Fuerza centrípeta

En dos dimensiones, el vector de posición${\displaystyle {\textbf {r}}}$, que tiene magnitud (longitud)${\displaystyle r}$y dirigido en ángulo${\displaystyle \theta }$Por encima del eje x, se puede expresar en coordenadas cartesianas utilizando los vectores unitarios.${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$y${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}.}$$

La suposición de movimiento circular uniforme requiere tres cosas:

1. El objeto se mueve únicamente en círculo.
2. El radio del círculo${\displaystyle r}$No cambia con el tiempo.
3. El objeto se mueve con velocidad angular constante.${\displaystyle \omega }$alrededor del círculo. Por lo tanto,${\displaystyle \theta =\omega t}$dónde${\displaystyle t}$es el tiempo.

La velocidad${\displaystyle {\textbf {v}}}$y aceleración${\displaystyle {\textbf {a}}}$del movimiento son las primeras y segundas derivadas de la posición con respecto al tiempo:

$${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}$$$${\displaystyle {\textbf {v}}={\dot {\textbf {r}}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}$$$${\displaystyle {\textbf {a}}={\ddot {\textbf {r}}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}).}$$

El término entre paréntesis es la expresión original de${\displaystyle {\textbf {r}}}$en coordenadas cartesianas . En consecuencia, $${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$$ El signo negativo indica que la aceleración apunta hacia el centro del círculo (en dirección opuesta al radio), por lo que se denomina "centrípeta" (es decir, que busca el centro). Si bien los objetos siguen naturalmente una trayectoria recta (debido a la inercia ), esta aceleración centrípeta describe la trayectoria circular causada por una fuerza centrípeta.

La imagen de la derecha muestra las relaciones vectoriales para el movimiento circular uniforme. La rotación en sí está representada por el vector de velocidad angular Ω , que es normal al plano de la órbita (usando la regla de la mano derecha ) y tiene una magnitud dada por:

${\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \ ,}$

donde θ es la posición angular en el instante t . En esta subsección, se supone que d θ /d t es constante e independiente del tiempo. La distancia recorrida dℓ de la partícula en el tiempo d t a lo largo de la trayectoria circular es

${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\mathrm {d} t\ ,}$

que, por propiedades del producto vectorial cruzado , tiene magnitud r d θ y está en la dirección tangente a la trayectoria circular.

Como consecuencia,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+{\Delta }t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta }t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}\ .}$

En otras palabras,

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell }} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\ .}$

Diferenciando con respecto al tiempo, $${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$$

La fórmula de Lagrange establece: $${\displaystyle \mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$$

Aplicando la fórmula de Lagrange con la observación de que Ω • r ( t ) = 0 en todo momento, $${\displaystyle \mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .}$$

En otras palabras, la aceleración apunta directamente en dirección opuesta al desplazamiento radial r en todo momento, y tiene una magnitud de: $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}}$$ donde las barras verticales |...| denotan la magnitud del vector, que en el caso de r ( t ) es simplemente el radio r de la trayectoria. Este resultado coincide con la sección anterior, aunque la notación es ligeramente diferente.

Cuando se mantiene constante la velocidad de rotación en el análisis del movimiento circular no uniforme , ese análisis coincide con este.

Una ventaja del enfoque vectorial es que es manifiestamente independiente de cualquier sistema de coordenadas.

El panel superior de la imagen de la derecha muestra una bola en movimiento circular sobre una curva peraltada. La curva tiene un peralte θ con respecto a la horizontal, y se considera que la superficie de la carretera es resbaladiza. El objetivo es determinar qué ángulo debe tener el peralte para que la bola no se salga de la carretera. ^{[ 14 ]} La intuición nos dice que, en una curva plana sin peralte alguno, la bola simplemente se saldrá de la carretera; mientras que con un peralte muy pronunciado, la bola se deslizará hacia el centro a menos que recorra la curva rápidamente.

Además de cualquier aceleración que pueda ocurrir en la dirección de la trayectoria, el panel inferior de la imagen superior indica las fuerzas que actúan sobre la pelota. Hay dos fuerzas: una es la fuerza de gravedad verticalmente hacia abajo a través del centro de masa de la pelota m g , donde m es la masa de la pelota y g es la aceleración gravitatoria ; la segunda es la fuerza normal ascendente ejercida por la carretera en ángulo recto con la superficie de la carretera m a _n . La fuerza centrípeta requerida por el movimiento curvo también se muestra arriba. Esta fuerza centrípeta no es una tercera fuerza aplicada a la pelota, sino que debe ser proporcionada por la fuerza neta sobre la pelota resultante de la suma vectorial de la fuerza normal y la fuerza de gravedad . La fuerza resultante o neta sobre la pelota, obtenida mediante la suma vectorial de la fuerza normal ejercida por la carretera y la fuerza vertical debida a la gravedad, debe ser igual a la fuerza centrípeta dictada por la necesidad de recorrer una trayectoria circular. El movimiento curvo se mantiene mientras esta fuerza neta proporcione la fuerza centrípeta requerida para el movimiento.

