){\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}} dóndez1=−1+i{\displaystyle z_{1}=-1+i}y​z2=−1−i{\displaystyle z_{2}=-1-i}.​

De este modo,gramo{\displaystyle g}tiene postes enz1{\displaystyle z_{1}}y​z2{\displaystyle z_{2}}Los módulos de estos puntos son menores que 2 y, por lo tanto , se encuentran dentro del contorno. Esta integral se puede dividir en dos integrales más pequeñas mediante el teorema de Cauchy-Goursat ; es decir, podemos expresar la integral alrededor del contorno como la suma de la integral alrededor del mismo.z1{\displaystyle z_{1}}yz2{\displaystyle z_{2}}donde el contorno es un pequeño círculo alrededor de cada polo . Llama a estos contornosdo1{\displaystyle C_{1}}alrededorz1{\displaystyle z_{1}}ydo2{\displaystyle C_{2}}alrededor​z2{\displaystyle z_{2}}.​

Ahora bien, cada una de estas integrales más pequeñas puede evaluarse mediante la fórmula integral de Cauchy, pero primero deben reescribirse para aplicar el teorema. Para la integral alrededor de ⁠do1{\displaystyle C_{1}}, definirF1{\displaystyle f_{1}}como ​F1(z)=(z−z1)gramo(z){\ Displaystyle f_ {1} (z) = (z-z_ {1}) g (z)}⁠ . Esto es analítico (ya que el contorno no contiene la otra singularidad). Podemos simplificarF1{\displaystyle f_{1}}ser: F1(z)=z2z−z2{\displaystyle f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}} y ahora gramo(z)=F1(z)z−z1.{\displaystyle g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}.}

Dado que la fórmula integral de Cauchy dice que: ∮doF1(z)z−adz=2πi⋅F1(a),{\displaystyle \oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{za}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a),} Podemos evaluar la integral de la siguiente manera: ∮do1gramo(z)dz=∮do1F1(z)z−z1dz=2πiz12z1−z2.{\displaystyle \oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.}

Procediendo de la misma manera con el otro contorno: F2(z)=z2z−z1,{\displaystyle f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},} evaluamos ∮do2gramo(z)dz=∮do2F2(z)z−z2dz=2πiz22z2−z1.{\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}

La integral alrededor del contorno originaldo{\displaystyle C}entonces es la suma de estas dos integrales: ∮dogramo(z)dz=∮do1gramo(z)dz+∮do2gramo(z)dz=2πi(z12z1−z2+z22z2−z1)=2πi(−2)=−4πi.{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}

Un truco elemental que utiliza la descomposición en fracciones parciales : ∮dogramo(z)dz=∮do(1−1z−z1−1z−z2)dz=0−2πi−2πi=−4πi{\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}

Consecuencias

La fórmula integral tiene amplias aplicaciones. Primero, implica que una función que es holomorfa en un conjunto abierto es, de hecho, infinitamente diferenciable en ese conjunto. Además, es una función analítica , lo que significa que puede representarse como una serie de potencias . La demostración de esto utiliza el teorema de convergencia dominada y la serie geométrica aplicada a F(ζ)=12πi∫doF(z)z−ζdz.{\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}

La fórmula también se utiliza para demostrar el teorema de los residuos , un resultado para funciones meromorfas , y un resultado relacionado, el principio del argumento . Se sabe, por el teorema de Morera , que el límite uniforme de las funciones holomorfas es holomorfo. Esto también se puede deducir de la fórmula integral de Cauchy: de hecho, la fórmula también se cumple en el límite y el integrando, y por lo tanto la integral, se puede desarrollar como una serie de potencias. Además, las fórmulas de Cauchy para las derivadas de orden superior muestran que todas estas derivadas también convergen uniformemente.

El análogo de la fórmula integral de Cauchy en análisis real es la fórmula integral de Poisson para funciones armónicas ; muchos de los resultados para funciones holomorfas se extienden a este contexto. Sin embargo, ninguno de estos resultados es válido para clases más generales de funciones analíticas reales o diferenciables. Por ejemplo, la existencia de la primera derivada de una función real no implica necesariamente la existencia de derivadas de orden superior, ni en particular la analiticidad de la función. Del mismo modo, el límite uniforme de una sucesión de funciones diferenciables (reales) puede no ser diferenciable, o puede ser diferenciable pero con una derivada que no es el límite de las derivadas de los miembros de la sucesión.

