proceso de Cauchy

En teoría de la probabilidad , un proceso de Cauchy es un tipo de proceso estocástico . Existen formas simétricas y asimétricas del proceso de Cauchy. ^{[ 1 ]} El término genérico "proceso de Cauchy" se usa a menudo para referirse al proceso de Cauchy simétrico. ^{[ 2 ]}

El proceso de Cauchy tiene una serie de propiedades:

1. Es un proceso de Lévy ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}
2. Es un proceso estable ^{[ 1 ] [ 2 ]}
3. Es un proceso de salto puro ^{[ 6 ]}
4. Sus momentos son infinitos .

El proceso de Cauchy simétrico puede describirse mediante un movimiento browniano o un proceso de Wiener sujeto a un subordinator de Lévy . ^{[ 7 ]} El subordinator de Lévy es un proceso asociado a una distribución de Lévy con parámetro de localización de${\displaystyle 0}$y un parámetro de escala de${\displaystyle t^{2}/2}$. ^{[ 7 ]} La distribución de Lévy es un caso especial de la distribución gamma inversa . Por lo tanto, usando${\displaystyle C}$para representar el proceso de Cauchy y${\displaystyle L}$Para representar el subordinator de Lévy, el proceso de Cauchy simétrico se puede describir como:

${\displaystyle C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).}$

La distribución de Lévy es la probabilidad del primer tiempo de impacto para un movimiento browniano, y por lo tanto el proceso de Cauchy es esencialmente el resultado de dos procesos de movimiento browniano independientes . ^{[ 7 ]}

La representación de Lévy-Khintchine para el proceso de Cauchy simétrico es una tripleta con deriva cero y difusión cero, lo que da como resultado una tripleta de Lévy-Khintchine de${\displaystyle (0,0,W)}$, dónde${\displaystyle W(dx)=dx/(\pi x^{2})}$. ^{[ 8 ]}

La función característica marginal del proceso de Cauchy simétrico tiene la forma: ^{[ 1 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t|\theta |}.}$

La distribución de probabilidad marginal del proceso de Cauchy simétrico es la distribución de Cauchy cuya densidad es ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right].}$

El proceso de Cauchy asimétrico se define en términos de un parámetro${\displaystyle \beta }$. Aquí ${\displaystyle \beta }$es el parámetro de asimetría , y su valor absoluto debe ser menor o igual a 1. ^{[ 1 ]} En el caso donde${\displaystyle |\beta |=1}$El proceso se considera un proceso de Cauchy completamente asimétrico. ^{[ 1 ]}

El triplete de Lévy-Khintchine tiene la forma${\displaystyle (0,0,W)}$, dónde${\displaystyle W(dx)={\begin{cases}Ax^{-2}\,dx&{\text{if }}x>0\\Bx^{-2}\,dx&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$, dónde${\displaystyle A\neq B}$,${\displaystyle A>0}$y${\displaystyle B>0}$. ^{[ 1 ]}

Dado esto,${\displaystyle \beta }$es una función de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$.

La función característica de la distribución de Cauchy asimétrica tiene la forma: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} {\Big [}e^{i\theta X_{t}}{\Big ]}=e^{-t(|\theta |+i\beta \theta \ln |\theta |/(2\pi ))}.}$

La distribución de probabilidad marginal del proceso de Cauchy asimétrico es una distribución estable con un índice de estabilidad (es decir, parámetro α) igual a 1.