Estructura causal

Si${\displaystyle \,(M,g)}$es una variedad lorentziana (para métrica${\displaystyle g}$en el colector${\displaystyle M}$) entonces los vectores tangentes no nulos en cada punto de la variedad se pueden clasificar en tres tipos disjuntos . Un vector tangente${\displaystyle X}$es:

• similar al tiempo si${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• nulo o similar a la luz si${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• similar al espacio si${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

Aquí utilizamos el${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$firma métrica . Decimos que un vector tangente no es espacial si es nulo o temporal.

La variedad lorentziana canónica es el espaciotiempo de Minkowski , donde${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$y${\displaystyle g}$es la métrica plana de Minkowski . Los nombres de los vectores tangentes provienen de la física de este modelo. Las relaciones causales entre puntos en el espacio-tiempo de Minkowski toman una forma particularmente simple porque el espacio tangente también es${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$y por lo tanto los vectores tangentes pueden identificarse con puntos en el espacio. El vector de cuatro dimensiones${\displaystyle X=(t,r)}$se clasifica según el signo de${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$, dónde${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$es una coordenada cartesiana en el espacio tridimensional,${\displaystyle c}$es la constante que representa el límite de velocidad universal, y${\displaystyle t}$es el tiempo. La clasificación de cualquier vector en el espacio será la misma en todos los sistemas de referencia que estén relacionados por una transformación de Lorentz (pero no por una transformación de Poincaré general porque el origen puede desplazarse) debido a la invariancia de la métrica.

En cada punto en${\displaystyle M}$Los vectores tangentes de tipo temporal en el espacio tangente del punto se pueden dividir en dos clases. Para ello, primero definimos una relación de equivalencia entre pares de vectores tangentes de tipo temporal.

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son dos vectores tangentes de tipo temporal en un punto decimos que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son equivalentes (escritos)${\displaystyle X\sim Y}$) si${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$.

Existen entonces dos clases de equivalencia que, en conjunto, contienen todos los vectores tangentes temporales en el punto. Podemos denominar (arbitrariamente) a una de estas clases de equivalencia como dirigida al futuro y a la otra como dirigida al pasado . Físicamente, esta designación de las dos clases de vectores temporales dirigidos al futuro y al pasado corresponde a la elección de una flecha del tiempo en el punto. Las designaciones de vectores dirigidos al futuro y al pasado pueden extenderse a vectores nulos en un punto mediante la continuidad.

Una variedad lorentziana es orientable en el tiempo ^{[ 1 ]} si se puede hacer una designación continua de vectores dirigidos hacia el futuro y hacia el pasado para vectores no espaciales en toda la variedad.

Un camino en${\displaystyle M}$es un mapa continuo${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to M} donde${\displaystyle \Sigma }$es un intervalo no degenerado (es decir, un conjunto conexo que contiene más de un punto) en${\displaystyle \mathbb {R} }$. Un camino suave tiene${\displaystyle \mu }$diferenciable un número apropiado de veces (típicamente${\displaystyle C^{\infty }}$), y una trayectoria regular tiene derivada no nula.

Una curva en${\displaystyle M}$es la imagen de un camino o, más propiamente, una clase de equivalencia de caminos relacionados por reparametrización, es decir, homeomorfismos o difeomorfismos de${\displaystyle \Sigma }$. Cuando${\displaystyle M}$es orientable en el tiempo, la curva está orientada si se requiere que el cambio del parámetro sea una función monótona estrictamente creciente .

Curvas regulares suaves (o trayectorias) en${\displaystyle M}$pueden clasificarse según sus vectores tangentes. Tal curva es

• cronológica (o de tipo temporal ) si el vector tangente es de tipo temporal en todos los puntos de la curva. También llamada línea de universo . ^{[ 2 ]}
• nulo si el vector tangente es nulo en todos los puntos de la curva.
• Se considera que un vector es espacial si el vector tangente es espacial en todos los puntos de la curva.
• causal (o no espacial ) si el vector tangente es temporal o nulo en todos los puntos de la curva.

Los requisitos de regularidad y no degeneración de${\displaystyle \Sigma }$asegurar que las curvas causales cerradas (como las que constan de un solo punto) no sean admitidas automáticamente por todos los espaciotiempos.

Si la variedad es orientable en el tiempo, entonces las curvas no espaciales pueden clasificarse además dependiendo de su orientación con respecto al tiempo.

Una curva cronológica, nula o causal en${\displaystyle M}$es

• Dirigido hacia el futuro si, para cada punto de la curva, el vector tangente está dirigido hacia el futuro.
• Se dice que un vector está dirigido hacia el pasado si, para cada punto de la curva, el vector tangente está dirigido hacia el pasado.

Estas definiciones solo se aplican a curvas causales (cronológicas o nulas) porque solo a los vectores tangentes temporales o nulos se les puede asignar una orientación con respecto al tiempo.

