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Articulo de referencia

Teorema de Ceva

Teorema de Ceva, caso 1: las tres rectas son concurrentes en un punto O dentro del triángulo ABC. Teorema de Ceva, caso 2: las tres rectas son concurrentes en un punto O fuera d...

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Teorema de Ceva, caso 1: las tres rectas son concurrentes en un punto O dentro del triángulo ABC.
Teorema de Ceva, caso 2: las tres rectas son concurrentes en un punto O fuera del triángulo ABC.

En geometría euclidiana , el teorema de Ceva es un teorema sobre triángulos . Dado un triángulo △ ABC , tracemos las líneas AO, BO, CO desde los vértices hasta un punto común O (que no está en uno de los lados de △ ABC ), de manera que se encuentren con los lados opuestos en D, E, F respectivamente. (Los segmentos AD , BE , CF se conocen como cevianas ). Entonces, usando longitudes con signo de los segmentos ,

AF¯FB¯⋅BD¯Ddo¯⋅domi¯miA¯=1.{\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1.}

En otras palabras, la longitud XY se considera positiva o negativa según si X se encuentra a la izquierda o a la derecha de Y en una orientación fija de la línea. Por ejemplo, AF / FB se define como positivo cuando F está entre A y B , y negativo en caso contrario.

El teorema de Ceva es un teorema de geometría afín , en el sentido de que puede enunciarse y demostrarse sin utilizar los conceptos de ángulos, áreas y longitudes (excepto la razón entre las longitudes de dos segmentos de recta colineales ) . Por lo tanto, es válido para triángulos en cualquier plano afín sobre cualquier cuerpo .

También es cierto un recíproco ligeramente adaptado : si se eligen los puntos D, E, F en BC, AC, AB respectivamente de modo que

AF¯FB¯⋅BD¯Ddo¯⋅domi¯miA¯=1,{\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1,}

Entonces AD, BE y CF son concurrentes , o los tres son paralelos . El recíproco se incluye a menudo como parte del teorema.

El teorema se atribuye a menudo a Giovanni Ceva , quien lo publicó en su obra De lineis rectis de 1678. Pero fue demostrado mucho antes por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd , un rey de Zaragoza del siglo XI . [ 1 ] [ 2 ] Sin embargo, la obra de Ibn Hűd había caído en el olvido y fue redescubierta recién en 1985.

Asociados a las figuras se encuentran varios términos derivados del nombre de Ceva: ceviano (las líneas AD, BE, CF son los cevianos de O ), triángulo ceviano (el triángulo △ DEF es el triángulo ceviano de O ); nido ceviano, triángulo anticeviano, conjugado de Ceva. ( Ceva se pronuncia Chay'va; ceviano se pronuncia chev'ian).

El teorema es muy similar al teorema de Menelao, ya que sus ecuaciones solo difieren en el signo. Al reescribir cada uno en términos de razones cruzadas , los dos teoremas pueden considerarse duales proyectivos . [ 3 ]

Pruebas

Se han creado varias demostraciones del teorema. [ 4 ] [ 5 ] A continuación se presentan dos demostraciones.

El primero es muy elemental, utilizando solo propiedades básicas de las áreas de triángulos. [ 4 ] Sin embargo, hay que considerar varios casos, dependiendo de la posición del punto O.

La segunda demostración utiliza coordenadas y vectores baricéntricos , pero no depende del caso. Además, funciona en cualquier plano afín sobre cualquier cuerpo .

Utilizando áreas triangulares

En primer lugar, el signo del lado izquierdo es positivo, ya que o bien las tres razones son positivas, en el caso de que O esté dentro del triángulo (diagrama superior), o bien una es positiva y las otras dos son negativas, en el caso de que O esté fuera del triángulo (el diagrama inferior muestra un caso).

Para comprobar la magnitud, tenga en cuenta que el área de un triángulo de una altura dada es proporcional a su base. Por lo tanto,

|△BOD||△doOD|=BD¯Ddo¯=|△BAD||△doAD|.{\displaystyle {\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}.}

Por lo tanto,

BD¯Ddo¯=|△BAD|−|△BOD||△doAD|−|△doOD|=|△ABO||△doAO|.{\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.}

(Reemplace el signo menos por un signo más si A y O están en lados opuestos de BC ). De manera similar,

domi¯miA¯=|△BdoO||△ABO|,{\displaystyle {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},}

y

AF¯FB¯=|△doAO||△BdoO|.{\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.}

Multiplicando estas tres ecuaciones se obtiene

|AF¯FB¯⋅BD¯Ddo¯⋅domi¯miA¯|=1,{\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}

según sea necesario.

