Chaflán (geometría)

En geometría , el achaflanado o truncamiento de aristas es un operador topológico que modifica un poliedro para convertirlo en otro. Es similar a la expansión : separa las caras (hacia afuera) y agrega una nueva cara entre cada dos caras adyacentes; pero, a diferencia de la expansión, mantiene los vértices originales . (Equivalentemente: separa las caras reduciéndolas y agrega una nueva cara entre cada dos caras adyacentes; pero solo mueve los vértices hacia adentro). Para un poliedro, esta operación agrega una nueva cara hexagonal en lugar de cada arista original .

En la notación de poliedros de Conway , el biselado se representa con la letra "c". Un poliedro con e aristas tendrá una forma biselada que contendrá 2 e vértices nuevos, 3 e aristas nuevas y e caras hexagonales nuevas.

En los capítulos siguientes se describen en detalle los chaflanes de los cinco sólidos platónicos . Cada uno se muestra en una versión equilátera donde todas las aristas tienen la misma longitud y en una versión canónica donde todas las aristas tocan la misma esfera media . (Sólo se ven notablemente diferentes en los sólidos que contienen triángulos). Los poliedros duales que se muestran son duales en las versiones canónicas.

El tetraedro achaflanado o cubo truncado alterno es un poliedro convexo construido:

• achaflanando un tetraedro regular : reemplazando sus 6 aristas por hexágonos aplanados congruentes ;
• o truncando alternativamente un cubo (regular) : reemplazando 4 de sus 8 vértices con caras congruentes de un triángulo equilátero.

Para una cierta profundidad de achaflanado/truncamiento, todos los bordes (finales) del cT tienen la misma longitud; entonces, los hexágonos son equiláteros , pero no regulares .

El dual del tetraedro achaflanado es el tetratetraedro triakis alterno.

El cT es el poliedro de Goldberg GP _III (2,0) o {3+,3} _2,0 , que contiene caras triangulares y hexagonales.

El cubo achaflanado se construye como un chaflán de un cubo : los cuadrados se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras, hexágonos, en lugar de todas las aristas originales. El cC es un poliedro convexo con 32 vértices, 48 ​​aristas y 18 caras: 6 cuadrados congruentes (y regulares) y 12 hexágonos aplanados congruentes.
Para una cierta profundidad de achaflanado, todas las aristas (finales) del cubo achaflanado tienen la misma longitud; entonces, los hexágonos son equiláteros , pero no regulares . Son rombos truncados alternativamente congruentes , tienen 2 ángulos internos de y 4 ángulos internos de mientras que un hexágono regular tendría todos los ángulos internos. ${\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})\aproximadamente 109,47^{\circ }}$${\displaystyle \pi -{\frac {1}{2}}\cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})\aproximadamente 125,26^{\circ },}$${\displaystyle 120^{\circ}}$

El cC también se denomina incorrectamente dodecaedro rómbico truncado , aunque ese nombre sugiere más bien un rombicuboctaedro . El cC puede llamarse con mayor precisión dodecaedro rómbico tetratruncado , porque solo los vértices de orden 4 (6) del dodecaedro rómbico están truncados.

El dual del cubo achaflanado es el tetrakis cuboctaedro .

Como todas las caras del cC tienen un número par de lados y son centralmente simétricas , es un zonoedro :

El cubo achaflanado es también el poliedro de Goldberg GP _IV (2,0) o {4+,3} _2,0 , que contiene caras cuadradas y hexagonales.

El cC es la suma de Minkowski de un dodecaedro rómbico y un cubo de longitud de arista 1 cuando los ocho vértices de orden 3 del dodecaedro rómbico están en y sus seis vértices de orden 4 están en las permutaciones de${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$${\displaystyle (\pm {\sqrt {3}},0,0).}$

Se puede construir un equivalente topológico del cubo achaflanado , pero con simetría piritoédrica y caras rectangulares, achaflanando los bordes axiales de un piritoedro . Esto ocurre en los cristales de pirita .

En geometría , el octaedro achaflanado es un poliedro convexo construido truncando los 8 vértices de orden 3 del dodecaedro rómbico . Estos vértices truncados se convierten en triángulos equiláteros congruentes, y las 12 caras rómbicas originales se convierten en hexágonos aplanados congruentes
. Para una cierta profundidad de truncamiento, todas las aristas (finales) del cO tienen la misma longitud; entonces, los hexágonos son equiláteros , pero no regulares .

