Producto central

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de grupos , el producto central es una forma de generar un grupo a partir de dos grupos más pequeños. El producto central es similar al producto directo , pero en él dos subgrupos centrales isomorfos de los grupos más pequeños se fusionan en un único subgrupo central del producto. Los productos centrales son una construcción importante y pueden utilizarse, por ejemplo, para clasificar grupos extraespeciales .

Existen varias nociones relacionadas pero distintas de producto central. Al igual que con el producto directo , existen caracterizaciones tanto internas como externas, y además hay variaciones en cuanto al grado de control de la intersección de los factores.

Un grupo G es un producto central interno de dos subgrupos H y K si

1. G es generado por H y K.
2. Cada elemento de H conmuta con cada elemento de K. ( Gorenstein 1980 , p. 29)

A veces se impone el requisito más estricto de que sea exactamente igual al centro, como en ( Leedham -Green y McKay 2002 , p. 32). Los subgrupos H y K se denominan entonces factores centrales de G.${\displaystyle H\cap K}$

El producto central externo se construye a partir de dos grupos H y K , dos subgrupos y , y un isomorfismo de grupos . El producto central externo es el cociente del producto directo por el subgrupo normal. ${\displaystyle H_{1}\leq Z(H)}$${\displaystyle K_{1}\leq Z(K)}$${\displaystyle \theta \colon H_{1}\to K_{1}}$${\displaystyle H\times K}$

${\displaystyle N=\{(h,k):h\in H_{1},k\in K_{1},{\text{ y }}\theta (h)\cdot k=1\}}$,

( Gorenstein 1980 , p. 29). A veces se impone el requisito más estricto de que H ₁ = Z( H ) y K ₁ = Z( K ), como en ( Leedham-Green y McKay 2002 , p. 32).

Un producto central interno es isomorfo a un producto central externo con H ₁ = K ₁ = H ∩ K y θ la identidad. Un producto central externo es un producto central interno de las imágenes de H × 1 y 1 × K en el grupo cociente . Esto se muestra para cada definición en ( Gorenstein 1980 , p. 29) y ( Leedham-Green y McKay 2002 , pp. 32-33). ${\displaystyle (H\times K)/N}$

Nótese que el producto central externo no está determinado en general solo por sus factores H y K. El tipo de isomorfismo del producto central dependerá del isomorfismo θ . Sin embargo, está bien definido en algunas situaciones notables, por ejemplo, cuando H y K son ambos grupos extra especiales finitos y y . ${\displaystyle H_{1}=Z(H)}$${\displaystyle K_{1}=Z(K)}$

• El grupo de Pauli es el producto central del grupo cíclico y el grupo diedral .${\displaystyle C_{4}}$${\displaystyle D_{4}}$
• Cada grupo extra especial es un producto central de grupos extra especiales de orden p ³ .
• La capa de un grupo finito, es decir, el subgrupo generado por todos los subgrupos cuasisimples subnormales , es un producto central de grupos cuasisimples en el sentido de Gorenstein.

La teoría de la representación de productos centrales es muy similar a la teoría de la representación de productos directos, y por lo tanto se comprende bien ( Gorenstein 1980 , Cap. 3.7).

Los productos centrales aparecen en muchos lemas estructurales, como ( Gorenstein 1980 , p. 350, Lema 10.5.5) que se utiliza en el resultado de George Glauberman de que los grupos finitos que admiten un grupo Klein cuatro de automorfismos sin puntos fijos son resolubles .

En cierto contexto de un producto tensorial de módulos de Lie (y otras estructuras relacionadas), el grupo de automorfismos contiene un producto central de los grupos de automorfismos de cada factor ( Aranda-Orna 2022 , 4). ${\displaystyle \S }$

• Gorenstein, Daniel (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR  0569209
• Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002), La estructura de grupos de orden de potencia prima , Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie, vol. 27, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5, MR  1918951
• Aranda-Orna, Diego (2022), Sobre la construcción de Faulkner para superpares de Jordan generalizados , Álgebra lineal y sus aplicaciones, vol. 646, pp.  1–28