El teorema también se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema de Menelao . [ 6 ] A partir de la transversal BOE del triángulo △ ACF ,

AB¯BF¯⋅FO¯Odo¯⋅domi¯miA¯=−1{\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {BF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1}

y desde la transversal AOD del triángulo △ BCF ,

BA¯AF¯⋅FO¯Odo¯⋅doD¯DB¯=−1.{\displaystyle {\frac {\overline {BA}}{\overline {AF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {DB}}}=-1.}

El teorema se deduce dividiendo estas dos ecuaciones.

Lo contrario se deduce como corolario. [ 4 ] Sean D, E, F dados en las líneas BC, AC, AB de modo que se cumpla la ecuación. Sean AD, BE intersectadas en O y sea F' el punto donde CO cruza AB . Entonces, por el teorema, la ecuación también se cumple para D, E, F' . Comparando las dos,

AF¯FB¯=AF′¯F′B¯{\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}}

Pero como máximo un punto puede cortar un segmento en una proporción dada, por lo que F = F' .

Utilizando coordenadas baricéntricas

Dados tres puntos A, B, C que no son colineales , y un punto O que pertenece al mismo plano , las coordenadas baricéntricas de O con respecto a A, B, C son los tres números únicos.λA,λB,λdo{\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C}}de tal manera que

λA+λB+λdo=1,{\displaystyle \lambda _{A}+\lambda _{B}+\lambda _{C}=1,}

y

incógnitaO→=λAincógnitaA→+λBincógnitaB→+λdoincógnitado→,{\displaystyle {\overrightarrow {XO}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {XA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {XB}}+\lambda _{C}{\overrightarrow {XC}},}

para cada punto X (para la definición de esta notación de flecha y más detalles, véase Espacio afín ).

Para el teorema de Ceva, se supone que el punto O no pertenece a ninguna línea que pase por dos vértices del triángulo. Esto implica queλAλBλdo≠0.{\displaystyle \lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.}

Si se toma por X la intersección F de las líneas AB y OC (véanse las figuras), la última ecuación se puede reordenar en

FO→−λdoFdo→=λAFA→+λBFB→.{\displaystyle {\overrightarrow {FO}}-\lambda _{C}{\overrightarrow {FC}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}.}

El lado izquierdo de esta ecuación es un vector que tiene la misma dirección que la línea CF , y el lado derecho tiene la misma dirección que la línea AB . Estas líneas tienen direcciones diferentes ya que A, B y C no son colineales. De ello se deduce que los dos miembros de la ecuación son iguales al vector cero, y

λAFA→+λBFB→=0.{\displaystyle \lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}=0.}

Resulta que

AF¯FB¯=λBλA,{\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}}},}

donde la fracción del lado izquierdo es la razón con signo de las longitudes de los segmentos de línea colineales AF y FB .

El mismo razonamiento demuestra

BD¯Ddo¯=λdoλBydomi¯miA¯=λAλdo.{\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{C}}}.}

El teorema de Ceva se obtiene inmediatamente al multiplicar las tres últimas ecuaciones.

Generalizaciones

El teorema puede generalizarse a símplexes de dimensiones superiores utilizando coordenadas baricéntricas . Definimos una ceviana de un n- símplex como un rayo desde cada vértice hasta un punto en la cara opuesta ( n -1 ) ( faceta ). Entonces, las cevianas son concurrentes si y solo si se puede asignar una distribución de masa a los vértices tal que cada ceviana interseca la faceta opuesta en su centro de masa . Además, el punto de intersección de las cevianas es el centro de masa del símplex. [ 7 ] [ 8 ]

Otra generalización a símplexes de dimensiones superiores extiende la conclusión del teorema de Ceva de que el producto de ciertas razones es 1. Partiendo de un punto en un símplex, se define inductivamente un punto en cada k -cara. Este punto es el pie de una ceviana que va desde el vértice opuesto a la k -cara, en una ( k +1 )-cara que la contiene, pasando por el punto ya definido en esta ( k +1 )-cara. Cada uno de estos puntos divide la cara en la que se encuentra en lóbulos. Dado un ciclo de pares de lóbulos, el producto de las razones de los volúmenes de los lóbulos en cada par es 1. [ 9 ]

El teorema de Routh proporciona el área del triángulo formado por tres cevianas cuando no son concurrentes. El teorema de Ceva se puede obtener a partir de este igualando el área a cero y resolviendo la ecuación.

