Convergencia uniforme

En el campo matemático del análisis , la convergencia uniforme es un modo de convergencia de funciones más fuerte que la convergencia puntual . Una secuencia de funciones${\displaystyle (f_{n})}$converge uniformemente a una función límite${\displaystyle f}$si, en términos generales, se aproximan uniformemente a la función${\displaystyle f}$en todo el dominio, lo que significa que casi todas las funciones de la secuencia se encuentran dentro de una barra de error uniforme de la función original. Gráficamente, esto significa que, dada cualquier banda delgada alrededor de la gráfica de${\displaystyle f}$, las gráficas de todas las funciones excepto un número finito de ellas${\displaystyle f_{n}}$se encuentran dentro de esa banda delgada. Esto contrasta con la convergencia puntual, en la que casi todas las funciones se encuentran dentro de una banda delgada en cada punto, pero el conjunto finito de funciones que deben excluirse para que esto ocurra varía de un punto a otro.

La fuerza de la convergencia uniforme la hace ideal en muchas aplicaciones donde la convergencia puntual no es suficiente. Por ejemplo, el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas es automáticamente continuo; el límite uniforme de funciones integrables de Riemann es automáticamente integrable de Riemann. Con hipótesis adicionales, la diferenciabilidad también puede transferirse a la función límite. La diferencia entre convergencia uniforme y convergencia puntual no se comprendió del todo en los inicios del cálculo, lo que dio lugar a razonamientos erróneos. El concepto fue formalizado por primera vez por Karl Weierstrass .

En 1821, Augustin-Louis Cauchy publicó una demostración de que una suma convergente de funciones continuas es siempre continua, a la que Niels Henrik Abel encontró en 1826 supuestos contraejemplos en el contexto de las series de Fourier , argumentando que la demostración de Cauchy debía ser incorrecta. En aquel entonces no existían nociones completamente estándar de convergencia, y Cauchy la abordó utilizando métodos infinitesimales. En lenguaje moderno, lo que Cauchy demostró es que una sucesión uniformemente convergente de funciones continuas tiene un límite continuo. El hecho de que un límite de funciones continuas que converge puntualmente no converja a una función continua ilustra la importancia de distinguir entre diferentes tipos de convergencia al trabajar con sucesiones de funciones. ^{[ 1 ]}

El término convergencia uniforme probablemente fue utilizado por primera vez por Christoph Gudermann , en un artículo de 1838 sobre funciones elípticas , donde empleó la frase "convergencia de manera uniforme" cuando el "modo de convergencia" de una serie${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi,\psi)}$es independiente de las variables${\displaystyle \phi }$y${\displaystyle \psi .}$Aunque consideraba un "hecho notable" que una serie convergiera de esta manera, no dio una definición formal ni utilizó la propiedad en ninguna de sus demostraciones. ^{[ 2 ]}

Más tarde, Karl Weierstrass , alumno de Gudermann que asistió a su curso sobre funciones elípticas entre 1839 y 1840, acuñó el término gleichmäßig konvergent ( en alemán : convergencia uniforme ), que utilizó en su artículo de 1841, Zur Theorie der Potenzreihen , publicado en 1894. De forma independiente, Philipp Ludwig von Seidel ^{[ 3 ]} y George Gabriel Stokes articularon conceptos similares . GH Hardy compara las tres definiciones en su artículo «Sir George Stokes y el concepto de convergencia uniforme» y comenta: «El descubrimiento de Weierstrass fue el primero, y solo él comprendió plenamente su gran importancia como una de las ideas fundamentales del análisis».

Bajo la influencia de Weierstrass y Bernhard Riemann, este concepto y las cuestiones relacionadas fueron estudiadas intensamente a finales del siglo XIX por Hermann Hankel , Paul du Bois-Reymond , Ulisse Dini , Cesare Arzelà y otros.

Primero definimos la convergencia uniforme para funciones de valor real , aunque el concepto se generaliza fácilmente a funciones que se mapean a espacios métricos y, más generalmente, a espacios uniformes (véase más adelante ). ^{[ 4 ]}

Suponer${\displaystyle E}$es un conjunto y${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es una sucesión de funciones de valor real definidas en ella. Decimos que la sucesión${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es uniformemente convergente en${\displaystyle E}$con límite${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$si por cada${\displaystyle \varepsilon >0,}$existe un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que para todos${\displaystyle n\geq N}$y para todos${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\bigl |}f_{n}(x)-f(x){\bigr |}<\varepsilon .}$

La notación para la convergencia uniforme de${\displaystyle f_{n}}$a${\displaystyle f}$No está del todo estandarizado y diferentes autores han utilizado una variedad de símbolos, entre los que se incluyen (en orden aproximado decreciente de popularidad):

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _{n\to \infty }f_{n}.}$

Con frecuencia, no se utiliza ningún símbolo especial y los autores simplemente escriben

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformemente} }$

para indicar que la convergencia es uniforme. (En contraste, la expresión${\displaystyle f_{n}\to f}$en${\displaystyle E}$sin un adverbio se entiende que significa convergencia puntual en${\displaystyle E}$: para todos${\displaystyle x\in E}$,${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$como${\displaystyle n\to \infty }$.)