• Una curva temporal cerrada es una curva cerrada que es temporal en todos los puntos y está dirigida hacia el futuro (o hacia el pasado).
• Una curva nula cerrada es una curva cerrada que es nula en todas partes con dirección hacia el futuro (o nula en todas partes con dirección hacia el pasado).
• La holonomía de la razón de la tasa de cambio del parámetro afín alrededor de una geodésica nula cerrada es el factor de corrimiento al rojo .

Existen varias relaciones causales entre puntos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en el colector${\displaystyle M}$.

• ${\displaystyle x}$cronológicamente precede${\displaystyle y}$(a menudo denotado${\displaystyle \,x\ll y}$) si existe una curva cronológica (temporal) dirigida hacia el futuro desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$precede estrictamente causalmente${\displaystyle y}$(a menudo denotado${\displaystyle x<y}$) si existe una curva causal (no espacial) dirigida hacia el futuro desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$.
• ${\displaystyle x}$precede causalmente${\displaystyle y}$(a menudo denotado${\displaystyle x\prec y}$o${\displaystyle x\leq y}$) si${\displaystyle x}$precede estrictamente causalmente${\displaystyle y}$o${\displaystyle x=y}$.
• ${\displaystyle x}$horismos${\displaystyle y}$^{[ 3 ]} (a menudo denotado${\displaystyle x\to y}$o${\displaystyle x\nearrow y}$) si${\displaystyle x=y}$o existe una curva nula dirigida hacia el futuro desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$^{[ 4 ]} (o equivalentemente,${\displaystyle x\prec y}$y${\displaystyle x\not \ll y}$implica${\displaystyle x\prec y}$(esto se deduce trivialmente de la definición)) ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle x\ll y}$,${\displaystyle y\prec z}$implica${\displaystyle x\ll z}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle x\prec y}$,${\displaystyle y\ll z}$implica${\displaystyle x\ll z}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \ll }$,${\displaystyle <}$,${\displaystyle \prec }$son transitivos . ^{[ 5 ]}${\displaystyle \to }$no es transitivo. La relación causal${\displaystyle \prec }$es la extensión transitiva más pequeña de la relación horismos${\displaystyle \to }$. ^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle \prec }$,${\displaystyle \to }$son reflexivos ^{[ 4 ]}

Por un punto${\displaystyle x}$en el colector${\displaystyle M}$definimos ^{[ 5 ]}

• El futuro cronológico de${\displaystyle x}$, denotado${\displaystyle \,I^{+}(x)}$, como el conjunto de todos los puntos${\displaystyle y}$en${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle x}$cronológicamente precede${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• El pasado cronológico de${\displaystyle x}$, denotado${\displaystyle \,I^{-}(x)}$, como el conjunto de todos los puntos${\displaystyle y}$en${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle y}$cronológicamente precede${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

De manera similar definimos

• El futuro causal (también llamado futuro absoluto ) de${\displaystyle x}$, denotado${\displaystyle \,J^{+}(x)}$, como el conjunto de todos los puntos${\displaystyle y}$en${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle x}$precede causalmente${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• El pasado causal (también llamado pasado absoluto ) de${\displaystyle x}$, denotado${\displaystyle \,J^{-}(x)}$, como el conjunto de todos los puntos${\displaystyle y}$en${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle y}$precede causalmente${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• El futuro cono nulo de${\displaystyle x}$como el conjunto de todos los puntos${\displaystyle y}$en${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle x\to y}$.
• El cono nulo pasado de${\displaystyle x}$como el conjunto de todos los puntos${\displaystyle y}$en${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle y\to x}$.
• El cono de luz de${\displaystyle x}$como los conos nulos futuros y pasados ​​de${\displaystyle x}$juntos. ^{[ 7 ]}
• en otros lugares como puntos que no están en el cono de luz, futuro causal o pasado causal. ^{[ 7 ]}

Puntos contenidos en${\displaystyle \,I^{+}(x)}$, por ejemplo, se puede acceder desde${\displaystyle x}$mediante una curva temporal orientada hacia el futuro. El punto${\displaystyle x}$se puede acceder, por ejemplo, desde puntos contenidos en${\displaystyle \,J^{-}(x)}$mediante una curva no espacial orientada hacia el futuro.

En el espacio-tiempo de Minkowski el conjunto${\displaystyle \,I^{+}(x)}$es el interior del futuro cono de luz en${\displaystyle x}$. El conjunto${\displaystyle \,J^{+}(x)}$es el cono de luz futuro completo en${\displaystyle x}$, incluyendo el cono mismo.

Estos conjuntos${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$ definido para todos${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$, se denominan colectivamente la estructura causal de${\displaystyle M}$.