El análogo del teorema para polígonos generales en el plano se conoce desde principios del siglo XIX. [ 10 ] El teorema también se ha generalizado a triángulos en otras superficies de curvatura constante . [ 11 ]

El teorema también tiene una generalización bien conocida a la geometría esférica e hiperbólica , en la que se reemplazan las longitudes en las razones por sus senos y senos hiperbólicos, respectivamente.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Holme, Audun (2010). Geometría: Nuestro patrimonio cultural . Springer. pág . 210. ISBN  978-3-642-14440-0.
  2. ↑ Robin Wilson : "Teorema de Ceva". En: Math Intelligencer , volumen 45, pág. 294 (2023). https://doi.org/10.1007/s00283-022-10242-6
  3. ↑ Benitez, Julio (2007). "Una demostración unificada de los teoremas de Ceva y Menelao mediante geometría proyectiva" (PDF) . Journal for Geometry and Graphics . 11 (1): 39– 44.
  4. 1 2 3 Russell, John Wellesley (1905). "Cap. 1 §7 Teorema de Ceva". Geometría pura . Clarendon Press.
  5. ↑ Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind (1996), Problemas desafiantes en geometría , páginas 177–180, Dover Publishing Co., segunda edición revisada.
  6. ↑ Sigue a Hopkins, George Irving (1902). "Art. 986". Geometría plana inductiva . DC Heath & Co.
  7. ↑ Landy, Steven (diciembre de 1988). "Una generalización del teorema de Ceva a dimensiones superiores". The American Mathematical Monthly . 95 (10): 936– 939. doi : 10.2307/2322390 . JSTOR 2322390 . 
  8. ↑ Wernicke, Paul (noviembre de 1927). "Los teoremas de Ceva y Menelao y su extensión". The American Mathematical Monthly . 34 (9): 468– 472. doi : 10.2307/2300222 . JSTOR 2300222 . 
  9. ↑ Samet, Dov (mayo de 2021). "Una extensión del teorema de Ceva a n -símplices". The American Mathematical Monthly . 128 (5): 435– 445. doi : 10.1080/00029890.2021.1896292 . S2CID 233413469 . 
  10. ↑ Grünbaum, Branko; Shephard, GC (1995). "Ceva, Menelao y el principio del área". Mathematics Magazine . 68 (4): 254– 268. doi : 10.2307/2690569 . JSTOR 2690569 . 
  11. ↑ Masal'tsev, LA (1994). "Teoremas de incidencia en espacios de curvatura constante". Journal of Mathematical Sciences . 72 (4): 3201– 3206. doi : 10.1007/BF01249519 . S2CID 123870381 . 

Lecturas adicionales

  • Hogendijk, JB (1995). "Al-Mutaman ibn Hűd, rey de Zaragoza del siglo XI y brillante matemático" . Historia Mathematica . 22 : 1–18 . doi : 10.1006/hmat.1995.1001 .
  • Menelao y Ceva en MathPages
  • Derivaciones y aplicaciones del teorema de Ceva en el nudo de corte
  • Forma trigonométrica del teorema de Ceva en el nudo de corte
  • El glosario de la enciclopedia de centros triangulares incluye definiciones de triángulo ceviano, nido ceviano, triángulo anticeviano, conjugado ceviano y punto ceva.
  • Cónicas asociadas a un nido de Cevia, por Clark Kimberling
  • Teorema de Ceva por Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
  • Weisstein, Eric W. "El teorema de Ceva" . MathWorld .
  • Hallar experimentalmente el centroide de un triángulo con diferentes pesos en los vértices: una aplicación práctica del teorema de Ceva en Dynamic Geometry Sketches , un boceto interactivo de geometría dinámica que utiliza el simulador de gravedad de Cenicienta.
  • "Teorema de Ceva" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]