La fuerza neta horizontal sobre la pelota es la componente horizontal de la fuerza de la carretera, cuya magnitud es | F _h | = m | a _n | sin θ . La componente vertical de la fuerza de la carretera debe contrarrestar la fuerza gravitatoria: | F _v | = m | a _n | cos θ = m | g | , lo que implica | a _n | = | g | / cos θ . Sustituyendo en la fórmula anterior para | F _h | se obtiene una fuerza horizontal que es: $${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {g} |{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=m|\mathbf {g} |\tan \theta \,.}$$

Por otro lado, a una velocidad | v | en una trayectoria circular de radio r , la cinemática dice que la fuerza necesaria para girar la bola continuamente en la curva es la fuerza centrípeta radialmente hacia adentro Fc de _magnitud : $${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {c} }|={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,.}$$

En consecuencia, la pelota se encuentra en una trayectoria estable cuando el ángulo de la carretera se ajusta para satisfacer la condición: $${\displaystyle m|\mathbf {g} |\tan \theta ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,,}$$ o, $${\displaystyle \tan \theta ={\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{|\mathbf {g} |r}}\,.}$$

A medida que el ángulo de inclinación θ se aproxima a 90°, la función tangente tiende a infinito, lo que permite valores mayores para | v | ^² / r . En otras palabras, esta ecuación indica que para velocidades mayores (mayor | v |) la carretera debe tener una inclinación más pronunciada (un valor mayor para θ ), y para curvas más cerradas (menor r ) la carretera también debe tener una inclinación más pronunciada, lo cual concuerda con la intuición. Cuando el ángulo θ no satisface la condición anterior, la componente horizontal de la fuerza ejercida por la carretera no proporciona la fuerza centrípeta correcta, y se requiere una fuerza de fricción adicional tangencial a la superficie de la carretera para compensar la diferencia. Si la fricción no puede hacerlo (es decir, se supera el coeficiente de fricción ), la bola se desliza a un radio diferente donde se puede lograr el equilibrio. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Estas ideas también se aplican al vuelo aéreo. Consulte el manual del piloto de la FAA. ^{[ 17 ]}

Los resultados anteriores pueden derivarse de forma más sencilla en coordenadas polares y, al mismo tiempo, extenderse al movimiento general dentro de un plano, como se muestra a continuación. Las coordenadas polares en el plano emplean un vector unitario radial u _ρ y un vector unitario angular u _θ , como se muestra arriba. ^{[ 19 ]} Una partícula en la posición r se describe mediante:

$${\displaystyle \mathbf {r} =\rho \mathbf {u} _{\rho }\ ,}$$

donde la notación ρ se usa para describir la distancia del camino desde el origen en lugar de R para enfatizar que esta distancia no es fija, sino que varía con el tiempo. El vector unitario u _ρ viaja con la partícula y siempre apunta en la misma dirección que r ( t ). El vector unitario u _θ también viaja con la partícula y permanece ortogonal a u _ρ . Por lo tanto, u _ρ y u _θ forman un sistema de coordenadas cartesianas local unido a la partícula y ligado al camino recorrido por la partícula. ^{[ 20 ]} Al mover los vectores unitarios de modo que sus colas coincidan, como se ve en el círculo a la izquierda de la imagen anterior, se observa que u _ρ y u _θ forman un par de ángulo recto con puntas en el círculo unitario que trazan de un lado a otro en el perímetro de este círculo con el mismo ángulo θ ( t ) que r ( t ).

Cuando la partícula se mueve, su velocidad es

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}\,.}$

To evaluate the velocity, the derivative of the unit vector u_ρ is needed. Because u_ρ is a unit vector, its magnitude is fixed, and it can change only in direction, that is, its change du_ρ has a component only perpendicular to u_ρ. When the trajectory r(t) rotates an amount dθ, u_ρ, which points in the same direction as r(t), also rotates by dθ. See image above. Therefore, the change in u_ρ is

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }=\mathbf {u} _{\theta }\mathrm {d} \theta \,,}$

or

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,.}$

In a similar fashion, the rate of change of u_θ is found. As with u_ρ, u_θ is a unit vector and can only rotate without changing size. To remain orthogonal to u_ρ while the trajectory r(t) rotates an amount dθ, u_θ, which is orthogonal to r(t), also rotates by dθ. See image above. Therefore, the change du_θ is orthogonal to u_θ and proportional to dθ (see image above):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }\,.}$

The equation above shows the sign to be negative: to maintain orthogonality, if du_ρ is positive with dθ, then du_θ must decrease.

