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Teorema de Ceva

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Teorema de Ceva, caso 1: las tres rectas son concurrentes en un punto O dentro de △ ABC
Teorema de Ceva, caso 2: las tres rectas son concurrentes en un punto O fuera de △ ABC

En geometría euclidiana , el teorema de Ceva es un teorema sobre triángulos . Dado un triángulo △ ABC , tracemos las líneas AO, BO, CO desde los vértices hasta un punto común O (no en uno de los lados de △ ABC ), para encontrarse con los lados opuestos en D, E, F respectivamente. (Los segmentos AD , BE , CF se conocen como cevianos ). Luego, utilizando longitudes con signo de los segmentos ,

A F ¯ F B ¯ ⋅ B D ¯ D do ¯ ⋅ do mi ¯ mi A ¯ = 1. {\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline { CE}}{\overline {EA}}}=1.}

En otras palabras, la longitud XY se considera positiva o negativa según si X está a la izquierda o a la derecha de Y en alguna orientación fija de la línea. Por ejemplo, AF / FB se define como de valor positivo cuando F está entre A y B y negativo en caso contrario.

El teorema de Ceva es un teorema de geometría afín , en el sentido de que puede enunciarse y demostrarse sin utilizar los conceptos de ángulos, áreas y longitudes (excepto la relación de las longitudes de dos segmentos de línea que son colineales ). Por lo tanto, es cierto para triángulos en cualquier plano afín sobre cualquier cuerpo .

También es cierta una ecuación inversa ligeramente adaptada : si se eligen los puntos D, E, F en BC, AC, AB respectivamente de modo que

A F ¯ F B ¯ ⋅ B D ¯ D do ¯ ⋅ do mi ¯ mi A ¯ = 1 , {\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline { CE}}{\overline {EA}}}=1,}

entonces AD, BE, CF son concurrentes o las tres paralelas . El recíproco suele incluirse como parte del teorema.

El teorema se atribuye a menudo a Giovanni Ceva , quien lo publicó en su obra De lineis rectis de 1678. Pero fue demostrado mucho antes por Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd , un rey de Zaragoza del siglo XI . [1]

Asociados a las figuras hay varios términos derivados del nombre de Ceva: ceviano (las líneas AD, BE, CF son las cevianas de O ), triángulo ceviano (el triángulo △ DEF es el triángulo ceviano de O ); nido ceviano, triángulo anticeviano, conjugado de Ceva. ( Ceva se pronuncia Chay'va; ceviano se pronuncia chev'ian.)

El teorema es muy similar al teorema de Menelao en que sus ecuaciones difieren sólo en el signo. Al reescribir cada uno en términos de razones cruzadas , los dos teoremas pueden verse como duales proyectivos . [2]

Pruebas

Se han dado varias pruebas del teorema. [3] [4] A continuación se dan dos pruebas.

El primero es muy elemental y utiliza únicamente propiedades básicas de las áreas de triángulos. [3] Sin embargo, se deben considerar varios casos, dependiendo de la posición del punto O .

La segunda prueba utiliza coordenadas y vectores baricéntricos , pero es de algún modo más natural y no depende del caso. Además, funciona en cualquier plano afín sobre cualquier cuerpo .

Uso de áreas de triángulos

En primer lugar, el signo del lado izquierdo es positivo, ya que o bien las tres razones son positivas, el caso en que O está dentro del triángulo (diagrama superior), o bien una es positiva y las otras dos son negativas, el caso en que O está fuera del triángulo (el diagrama inferior muestra un caso).

Para comprobar la magnitud, tenga en cuenta que el área de un triángulo de una altura dada es proporcional a su base.

| △ B Oh D | | △ do Oh D | = B D ¯ D do ¯ = | △ B A D | | △ do A D | . {\displaystyle {\frac {|\triángulo DBO|}{|\triángulo DQO|}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triángulo MALA|}{|\triángulo CAD|}}.}

Por lo tanto,

B D ¯ D do ¯ = | △ B A D | − | △ B Oh D | | △ do A D | − | △ do Oh D | = | △ A B Oh | | △ do A Oh | . {\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.}

(Reemplace el menos por un más si A y O están en lados opuestos de BC ). De manera similar,

C E ¯ E A ¯ = | △ B C O | | △ A B O | , {\displaystyle {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},}

y

A F ¯ F B ¯ = | △ C A O | | △ B C O | . {\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.}

Multiplicando estas tres ecuaciones obtenemos

| A F ¯ F B ¯ ⋅ B D ¯ D C ¯ ⋅ C E ¯ E A ¯ | = 1 , {\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}

según sea necesario.