El octaedro achaflanado también puede denominarse dodecaedro rómbico tritruncado .

El dual del cO es el triakis cuboctaedro.

El dodecaedro achaflanado es un poliedro convexo con 80 vértices, 120 aristas y 42 caras: 12 pentágonos regulares congruentes y 30 hexágonos aplanados congruentes
. Se construye como un chaflán de un dodecaedro regular . Los pentágonos se reducen de tamaño y se añaden nuevas caras, hexágonos aplanados, en lugar de todas las aristas originales. Para una cierta profundidad de achaflanado, todas las aristas (finales) del cD tienen la misma longitud; entonces, los hexágonos son equiláteros , pero no regulares.

El cD también se denomina incorrectamente triacontaedro rómbico truncado , aunque ese nombre sugiere más bien un rombicosidodecaedro . El cD puede llamarse con mayor precisión triacontaedro rómbico pentatruncado , porque solo los (12) vértices de orden 5 del triacontaedro rómbico están truncados.

El dual del dodecaedro achaflanado es el pentakis icosidodecaedro .

El cD es el poliedro de Goldberg GP _V (2,0) o {5+,3} _2,0 , que contiene caras pentagonales y hexagonales.

En geometría , el icosaedro achaflanado es un poliedro convexo construido truncando los 20 vértices de orden 3 del triacontaedro rómbico . Las caras hexagonales del cI pueden hacerse equiláteras , pero no regulares , con una cierta profundidad de truncamiento.

El icosaedro achaflanado también puede denominarse triacontaedro rómbico tritruncado .

El dual del cI es el triakis icosidodecaedro.

La operación de chaflán aplicada en serie crea poliedros progresivamente más grandes con nuevas caras, hexagonales, que reemplazan las aristas del actual. El operador de chaflán transforma GP(m,n) en GP(2m,2n).

Un poliedro regular, GP(1,0), crea una secuencia de poliedros de Goldberg : GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0)...

El octaedro truncado o icosaedro truncado , GP(1,1), crea una secuencia de Goldberg: GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)...

Un tetrakis hexaedro o pentakis dodecaedro truncado , GP(3,0), crea una secuencia de Goldberg: GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

Al igual que la operación de expansión, el chaflán se puede aplicar a cualquier dimensión.

En el caso de los polígonos, triplica el número de vértices. Ejemplo:

En el caso de la policora, se crean nuevas celdas alrededor de los bordes originales. Las celdas son prismas que contienen dos copias de la cara original, con pirámides aumentadas sobre los lados del prisma. ^{[Algo puede estar mal en este pasaje]}

• Notación del poliedro de Conway
• Johnson, que estuvo a punto de estrellarse, es sólido
• Cantelación (geometría)

• Goldberg, Michael (1937). "Una clase de poliedros multisimétricos". Tohoku Mathematical Journal . 43 : 104– 108.
• Joseph D. Clinton, Conjetura de Clinton sobre el ángulo central igual [1]
• Hart, George (2012). "Goldberg Polyhedra". En Senechal, Marjorie (ed.). Shaping Space (2.ª ed.). Springer. págs. 125–138. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_9. ISBN 978-0-387-92713-8.
• Hart, George (18 de junio de 2013). "Impresiones matemáticas: poliedros de Goldberg". Simons Science News.
• Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Fullerenos y poliedros de coordinación versus incrustaciones de medio cubo , 1998 PDF [2] (p. 72 Fig. 26. Tetraedro biselado)
• Deza, A.; Deza, M .; Grishukhin, V. (1998), "Fullerenos y poliedros de coordinación versus incrustaciones de medio cubo", Discrete Mathematics , 192 (1): 41– 80, doi :10.1016/S0012-365X(98)00065-X.
• Spencer, Leonard James (1911). "Cristalografía"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol. 07 (11.ª ed.). Cambridge University Press. págs.  569– 591.

• Tetraedro biselado
• Sólidos biselados
• Truncamiento de vértices y aristas de los sólidos platónicos y arquimedianos que conducen a poliedros transitivos por vértices Livio Zefiro
• Generador poliédrico VRML ( notación poliédrica de Conway )
  • Modelo VRML Cubo achaflanado
• 3.2.7 Numeración sistemática del fulereno (C80-Ih) [5,6]
• Fullereno C80
  1. [3] (Número 7-Ih)
  2. [4]
• Cómo hacer un cubo biselado