Otra consecuencia es que siF(z)=∑anorteznorte{\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}}es holomorfo en|z|<R{\displaystyle |z|<R}y 0<r<R{\displaystyle 0<r<R}luego los coeficientesanorte{\displaystyle a_{n}}satisfacer la estimación de Cauchy [ 1 ]|anorte|=|12πi∫doF(z)(z−ζ)norte+1dz⏟=anorte|≤r−nortesorber|z|=r|F(z)|.{\displaystyle |a_{n}|={\bigg |}\underbrace {{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{(z-\zeta )^{n+1}}}\,dz\,} _{=a_{n}}{\bigg |}\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}

A partir de la estimación de Cauchy, se puede deducir fácilmente que toda función entera acotada debe ser constante (lo cual es el teorema de Liouville ).

La fórmula también se puede utilizar para derivar el teorema del valor medio de Gauss , que establece [ 2 ]F(z)=12π∫02πF(z+rmiiθ)dθ.{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\,d\theta .}

En otras palabras, el valor promedio deF{\displaystyle f}sobre el círculo centrado enz{\displaystyle z}con radior{\displaystyle r}es​F(z){\displaystyle f(z)}Esto se puede calcular directamente mediante una parametrización del círculo.

Generalizaciones

Funciones suaves

Una versión de la fórmula integral de Cauchy es la fórmula de Cauchy- Pompeiu , [ 3 ] y también es válida para funciones suaves , ya que se basa en el teorema de Stokes . Sea D{\displaystyle D}ser un disco endo{\displaystyle \mathbb {C} }y supongamos queF{\displaystyle f}es una función C 1 de valores complejos en la clausura de ⁠D{\displaystyle D}⁠ . Entonces [ 4 ] [ 5 ]F(ζ)=12πi∫∂DF(z)dzz−ζ−1π∬D∂F∂z¯(z)dincógnita∧dyz−ζ.{\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}

Se puede utilizar esta fórmula de representación para resolver las ecuaciones de Cauchy-Riemann no homogéneas en ⁠D{\displaystyle D}⁠ . De hecho, siφ{\displaystyle \varphi }es una función enD{\displaystyle D}⁠ , entonces una solución particularF{\displaystyle f}de la ecuación es una función holomorfa fuera del soporte de ⁠μ{\displaystyle \mu }⁠ . Además, si en un conjunto abierto ⁠D{\displaystyle D}⁠ , dμ=12πiφdz∧dz¯{\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}} para algunosφ∈dok(D){\displaystyle \varphi \in C^{k}(D)}(donde ⁠k≥1{\displaystyle k\geq 1}, entoncesF(ζ,ζ¯){\displaystyle f(\zeta ,{\bar {\zeta }})}también está endok(D){\displaystyle C^{k}(D)}y satisface la ecuación ∂F∂z¯=φ(z,z¯).{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).}

La primera conclusión es, sucintamente, que la convoluciónμ∗k(z){\displaystyle \mu \ast k(z)}de una medida con soporte compacto con el núcleo de Cauchyk(z)=pag.v.⁡1z{\displaystyle k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}} es una función holomorfa fuera del soporte de ⁠μ{\displaystyle \mu }Aquí​pag.v.{\displaystyle \operatorname {p.v.} } denota el valor principal . La segunda conclusión afirma que el núcleo de Cauchy es una solución fundamental de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Nótese que para funciones suaves de valor complejoF{\displaystyle f}de soporte compacto endo{\displaystyle \mathbb {C} }La fórmula integral generalizada de Cauchy se simplifica a F(ζ)=12πi∬∂F∂z¯dz∧dz¯z−ζ,{\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},} y es una reafirmación del hecho de que, considerada como una distribución ,(πz)−1{\displaystyle (\pi z)^{-1}}es una solución fundamental del operador de Cauchy- Riemann∂∂z{\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}}⁠ . [ 6 ]

La fórmula integral de Cauchy generalizada se puede deducir para cualquier región abierta acotada.incógnita{\displaystyle X}con do1{\displaystyle C^{1}}límite∂incógnita{\displaystyle \partial X}A partir de este resultado y la fórmula para la derivada distributiva de la función característicaχincógnita{\displaystyle \chi _{X}}de​incógnita{\displaystyle X}:​ ∂χincógnita∂z¯=i2∮∂incógnitadz,{\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,} donde la distribución del lado derecho denota la integración de contorno a lo largo de∂incógnita{\displaystyle \partial X}⁠ . [ 7 ]