Desde${\displaystyle \mathbb {R} }$Si es un espacio métrico completo , se puede utilizar el criterio de Cauchy para proporcionar una formulación alternativa equivalente para la convergencia uniforme:${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$converge uniformemente en${\displaystyle E}$(en el sentido anterior) si y solo si para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe un número natural${\displaystyle N}$de tal manera que

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies {\bigl |}f_{m}(x)-f_{n}(x){\bigr |}<\varepsilon }$.

En otra formulación equivalente (derivada mediante la definición de límite y supremo ), si definimos

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}{\bigl |}f_{n}(x)-f(x){\bigr |},}$

entonces${\displaystyle f_{n}}$converge a${\displaystyle f}$uniformemente si y solo si${\displaystyle d_{n}\to 0}$como${\displaystyle n\to \infty }$. Por lo tanto, podemos caracterizar la convergencia uniforme de${\displaystyle \textstyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$en${\displaystyle E}$como convergencia (simple) de${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$en el espacio de funciones${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$con respecto a la métrica uniforme (también llamada métrica suprema ), definida por

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}{\bigl |}f(x)-g(x){\bigr |}.}$

Simbólicamente,

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff d(f_{n},f)\to 0}$.

La secuencia${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$Se dice que es localmente uniformemente convergente con límite${\displaystyle f}$si${\displaystyle E}$es un espacio métrico y para cada${\displaystyle x\in E}$, existe un${\displaystyle r>0}$de tal manera que${\displaystyle (f_{n})}$converge uniformemente en${\displaystyle B(x,r)\cap E}$dónde${\displaystyle B(x,r)}$es una bola centrada en x con radio r . Es evidente que la convergencia uniforme implica convergencia uniforme local, lo que implica convergencia puntual.

Para${\displaystyle x\in [0,1)}$Un ejemplo básico de convergencia uniforme se puede ilustrar de la siguiente manera: la secuencia${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{x+n}}$converge uniformemente, mientras que${\displaystyle x^{n}}$No lo hace. Específicamente, supongamos${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{4}}}$Cada función${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{x+n}}$es menor o igual que${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$cuando${\displaystyle n\geq 2}$, independientemente del valor de${\displaystyle x}$. Por otro lado,${\displaystyle x^{n}}$es solo menor o igual que${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$a valores cada vez mayores de${\displaystyle n}$cuando los valores de${\displaystyle x}$se seleccionan valores cada vez más cercanos a 1 (explicado con más detalle más adelante).

Dado un espacio topológico X , podemos dotar al espacio de funciones acotadas reales o complejas con valores en sobre X con la topología de norma uniforme , con la métrica uniforme definida por

${\displaystyle d(f,g)={\|fg\|}_{\infty }=\sup _{x\in X}{\bigl |}f(x)-g(x){\bigr |}.}$

Entonces, la convergencia uniforme simplemente significa convergencia en la topología de norma uniforme :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\|f_{n}-f\|}_{\infty }=0}$.

La secuencia de funciones${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\[3mu]f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

es un ejemplo clásico de una secuencia de funciones que converge a una función${\displaystyle f}$puntualmente pero no uniformemente. Para demostrar esto, primero observamos que el límite puntual de${\displaystyle (f_{n})}$como${\displaystyle n\to \infty }$es la función${\displaystyle f}$, dado por

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\[3mu]1,&x=1.\end{cases}}}$

Convergencia puntual: La convergencia es trivial para${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle x=1}$, desde${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$y${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$, para todos${\displaystyle n}$. Para${\displaystyle x\in (0,1)}$y dado${\displaystyle \varepsilon >0}$, podemos asegurar que${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$cuando sea${\displaystyle n\geq N}$al elegir${\displaystyle N=\lceil \log \varepsilon /\log x\rceil }$, que es el exponente entero mínimo de${\displaystyle x}$que le permite alcanzar o descender por debajo${\displaystyle \varepsilon }$(aquí los corchetes superiores indican redondeo hacia arriba, véase la función techo ). Por lo tanto,${\displaystyle f_{n}\to f}$punto por punto para todos${\displaystyle x\in [0,1]}$. Tenga en cuenta que la elección de${\displaystyle N}$depende del valor de${\displaystyle \varepsilon }$y${\displaystyle x}$. Además, para una elección fija de${\displaystyle \varepsilon }$,${\displaystyle N}$(que no puede definirse como más pequeño) crece sin límite a medida que${\displaystyle x}$enfoques 1. Estas observaciones excluyen la posibilidad de una convergencia uniforme.