El teorema también se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema de Menelao . [5] A partir de la BOE transversal del triángulo △ ACF ,

A B ¯ B F ¯ ⋅ F O ¯ O C ¯ ⋅ C E ¯ E A ¯ = − 1 {\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {BF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1}

y de la AOD transversal del triángulo △ BCF ,

B A ¯ A F ¯ ⋅ F O ¯ O C ¯ ⋅ C D ¯ D B ¯ = − 1. {\displaystyle {\frac {\overline {BA}}{\overline {AF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {DB}}}=-1.}

El teorema se deduce dividiendo estas dos ecuaciones.

El recíproco se sigue como corolario. [3] Sean D, E, F en las líneas BC, AC, AB de modo que la ecuación se cumpla. Sea AD, BE el punto de intersección de O y sea F' el punto en el que CO corta a AB . Entonces, por el teorema, la ecuación también se cumple para D, E, F' . Comparando las dos,

A F ¯ F B ¯ = A F ′ ¯ F ′ B ¯ {\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}}

Pero como máximo un punto puede cortar un segmento en una proporción dada, de modo que F = F' .

Utilizando coordenadas baricéntricas

Dados tres puntos A, B, C que no son colineales , y un punto O , que pertenece al mismo plano , las coordenadas baricéntricas de O con respecto a A, B, C son los tres números únicos tales que λ A , λ B , λ C {\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C}}

λ A + λ B + λ C = 1 , {\displaystyle \lambda _{A}+\lambda _{B}+\lambda _{C}=1,}

y

X O → = λ A X A → + λ B X B → + λ C X C → , {\displaystyle {\overrightarrow {XO}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {XA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {XB}}+\lambda _{C}{\overrightarrow {XC}},}

para cada punto X (para la definición de esta notación de flecha y más detalles, véase Espacio afín ).

Para el teorema de Ceva, se supone que el punto O no pertenece a ninguna línea que pase por dos vértices del triángulo. Esto implica que λ A λ B λ C ≠ 0. {\displaystyle \lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.}

Si se toma como X la intersección F de las rectas AB y OC (ver figuras), la última ecuación puede reorganizarse en

F O → − λ C F C → = λ A F A → + λ B F B → . {\displaystyle {\overrightarrow {FO}}-\lambda _{C}{\overrightarrow {FC}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}.}

El lado izquierdo de esta ecuación es un vector que tiene la misma dirección que la línea CF y el lado derecho tiene la misma dirección que la línea AB . Estas líneas tienen direcciones diferentes ya que A, B, C no son colineales. De ello se deduce que los dos miembros de la ecuación son iguales al vector cero y

λ A F A → + λ B F B → = 0. {\displaystyle \lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}=0.}

Resulta que

A F ¯ F B ¯ = λ B λ A , {\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}}},}

donde la fracción del lado izquierdo es la relación con signo de las longitudes de los segmentos de línea colineales AF y FB .

El mismo razonamiento demuestra

B D ¯ D C ¯ = λ C λ B and C E ¯ E A ¯ = λ A λ C . {\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{C}}}.}

El teorema de Ceva resulta inmediatamente al tomar el producto de las tres últimas ecuaciones.

