Condiciones de causalidad

Las condiciones de causalidad son clasificaciones de variedades lorentzianas según los tipos de estructuras causales que admiten. En el estudio de los espaciotiempos , existe una jerarquía de condiciones de causalidad que son importantes para demostrar teoremas matemáticos sobre la estructura global de dichas variedades. Estas condiciones se recopilaron a finales de la década de 1970. ^{[ 1 ]}

Cuanto más débil sea la condición de causalidad en un espaciotiempo, más irreal será dicho espaciotiempo. Los espaciotiempos con curvas temporales cerradas , por ejemplo, presentan graves dificultades de interpretación. Véase la paradoja del abuelo .

Es razonable creer que cualquier espaciotiempo físico satisfará la condición de causalidad más fuerte: la hiperbolicidad global . Para tales espaciotiempos, las ecuaciones de la relatividad general pueden plantearse como un problema de valor inicial en una superficie de Cauchy .

Existe una jerarquía de condiciones de causalidad, cada una de las cuales es estrictamente más fuerte que la anterior. A esto se le denomina a veces escalera causal . Las condiciones, de la más débil a la más fuerte, son:

• No del todo cruel
• Cronológico
• Causal
• Distintivo
• Fuertemente causal
• Causal estable
• Continuo causal
• Causalmente simple
• Hiperbólico a nivel mundial

Se proporcionan las definiciones de estas condiciones de causalidad para una variedad lorentziana.${\displaystyle (M,g)}$Cuando se dan dos o más, son equivalentes.

Notación :

• ${\displaystyle p\ll q}$denota la relación cronológica .
• ${\displaystyle p\prec q}$denota la relación causal .

(Véase estructura causal para definiciones de${\displaystyle \,I^{+}(x)}$,${\displaystyle \,I^{-}(x)}$y ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$,${\displaystyle \,J^{-}(x)}$.)

• Por algunos puntos${\displaystyle p\in M}$tenemos${\displaystyle p\not \ll p}$.

• No existen curvas cronológicas (temporales) cerradas.
• La relación cronológica es irreflexiva :${\displaystyle p\not \ll p}$a pesar de${\displaystyle p\in M}$.

• No existen curvas causales cerradas (no espaciales).
• Si ambos${\displaystyle p\prec q}$y${\displaystyle q\prec p}$entonces${\displaystyle p=q}$

• Para cada vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle p\in M}$existe un vecindario${\displaystyle V\subset U,p\in V}$por la que ninguna curva temporal pasa más de una vez.
• Para cada vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle p\in M}$existe un vecindario${\displaystyle V\subset U,p\in V}$que es causalmente convexo en${\displaystyle M}$(y por lo tanto en${\displaystyle U}$), es decir, para cada${\displaystyle q,q'}$en${\displaystyle V}$cualquier curva causal en${\displaystyle M}$de${\displaystyle q}$a${\displaystyle q'}$debe estar completamente contenido en${\displaystyle U}$.
• La topología de Alexandrov (generada por los futuros y pasados ​​cronológicos de todos los puntos) satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
  • (a) la topología de Alexandrov es igual a la topología de la variedad.
  • (b) la topología de Alexandrov es de Hausdorff.

Para cada una de las condiciones de causalidad más débiles definidas anteriormente, existen algunas variedades que satisfacen la condición y que pueden ser violadas por perturbaciones arbitrariamente pequeñas de la métrica. Un espaciotiempo${\displaystyle (M,g)}$Se dice que es causalmente estable si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. La causalidad es (${\displaystyle C^{0}}$) estable: existe una métrica lorentziana causal${\displaystyle g'}$en${\displaystyle M}$con los conos estrictamente más anchos que los originales de${\displaystyle g}$(es decir, todos los vectores causales para${\displaystyle g}$son vectores de tipo temporal para${\displaystyle g'}$).
2. Admite una función temporal: existe una función continua.${\displaystyle t}$lo cual es estrictamente creciente en curvas causales (tipo tiempo o tipo luz).
3. Admite una función temporal: existe una función suave.${\displaystyle \tau }$cuyo gradiente${\displaystyle \nabla \tau }$es temporal y está dirigido al pasado (en particular,${\displaystyle \tau }$es entonces una función del tiempo).