Prueba

Paraφ∈D(incógnita){\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}(X)}calcular: ⟨∂∂z¯(χincógnita),φ⟩=−∫incógnita∂φ∂z¯ d(incógnita,y)=−12∫incógnita(∂incógnitaφ+i∂yφ)d(incógnita,y).{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\varphi \right\rangle &=-\int _{X}{\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {~d} (x,y)\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y).\end{aligned}}} luego recorrer∂incógnita{\displaystyle \partial X}en sentido antihorario. Fijar un puntopag∈∂incógnita{\displaystyle p\in \partial X}y dejars{\displaystyle s}denota la longitud del arco en∂incógnita{\displaystyle \partial X}medido desdepag{\displaystyle p}en sentido antihorario. Entonces, siℓ{\displaystyle \ell }es la longitud de∂incógnita,[0,ℓ]∋s↦(incógnita(s),y(s)){\displaystyle \partial X,[0,\ell ]\ni s\mapsto (x(s),y(s))}es una parametrización de ⁠∂incógnita{\displaystyle \partial X}⁠ . La derivadaτ=(incógnita′(s),y′(s)){\displaystyle \tau =\left(x'(s),y'(s)\right)}es una unidad tangente a∂incógnita{\displaystyle \partial X}yν:=(−y′(s),incógnita′(s)){\displaystyle \nu :=\left(-y'(s),x'(s)\right)} es la normal exterior unitaria en ⁠∂incógnita{\displaystyle \partial X}Estamos listos para usar el teorema de la divergencia :V=(φ,iφ)∈D(incógnita)2{\displaystyle V=(\varphi ,\mathrm {i} \varphi )\in {\mathcal {D}}(X)^{2}}de modo quediv⁡V=∂incógnitaφ+i∂yφ{\displaystyle \operatorname {div} V=\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi }y obtenemos −12∫incógnita(∂incógnitaφ+i∂yφ)d(incógnita,y)=−12∫∂incógnitaV⋅νdS=−12∫0ℓ(φν1+iφν2)ds=−12∫0ℓφ(incógnita(s),y(s))(y′(s)−iincógnita′(s))ds=12∫0ℓiφ(incógnita(s),y(s))(incógnita′(s)+iy′(s))ds=i2∫∂incógnitaφdz{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\int _{X}\left(\partial _{x}\varphi +\mathrm {i} \partial _{y}\varphi \right)\mathrm {d} (x,y)&=-{\frac {1}{2}}\int _{\partial X}V\cdot \nu \mathrm {d} S\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\left(\varphi \nu _{1}+\mathrm {i} \varphi \nu _{2}\right)\mathrm {d} s\\&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\varphi (x(s),y(s))\left(y'(s)-\mathrm {i} x'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ell }\mathrm {i} \varphi (x(s),y(s))\left(x'(s)+\mathrm {i} y'(s)\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}\varphi \mathrm {d} z\end{aligned}}}

Por lo tanto, demostramos que1=∂χincógnita∂z¯=i2∮∂incógnitadz{\displaystyle 1={\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz}.​

Ahora podemos deducir la fórmula integral generalizada de Cauchy:

Prueba

Desdetú=χincógnitaπ(z−z0)∈Lubicación1(incógnita){\textstyle u={\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}(X)}y desdez0∈incógnita{\displaystyle z_{0}\in X}esta distribución es localmente enincógnita{\displaystyle X}del formato "tiempos de distribución"do∞{\displaystyle C^{\infty }}función", por lo que podemos aplicar la regla de Leibniz para calcular sus derivadas: ∂tú∂z¯=∂∂z¯(1π(z−z0))χincógnita+1π(z−z0)∂∂z¯(χincógnita){\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)\chi _{X}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)}

Usando eso(πz)−1{\displaystyle (\pi z)^{-1}}es una solución fundamental del operador de Cauchy- Riemann∂∂z{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}⁠ , obtenemos ⁠∂∂z¯(1π(z−z0))=δz0{\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right)=\delta _{z_{0}}}:​ ∂tú∂z¯=δz0+1π(z−z0)∂∂z¯(χincógnita){\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}=\delta _{z_{0}}+{\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right)}