Generalizaciones

El teorema se puede generalizar a símplexes de dimensiones superiores utilizando coordenadas baricéntricas . Definamos una ceviana de un símplex n como un rayo desde cada vértice hasta un punto en la cara ( faceta ) opuesta ( n – 1 ). Entonces las cevianas son concurrentes si y solo si se puede asignar una distribución de masa a los vértices de modo que cada ceviana intersecta la faceta opuesta en su centro de masas . Además, el punto de intersección de las cevianas es el centro de masas del símplex. [6] [7]

Otra generalización a los símplex de dimensiones superiores extiende la conclusión del teorema de Ceva de que el producto de ciertas razones es 1. Partiendo de un punto de un símplex, se define inductivamente un punto en cada cara k . Este punto es el pie de un ceviano que va desde el vértice opuesto a la cara k , en una cara ( k + 1 ) que lo contiene, a través del punto ya definido en esta cara ( k + 1 ). Cada uno de estos puntos divide la cara en la que se encuentra en lóbulos. Dado un ciclo de pares de lóbulos, el producto de las razones de los volúmenes de los lóbulos en cada par es 1. [8]

El teorema de Routh da el área del triángulo formado por tres cevianas en el caso de que no sean concurrentes. El teorema de Ceva se puede obtener a partir de él igualando el área a cero y resolviendo.

El análogo del teorema para polígonos generales en el plano se conoce desde principios del siglo XIX. [9] El teorema también se ha generalizado a triángulos en otras superficies de curvatura constante . [10]

El teorema también tiene una generalización bien conocida a la geometría esférica e hiperbólica, reemplazando las longitudes en las razones con sus senos y senos hiperbólicos, respectivamente.

Véase también

Referencias

  1. ^ Holme, Audun (2010). Geometría: nuestro patrimonio cultural . Springer. pág. 210. ISBN. 978-3-642-14440-0.
  2. ^ Benítez, Julio (2007). "Una demostración unificada de los teoremas de Ceva y Menelao usando geometría proyectiva" (PDF) . Revista de Geometría y Gráficos . 11 (1): 39–44.
  3. ^ abc Russell, John Wellesley (1905). "Cap. 1 §7 Teorema de Ceva". Geometría pura. Clarendon Press.
  4. ^ Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind (1996), Challenging Problems in Geometry , páginas 177–180, Dover Publishing Co., segunda edición revisada.
  5. ^ Sigue a Hopkins, George Irving (1902). "Art. 986". Geometría plana inductiva. DC Heath & Co.
  6. ^ Landy, Steven (diciembre de 1988). "Una generalización del teorema de Ceva a dimensiones superiores". The American Mathematical Monthly . 95 (10): 936–939. doi :10.2307/2322390. JSTOR  2322390.
  7. ^ Wernicke, Paul (noviembre de 1927). "Los teoremas de Ceva y Menelao y su extensión". The American Mathematical Monthly . 34 (9): 468–472. doi :10.2307/2300222. JSTOR  2300222.
  8. ^ Samet, Dov (mayo de 2021). "Una extensión del teorema de Ceva a n -simpleces". The American Mathematical Monthly . 128 (5): 435–445. doi :10.1080/00029890.2021.1896292. S2CID  233413469.
  9. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, GC (1995). "Ceva, Menelao y el principio del área". Revista de Matemáticas . 68 (4): 254–268. doi :10.2307/2690569. JSTOR  2690569.
  10. ^ Masal'tsev, LA (1994). "Teoremas de incidencia en espacios de curvatura constante". Revista de Ciencias Matemáticas . 72 (4): 3201–3206. doi :10.1007/BF01249519. S2CID  123870381.

Lectura adicional

  • Hogendijk, JB (1995). "Al-Mutaman ibn Hűd, rey de Zaragoza del siglo XI y brillante matemático". Historia Mathematica . 22 : 1–18. doi : 10.1006/hmat.1995.1001 .
  • Menelao y Ceva en MathPages
  • Derivaciones y aplicaciones del teorema de Ceva en el corte del nudo
  • Forma trigonométrica del teorema de Ceva en el punto de corte del nudo
  • El glosario de la Enciclopedia de Centros Triangulares incluye definiciones de triángulo ceviano, nido ceviano, triángulo anticeviano, conjugado de Ceva y punto ceviano.
  • Cónicas asociadas a un nido de cevianos, por Clark Kimberling
  • Teorema de Ceva por Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones Wolfram .
  • Weisstein, Eric W. "Teorema de Ceva". MathWorld .
  • Encontrar experimentalmente el centroide de un triángulo con diferentes pesos en los vértices: una aplicación práctica del teorema de Ceva en Dynamic Geometry Sketches, un boceto de geometría dinámica interactivo que utiliza el simulador de gravedad de Cenicienta.
  • "Teorema de Ceva", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
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