Hawking (1969) ^{[ 2 ]} demostró que la condición 1 implica la 2, y Bernal y Sánchez (2005) ^{[ 3 ]} demostraron que la 2 implica la 3, mientras que no es difícil comprobar que la condición 3 implica la 1. Véase Sánchez ^{[ 4 ]} para una explicación detallada, así como su relación con los problemas populares de suavizabilidad.

Un espaciotiempo se denomina causalmente continuo cuando satisface: (a) es distintivo y (b) el futuro cronológico.${\displaystyle I^{+}(p)}$y pasado${\displaystyle I^{-}(p)}$varía continuamente con el punto${\displaystyle p}$.

Hay varias maneras de expresar formalmente el significado de esta continuidad. Una de ellas comienza por considerar${\displaystyle I^{+}}$y${\displaystyle I^{-}}$como funciones con valores de conjunto de la variedad${\displaystyle M}$en el conjunto${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$de partes de${\displaystyle M}$(es decir, los puntos de${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$son los subconjuntos de${\displaystyle M}$). Observe que${\displaystyle M}$está dotado de una topología y una topología en${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$se puede definir de la siguiente manera. Para cualquier compacto${\displaystyle K\subset M}$, los subconjuntos de${\displaystyle M}$no se cruzan${\displaystyle K}$formar un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$, que se define como abierto, entonces, estos conjuntos abiertos son una base para la topología requerida. Por lo tanto, la condición (b) significa que los mapas${\displaystyle I^{\pm }:M\rightarrow \mathbb {P} (M)}$son continuas como aplicaciones en espacios topológicos. ^{[ 5 ]}

Un espaciotiempo se denomina causalmente simple cuando satisface: (a) es causal y (b)${\displaystyle J^{+}(p)}$y${\displaystyle J^{-}(p)}$están cerrados para cada punto.

Hawking y Ellis (1973), Beem, Ehrlich y Easley (1996) ^{[ 6 ]} y otros tradicionalmente requerían la condición de causalidad fuerte . Sin embargo, siguiendo un resultado de Bernal y Sánchez (2007), ^{[ 7 ]} ahora se utiliza la condición más simple de causalidad en la definición.

• ${\displaystyle \,M}$es causal y cada conjunto${\displaystyle J^{+}(x)\cap J^{-}(y)}$(por puntos)${\displaystyle x,y\in M}$) es compacto .

Robert Geroch demostró ^{[ 8 ]} que un espaciotiempo es globalmente hiperbólico si y solo si existe una superficie de Cauchy para${\displaystyle M}$Esto significa que:

• ${\displaystyle M}$es topológicamente equivalente a${\displaystyle \mathbb {R} \times \!\,S}$para alguna superficie de Cauchy${\displaystyle S.}$(Aquí${\displaystyle \mathbb {R} }$denota la línea real ).

Además, también admite la división ortogonal global obtenida por Bernal y Sánchez (2005), lo que demuestra que el espacio y el tiempo pueden distinguirse globalmente (de una manera muy no única).

Vale la pena señalar que todos los niveles de la escalera se conservan al estrechar los conos (es decir, cuando la métrica original${\displaystyle g}$es reemplazado por una métrica${\displaystyle g'}$cuyos vectores causales están incluidos en los vectores causales para${\displaystyle g}$), excepto la continuidad causal y la simplicidad causal, como lo demostraron García-Parrado y Sánchez con un contraejemplo explícito. ^{[ 9 ]}

• SW Hawking , GFR Ellis (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-20016-4.
• SW Hawking , W. Israel (1979). Relatividad general: un estudio del centenario de Einstein . Cambridge University Press. ISBN 0-521-22285-0.
• Minguzzi, E.; Sanchez, M. (2006). "La jerarquía causal de los espaciotiempos". arXiv : gr-qc/0609119v1 .