Distribución de Champernowne

En estadística , la distribución de Champernowne es una distribución de probabilidad continua y simétrica que describe variables aleatorias que toman valores tanto positivos como negativos. Es una generalización de la distribución logística introducida por D.G. Champernowne . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Champernowne desarrolló la distribución para describir el logaritmo del ingreso. ^{[ 2 ]}

La distribución de Champernowne tiene una función de densidad de probabilidad dada por

${\displaystyle f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,}$

dónde${\displaystyle \alpha ,\lambda ,y_{0}}$son parámetros positivos, y n es la constante de normalización, que depende de los parámetros. La densidad puede reescribirse como

${\displaystyle f(y)={\frac {n}{{\tfrac {1}{2}}e^{\alpha (y-y_{0})}+\lambda +{\tfrac {1}{2}}e^{-\alpha (y-y_{0})}}},}$

utilizando el hecho de que${\displaystyle \cosh x={\tfrac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x}).}$

Si la distribución de Y , el logaritmo del ingreso, tiene una distribución de Champernowne, entonces la función de densidad del ingreso X  =  exp( Y ) es ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x)={\frac {n}{x[1/2(x/x_{0})^{-\alpha }+\lambda +a/2(x/x_{0})^{\alpha }]}},\qquad x>0,}$

donde x ₀ = exp( y ₀ ) es el ingreso mediano. Si λ = 1, esta distribución se denomina a menudo distribución de Fisk , ^{[ 4 ]} que tiene densidad

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{x_{0}^{\alpha }[1+(x/x_{0})^{\alpha }]^{2}}},\qquad x>0.}$

• Distribución logística generalizada