Substituting the derivative of u_ρ into the expression for velocity:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\,.}$

To obtain the acceleration, another time differentiation is done:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\,.}$

Substituting the derivatives of u_ρ and u_θ, the acceleration of the particle is:^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}-\rho \mathbf {u} _{\rho }\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} v_{\rho }}{\mathrm {d} t}}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{\rho }}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {2}{\rho }}v_{\rho }v_{\theta }+\rho {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {v_{\theta }}{\rho }}\right]\,.\end{aligned}}}$

As a particular example, if the particle moves in a circle of constant radius R, then dρ/dt = 0, v = v_θ, and:

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho }\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]=\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\ }$$

where ${\displaystyle v=v_{\theta }.}$

These results agree with those above for nonuniform circular motion. See also the article on non-uniform circular motion. If this acceleration is multiplied by the particle mass, the leading term is the centripetal force and the negative of the second term related to angular acceleration is sometimes called the Euler force.^[22]

Para trayectorias distintas al movimiento circular, por ejemplo, la trayectoria más general que se muestra en la imagen anterior, el centro instantáneo de rotación y el radio de curvatura de la trayectoria están relacionados solo indirectamente con el sistema de coordenadas definido por u _ρ y u _θ y con la longitud | r ( t )| = ρ . En consecuencia, en el caso general, no es sencillo separar los términos centrípetos y eulerianos de la ecuación de aceleración general anterior. ^{[ 23 ] [ 24 ]} Para abordar directamente este problema, se prefieren las coordenadas locales, como se analiza a continuación.

Las coordenadas locales son un conjunto de coordenadas que se desplazan con la partícula ^{[ 25 ]} y cuya orientación está determinada por su trayectoria ^{[ 26 ]} . Los vectores unitarios se forman como se muestra en la imagen de la derecha, tanto tangenciales como normales a la trayectoria. Este sistema de coordenadas a veces se denomina coordenadas intrínsecas o de trayectoria ^{[ 27 ] [ 28 ]} o coordenadas nt , por normal-tangencial , en referencia a estos vectores unitarios. Estas coordenadas constituyen un ejemplo muy particular de un concepto más general de coordenadas locales, proveniente de la teoría de las formas diferenciales ^{[ 29 ] .}

La distancia a lo largo de la trayectoria de la partícula es la longitud de arco s , que se considera una función conocida del tiempo.

${\displaystyle s=s(t)\ .}$

Se define un centro de curvatura en cada posición s situada a una distancia ρ (el radio de curvatura ) de la curva sobre una línea paralela a la normal u _n ( s ). La distancia requerida ρ ( s ) en la longitud de arco s se define en términos de la velocidad de rotación de la tangente a la curva, que a su vez está determinada por la trayectoria misma. Si la orientación de la tangente con respecto a una posición inicial es θ ( s ), entonces ρ ( s ) se define mediante la derivada d θ /d s :

${\displaystyle {\frac {1}{\rho (s)}}=\kappa (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$

El radio de curvatura generalmente se toma como positivo (es decir, como un valor absoluto ), mientras que la curvatura κ es una cantidad con signo.

Un enfoque geométrico para encontrar el centro de curvatura y el radio de curvatura utiliza un proceso límite que conduce al círculo osculador . ^{[ 30 ] [ 31 ]} Véase la imagen de arriba.

Utilizando estas coordenadas, el movimiento a lo largo de la trayectoria se considera como una sucesión de trayectorias circulares de centro siempre cambiante, y en cada posición s constituye un movimiento circular no uniforme en esa posición con radio ρ . El valor local de la velocidad angular de rotación viene dado entonces por:

${\displaystyle \omega (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\rho (s)}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {v(s)}{\rho (s)}}\ ,}$

con la velocidad local v dada por:

${\displaystyle v(s)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\ .}$

En cuanto a los demás ejemplos anteriores, dado que los vectores unitarios no pueden cambiar de magnitud, su tasa de cambio siempre es perpendicular a su dirección (véase el recuadro de la izquierda en la imagen superior): ^{[ 32 ]}

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\$ ;} ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)}{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {1}{\rho }}\ .}$

En consecuencia, la velocidad y la aceleración son: ^{[ 31 ] [ 33 ] [ 34 ]}

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\$ ;}

y utilizando la regla de la cadena de diferenciación :

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\$ ;} con la aceleración tangencial${\displaystyle {\frac {\mathrm {\mathrm {d} } v}{\mathrm {\mathrm {d} } t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ v\ .}$

En este sistema de coordenadas local, la aceleración se asemeja a la expresión para el movimiento circular no uniforme con el radio local ρ ( s ), y la aceleración centrípeta se identifica como el segundo término. ^{[ 35 ]}

Extender este enfoque a curvas espaciales tridimensionales conduce a las fórmulas de Frenet-Serret . ^{[ 36 ] [ 37 ]}