Aplicar∂tú∂z¯{\textstyle {\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}}a​ϕ∈D(incógnita){\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(X)}:​ ⟨∂∂z¯(χincógnitaπ(z−z0)),ϕ⟩=ϕ(z0)+⟨1π(z−z0)∂∂z¯(χincógnita),ϕ⟩=ϕ(z0)+⟨∂∂z¯(χincógnita),ϕπ(z−z0)⟩=ϕ(z0)+i2∫∂incógnitaϕ(z)π(z−z0)dz{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left({\frac {\chi _{X}}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right),\phi \right\rangle &=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {1}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),\phi \right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+\left\langle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(\chi _{X}\right),{\frac {\phi }{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\right\rangle \\&=\phi \left(z_{0}\right)+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)}{\pi \left(z-z_{0}\right)}}\mathrm {d} z\end{aligned}}} dónde∂χincógnita∂z¯=i2∮∂incógnitadz{\textstyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz}se utiliza en la última línea.

Reorganizando, obtenemos ϕ(z0)=12πi∫∂incógnitaϕ(z)dzz−z0−1π∬incógnita∂ϕ∂z¯(z)dincógnita∧dyz−z0.{\displaystyle \phi (z_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial X}{\frac {\phi (z)\,dz}{z-z_{0}}}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{X}{\frac {\partial \phi }{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-z_{0}}}.} como se desee.

Varias variables

En varias variables complejas , la fórmula integral de Cauchy puede generalizarse a polidiscos . [ 8 ] SeaD{\displaystyle D}sea ​​el polidisco dado como el producto cartesiano denorte{\displaystyle n}discos abiertosD1,…,Dnorte{\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n}}:​ D=∏j=1norteDj.{\displaystyle D=\prod _{j=1}^{n}D_{j}.}

Supongamos queF{\displaystyle f}es una función holomorfa enD{\displaystyle D}continuo en el cierre de ⁠D{\displaystyle D}Entonces​ F(ζ)=1(2πi)norte∫⋯∬∂D1×⋯×∂DnorteF(z1,…,znorte)(z1−ζ1)⋯(znorte−ζnorte)dz1⋯dznorte{\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{\left(2\pi i\right)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \cdots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\ldots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\cdots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}} donde​ζ=(ζ1,…,ζnorte)∈D{\displaystyle \zeta =(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in D}.​

En álgebras reales

La fórmula integral de Cauchy es generalizable a espacios vectoriales reales de dos o más dimensiones. La comprensión de esta propiedad proviene del álgebra geométrica , donde se consideran objetos más allá de escalares y vectores (como bivectores planares y trivectores volumétricos ), y una generalización adecuada del teorema de Stokes .

El cálculo geométrico define un operador de derivada∇=mi^j∂j{\displaystyle \nabla ={\hat {e}}_{j}\partial _{j}} bajo su producto geométrico – es decir, para unk{\displaystyle k}-campo vectorialψ(r){\displaystyle \psi (r)}⁠ , el derivado ∇ψ{\displaystyle \nabla \psi }generalmente contiene términos de gradok+1{\displaystyle k+1}y​k−1{\displaystyle k-1}⁠ . Por ejemplo, un campo vectorialk=1{\displaystyle k=1}generalmente tiene en su derivada una parte escalar, la divergencia ( ⁠k=0{\displaystyle k=0}⁠ ), y una parte bivectorial, el rotacional ( ⁠k=2{\displaystyle k=2}) . Este operador de derivada en particular tiene una función de Green : GRAMO(r,r′)=1Snorter−r′|r−r′|norte{\displaystyle G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}} dóndeSnorte{\displaystyle S_{n}}es el área de superficie de una unidadnorte{\displaystyle n}- pelota en el espacio (es decir ,S2=2π{\displaystyle S_{2}=2\pi }⁠ , la circunferencia de un círculo con radio ⁠1{\displaystyle 1}y​​S3=4π{\displaystyle S_{3}=4\pi }⁠ , el área de la superficie de una esfera con radio ⁠1{\displaystyle 1}⁠ ). Por definición de una función de Green, ∇GRAMO(r,r′)=δ(r−r′).{\displaystyle \nabla G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)=\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right).}