No uniformidad de la convergencia: La convergencia no es uniforme, porque podemos encontrar una${\displaystyle \varepsilon >0}$para que no importa cuán grande elijamos${\displaystyle N,}$habrá valores de${\displaystyle x\in [0,1]}$y${\displaystyle n\geq N}$de tal manera que${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon .}$Para ver esto, primero observe que independientemente de cuán grande sea${\displaystyle n}$se convierte, siempre hay un${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$de tal manera que${\displaystyle f_{n}(x_{0})={\tfrac {1}{2}}.}$Por lo tanto, si elegimos${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{4}},}$nunca podremos encontrar un${\displaystyle N}$de tal manera que${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$a pesar de${\displaystyle x\in [0,1]}$y${\displaystyle n\geq N}$. Explícitamente, cualquier candidato que elijamos para${\displaystyle N}$, considere el valor de${\displaystyle f_{N}}$en${\displaystyle \textstyle x_{0}={\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{1/N}}$. Desde

${\displaystyle {\bigl |}f_{N}(x_{0})-f(x_{0}){\bigr |}=\left|{{\Bigl (}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{1/N}{\Bigr )}{\vphantom {\big |}}^{N}\!-0}~\!\right|={\tfrac {1}{2}}>{\tfrac {1}{4}}=\varepsilon ,}$

El candidato fracasa porque hemos encontrado un ejemplo de un${\displaystyle x\in [0,1]}$que "escapó" a nuestro intento de "confinar" cada uno${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$a dentro${\displaystyle \varepsilon }$de${\displaystyle f}$a pesar de${\displaystyle x\in [0,1]}$De hecho, es fácil ver que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

contrario al requisito de que${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$si${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$.

En este ejemplo se puede ver fácilmente que la convergencia puntual no preserva la diferenciabilidad ni la continuidad. Mientras que cada función de la sucesión es suave, es decir, que para todo n ,${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$, el límite${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$Ni siquiera es continuo.

• Toda sucesión uniformemente convergente es localmente uniformemente convergente.
• Toda sucesión localmente uniformemente convergente es compactamente convergente .
• En espacios localmente compactos , la convergencia uniforme local y la convergencia compacta coinciden.
• Una sucesión de funciones continuas en espacios métricos, siendo el espacio métrico de la imagen completo, es uniformemente convergente si y solo si es uniformemente Cauchy .
• Si${\displaystyle S}$es un intervalo compacto (o en general un espacio topológico compacto), y${\displaystyle (f_{n})}$es una secuencia monótona creciente (que significa${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$para todo n y x ) de funciones continuas con un límite puntual${\displaystyle f}$que también es continua, entonces la convergencia es necesariamente uniforme ( teorema de Dini ). La convergencia uniforme también está garantizada si${\displaystyle S}$es un intervalo compacto y${\displaystyle (f_{n})}$es una sucesión equicontinua que converge puntualmente.

La convergencia uniforme es la topología de norma en varios espacios de funciones importantes . Por ejemplo, sea${\displaystyle C([0,1])}$denotamos el espacio de funciones continuas de valor real o complejo en el intervalo unitario. Con la norma del supremo$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|,}$$ Este es un espacio de Banach . Una secuencia${\displaystyle f_{n}}$en${\displaystyle C([0,1])}$converge a${\displaystyle f}$en esta norma precisamente cuando $${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0,}$$ que es exactamente una convergencia uniforme en${\displaystyle [0,1]}$.

La integridad de${\displaystyle C([0,1])}$Se deduce de la completitud de los números reales o complejos. Si${\displaystyle (f_{n})}$es Cauchy en la norma suprema, entonces para cada${\displaystyle x\in [0,1]}$la secuencia${\displaystyle (f_{n}(x))}$es Cauchy, ya que $${\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leq \|f_{n}-f_{m}\|_{\infty }.}$$ De este modo${\displaystyle f_{n}(x)}$converge puntualmente a una función${\displaystyle f(x)}$. Además, la convergencia es uniforme: para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$, hay un${\displaystyle N}$de tal manera que${\displaystyle \|f_{n}-f_{m}\|_{\infty }<\varepsilon }$cuando sea${\displaystyle n,m\geq N}$; dejando${\displaystyle m\to \infty }$da $${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \varepsilon }$$a pesar de${\displaystyle x\in [0,1]}$y todo${\displaystyle n\geq N}$. Dado que un límite uniforme de funciones continuas es continuo,${\displaystyle f\in C([0,1])}$.