Para${\displaystyle S}$un subconjunto de${\displaystyle M}$definimos ^{[ 5 ]}

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

Para${\displaystyle S,T}$dos subconjuntos de${\displaystyle M}$definimos

• El futuro cronológico de${\displaystyle S}$relativo a${\displaystyle T}$,${\displaystyle I^{+}[S;T]}$, es el futuro cronológico de${\displaystyle S}$considerada como una subvariedad de${\displaystyle T}$. Tenga en cuenta que este es un concepto bastante diferente de${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$que da el conjunto de puntos en${\displaystyle T}$que se pueden alcanzar mediante curvas temporales orientadas hacia el futuro que parten de${\displaystyle S}$. En el primer caso, las curvas deben estar en${\displaystyle T}$En el segundo caso, no. Véase Hawking y Ellis.
• El futuro causal de${\displaystyle S}$relativo a${\displaystyle T}$,${\displaystyle J^{+}[S;T]}$, es el futuro causal de${\displaystyle S}$considerada como una subvariedad de${\displaystyle T}$. Tenga en cuenta que este es un concepto bastante diferente de${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$que da el conjunto de puntos en${\displaystyle T}$que se pueden alcanzar mediante curvas causales dirigidas al futuro que parten de${\displaystyle S}$. En el primer caso, las curvas deben estar en${\displaystyle T}$En el segundo caso, no. Véase Hawking y Ellis.
• Un conjunto futuro es un conjunto cerrado bajo el futuro cronológico.
• Un conjunto pasado es un conjunto cerrado bajo el pasado cronológico.
• Un conjunto pasado indescomponible (IP) es un conjunto pasado que no es la unión de dos subconjuntos propios pasados ​​abiertos diferentes.
• Una IP que no coincide con el pasado de ningún punto en${\displaystyle M}$se denomina conjunto pasado indescomponible terminal (TIP).
• Un conjunto pasado indescomponible propio (PIP) es un IP que no es un TIP.${\displaystyle I^{-}(x)}$es un conjunto pasado indescomponible propio (PIP).
• El desarrollo futuro de Cauchy de${\displaystyle S}$,${\displaystyle D^{+}(S)}$es el conjunto de todos los puntos${\displaystyle x}$para lo cual cada curva causal inextensible dirigida por pasado a través de${\displaystyle x}$interseca${\displaystyle S}$al menos una vez. Lo mismo ocurre con el desarrollo de Cauchy pasado. El desarrollo de Cauchy es la unión de los desarrollos de Cauchy futuro y pasado. Los desarrollos de Cauchy son importantes para el estudio del determinismo .
• Un subconjunto${\displaystyle S\subset M}$es acrónico si no existen${\displaystyle q,r\in S}$de tal manera que${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$, o equivalentemente, si${\displaystyle S}$es disjunto de${\displaystyle I^{+}[S]}$.

• Una superficie de Cauchy es un conjunto acrónico cerrado cuyo desarrollo de Cauchy es${\displaystyle M}$.
• Una métrica es globalmente hiperbólica si puede ser foliada por superficies de Cauchy.
• El conjunto que viola la cronología es el conjunto de puntos por los que pasan las curvas temporales cerradas.
• El conjunto que viola la causalidad es el conjunto de puntos por los que pasan las curvas causales cerradas.
• El límite del conjunto que viola la causalidad es un horizonte de Cauchy . Si el horizonte de Cauchy se genera mediante geodésicas nulas cerradas, entonces hay un factor de corrimiento al rojo asociado a cada una de ellas.
• Para una curva causal${\displaystyle \gamma }$, el diamante causal es${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$(aquí estamos usando la definición más laxa de 'curva', en la que es simplemente un conjunto de puntos), siendo el punto${\displaystyle \gamma (t_{1})}$en el pasado causal de${\displaystyle \gamma (t_{2})}$En palabras: el diamante causal de la línea de universo de una partícula.${\displaystyle \gamma }$es el conjunto de todos los eventos que se encuentran en el pasado de algún punto en${\displaystyle \gamma }$y el futuro de algún punto en${\displaystyle \gamma }$En la versión discreta, el diamante causal es el conjunto de todas las rutas causales que conectan${\displaystyle \gamma (t_{2})}$de${\displaystyle \gamma (t_{1})}$.

Véase Penrose (1972), pág. 13.

• Un punto${\displaystyle x}$está en${\displaystyle \,I^{-}(y)}$si y solo si${\displaystyle y}$está en${\displaystyle \,I^{+}(x)}$.
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• El horismo se genera mediante congruencias geodésicas nulas.

Propiedades topológicas :

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$está abierto para todos los puntos${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$Está abierto para todos los subconjuntos${\displaystyle S\subset M}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$para todos los subconjuntos${\displaystyle S\subset M}$. Aquí${\displaystyle {\overline {S}}}$es el cierre de un subconjunto${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$