Es esta útil propiedad la que se puede utilizar, junto con el teorema generalizado de Stokes : ∮∂VdSF(r)=∫VdV∇F(r){\displaystyle \oint _{\partial V}d\mathbf {S} \;f(\mathbf {r} )=\int _{V}d\mathbf {V} \;\nabla f(\mathbf {r} )} donde, por unnorte{\displaystyle n}espacio vectorial de -dimensiones,dS{\displaystyle dS}es unnorte−1{\displaystyle n-1}-vector ydV{\displaystyle dV}es unnorte{\displaystyle n}-vector. La funciónF(r){\displaystyle f(r)}En principio, puede estar compuesto por cualquier combinación de multivectores. La demostración del teorema integral de Cauchy para espacios de dimensiones superiores se basa en el uso del teorema generalizado de Stokes sobre la cantidadGRAMO(r,r′)F(r){\displaystyle G(r,r')f(r)}y el uso de la regla del producto: ∮∂V′GRAMO(r,r′)dS′F(r′)=∫V([∇′GRAMO(r,r′)]F(r′)+GRAMO(r,r′)∇′F(r′))dV{\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left(\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)+G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\nabla 'f\left(\mathbf {r} '\right)\right)\;d\mathbf {V} }

Cuando​∇F=0{\displaystyle \nabla f=0}⁠ ,F(r){\displaystyle f(r)}Se denomina función monogénica , la generalización de las funciones holomorfas a espacios de dimensiones superiores; de hecho, se puede demostrar que la condición de Cauchy-Riemann es simplemente la expresión bidimensional de la condición monogénica. Cuando se cumple esa condición, el segundo término de la integral de la derecha se anula, quedando solo ∮∂V′GRAMO(r,r′)dS′F(r′)=∫V[∇′GRAMO(r,r′)]F(r′)=−∫Vδ(r−r′)F(r′)dV=−inorteF(r){\displaystyle \oint _{\partial V'}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} '\;f\left(\mathbf {r} '\right)=\int _{V}\left[\nabla 'G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\right]f\left(\mathbf {r} '\right)=-\int _{V}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)f\left(\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {V} =-i_{n}f(\mathbf {r} )} dóndeinorte{\displaystyle i_{n}}¿Es esa la unidad del álgebra?norte{\displaystyle n}-vector, el pseudoescalar . El resultado es F(r)=−1inorte∮∂VGRAMO(r,r′)dSF(r′)=−1inorte∮∂Vr−r′Snorte|r−r′|nortedSF(r′){\displaystyle f(\mathbf {r} )=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '\right)\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{S_{n}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{n}}}\;d\mathbf {S} \;f\left(\mathbf {r} '\right)}

Así, al igual que en el caso bidimensional (análisis complejo), el valor de una función analítica (monogénica) en un punto se puede hallar mediante una integral sobre la superficie que rodea dicho punto, y esto es válido no solo para funciones escalares, sino también para funciones vectoriales y multivectoriales en general.

Véase también

Notas

  1. ↑ Titchmarsh 1939 , pág. 84 
  2. ↑ "Teorema del valor medio de Gauss" . Sitio web de Wolfram Alpha .
  3. ↑ Pompeya 1905
  4. ↑ Hörmander 1966 , Teorema 1.2.1
  5. ↑ Lebl 2025 , pág. 130, Teorema 4.1.1 (Cauchy–Pompieu) 
  6. ↑ Hörmander 1983 , págs.63 , 81 
  7. ↑ Hörmander 1983 , págs. 62-63 
  8. ↑ Hörmander 1966 , Teorema 2.2.1

Referencias

  • Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo (3.ª  ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Álgebra geométrica para físicos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9.
  • Hörmander, Lars (1966). Introducción al análisis complejo en varias variables . Van Nostrand.
  • Hörmander, Lars (1983). Análisis de operadores diferenciales parciales lineales I. Springer. ISBN 3-540-12104-8.
  • Lebl, Jiří (20 de mayo de 2025). Deliciosos fragmentos de varias variables complejas: un recorrido vertiginoso por el tema (PDF) .
  • Pompeyo, D. (1905). "Sur la continuité des fonctions de variables complexes" [ Sobre la continuidad de funciones variables complejas ] (PDF) . Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse [ Anales de la Facultad de Ciencias de Toulouse ] . Serie 2 (en francés). 7 (3): 265–315 .
  • Titchmarsh, EC (1939). Teoría de las funciones (2ª  ed.). Oxford University Press .