En términos más generales, si${\displaystyle X}$es un espacio Hausdorff compacto , entonces${\displaystyle C(X)}$, con la norma suprema, es un espacio de Banach. Si${\displaystyle X}$no es compacto, la norma suprema no tiene por qué ser finita en todos los${\displaystyle C(X)}$En ese caso, a menudo se utiliza la topología de convergencia uniforme en subconjuntos compactos, también llamada topología compacta-abierta en este contexto. Por ejemplo, si${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff localmente compacto y σ-compacto , esta topología es generada por las seminormas

$${\displaystyle p_{K}(f)=\sup _{x\in K}|f(x)|,}$$

dónde${\displaystyle K}$abarca subconjuntos compactos de${\displaystyle X}$, haciendo${\displaystyle C(X)}$en un espacio Fréchet .

Para cualquier conjunto${\displaystyle X}$, el espacio${\displaystyle \ell ^{\infty }(X)}$de todas las funciones acotadas de valor real o de valor complejo en${\displaystyle X}$, equipado con la norma suprema $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)|,}$$ es también un espacio de Banach. La convergencia en esta norma es exactamente una convergencia uniforme en${\displaystyle X}$. La norma suprema en${\displaystyle C(X)}$para un espacio compacto${\displaystyle X}$se hereda de la norma de${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, entonces${\displaystyle C(X)\subset \ell ^{\infty }(X)}$es un subespacio cerrado.

Si${\displaystyle (X,\mu )}$es una medida de espacio, el espacio${\displaystyle L^{\infty }(X,\mu )}$de funciones medibles esencialmente acotadas en${\displaystyle X}$, junto con la norma suprema esencial${\displaystyle \|f\|=\operatorname {esssup} _{x\in X}|f(x)|}$. Para muchos espacios de interés práctico, como subconjuntos compactos del espacio euclidiano y espacios topológicos compactos, la medida de Borel natural se incrusta${\displaystyle C(X)}$en un subespacio cerrado de${\displaystyle L^{\infty }(X,\mu )}$. En estos casos, la norma que da convergencia uniforme es la misma que la${\displaystyle L^{\infty }}$norma, y ​​por lo tanto llamada la${\displaystyle L^{\infty }}$norma.

Si el dominio de las funciones es un espacio de medida E, entonces se puede definir la noción relacionada de convergencia casi uniforme . Decimos que una sucesión de funciones${\displaystyle (f_{n})}$converge casi uniformemente en E si para cada${\displaystyle \delta >0}$existe un conjunto medible${\displaystyle E_{\delta }}$con medida menor que${\displaystyle \delta }$de tal manera que la secuencia de funciones${\displaystyle (f_{n})}$converge uniformemente en${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$En otras palabras, la convergencia casi uniforme significa que existen conjuntos de medida arbitrariamente pequeña para los cuales la secuencia de funciones converge uniformemente en su complemento.

Cabe señalar que la convergencia casi uniforme de una sucesión no implica que la sucesión converja uniformemente en casi todas partes , como podría deducirse del nombre. Sin embargo, el teorema de Egorov garantiza que, en un espacio de medida finito, una sucesión de funciones que converge casi en todas partes también converge casi uniformemente en el mismo conjunto.

La convergencia casi uniforme implica convergencia casi en todas partes y convergencia en medida .

• Convergencia uniforme en probabilidad
• Modos de convergencia (índice anotado)
• Teorema de Dini
• Teorema de Arzelà-Ascoli
• Topología compacta y abierta

• Konrad Knopp , Teoría y aplicación de las series infinitas ; Blackie and Son, Londres, 1954, reimpreso por Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• GH Hardy , Sir George Stokes y el concepto de convergencia uniforme ; Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 19 , págs.  148-156 (1918)
• Bourbaki ; Elementos de matemáticas: Topología general. Capítulos 5–10 (edición de bolsillo) ; ISBN 0-387-19374-X
• Walter Rudin , Principios de análisis matemático , 3.ª ed., McGraw-Hill, 1976.
• Gerald Folland , Análisis real: Técnicas modernas y sus aplicaciones, Segunda edición, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
• William Wade, Introducción al análisis , 3.ª ed., Pearson, 2005

"Convergencia uniforme" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

• Ejemplos gráficos de convergencia uniforme de series de Fourier de la Universidad de Colorado